Chizhov_lektsiya_7 (МСС Лекции + задания 80 + 24(зач 2009-2010) + 18 (контр Дядичева))

Методы расчета плоских теченийФункция токаВ плоском течении уменьшается количество переменных, что позволяет в случаепотенциального течения существенно упростить решение задач об определении течениясплошной среды. Особенно просто найти решение для потенциального течениянесжимаемой среды (жидкости).Пусть поле скоростей задано векторами в плоскости Оху: v  v x ,v y , 0 . Условиенесжимаемости divv  0 потенциального течения rotv  0 позволяет выразить компонентывектора скорости v  v x ,v y , 0 в виде градиента скалярной функции v  grad  ,удовлетворяющей уравнению Лапласа   0 .Для двумерного течения условие несжимаемости имеет видк двумерному уравнению Лапласа для потенциала φ:v x v y 0 , что приводитxy 2  2 0 или условиюx 2 y 2гармоничности.v x v y 0 в свою очередь можноyxрассматривать, как условие гармоничности для скалярной функции ψ, связанной спроекциями вектора скорости соотношениями v x , vy  :   0 .yxФункция  x, y  , удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется функцией тока,поскольку касательная к линии  x , y   const определяемая условиемd x , y  dx dy  0xyприводит к соотношению v y dx  v x dy  0илиv y dx  v y dy ,которое определяет линии токаdx dy.v x vyПотенциал и функция тока связаны соотношениями:Условие потенциальности двумерного течения x yyxт.е.

являются сопряженными гармоническими функциями.Введение функции тока позволяет сформулировать граничные условия длянепроницаемых стенок как соотношение  x , y   const , т.е. непроницаемая границаявляется одной из линий тока.1Методы ТФКП.Упростить вычисления в плоском случае удается за счет перехода к комплекснымпеременным и функциям, сопоставляя точкам плоскости (х,у) точку комплексной плоскостиz  x  iy . В этом случае операции с векторами заменяются операциями с комплекснымичислами. Особенно удобно применение комплексных переменных для описанияпотенциального двумерного течения, поскольку условие потенциальности в некоторойобласти изменения переменных D эквивалентно условию аналитичности комплексныхфункций в этой области.

Вычисление поля скоростей как градиента потенциала в этом случаезаменяется вычислением обыкновенной производной от комплексного потенциала. Для того,чтобы производная по комплексной переменной z не зависела от способа перехода к пределув окрестности рассматриваемой точки, необходимо выполнение условий Коши-Римана.Напомним, что производная функция wz    x , y   i x , y  комплексного переменногоz  x  iy определяется, как предел отношенияwz  z   wz ,w z   lim z 0zне зависящий от z  x  iy . Требование независимости предела от способа стремления кнулю x  0, y  0 двух действительных переменных приводит к выражению x  x , y    x , y  x  x , y   x , y w z   lim x 0 i lim x 0xxили x , y  y    x , y  x , y  y   x , y .w z   lim y 0 i lim y 0iyiyПриравнивая действительные и мнимые части в этих равенствах, получим условия КошиРимана ,x yyx ,которые совпадают с условиями для потенциала и функции тока, еслиwz    x , y   i x , y  .Функция wz    x , y   i x , y  называется комплексным потенциалом течения.Соответственно,любая аналитическая функция является комплексным потенциалом некоторого течения.Важными для приложений аналитическими функциями являются:полиномыPn z   a 0  a1z  ...

 an z nдля любых z;рациональные дробиa  a1z  ...  a m z mR z   0b0  b1z  ...  bn z nвсюду, где знаменатель отличен от нуля;показательная функцияe z  e x iy  e x cos y  i sin y логарифмwz   Logz  log z  iArgz .2Выделяя в окрестности точки z 0  0 однозначную непрерывную ветвь аргумента,получим аналитическую функцию - соответствующую ветвь логарифма.Производная логарифма не зависит от выбранной ветви, т.е. является однозначнойфункцией:d1Logz dzzОпределим комплексную скорость, как производную от комплексного потенциалаdwz vˆ dzчто позволяет определить проекции вектора скорости в любой точке течения:ddwz  wz  i v x  iv ydzdzxxТочки, в которых производная не существует, называются особыми точками функции(полюсы, существенные особые точки, точки ветвления).Изолированные особые точки аналитических функций имеют простую физическуюинтерпретацию.

Важнейшими для приложений являются точечный источник и вихреваянить.1. Точечный источник.Точечный источник в начале координат создает поле скоростей, поток которого черезлюбую поверхность, окружающую начало координат, постоянен. Для источникаинтенсивностью I поле скоростей определяется из уравнения непрерывностиI  2rv r r  ,откудаI.v r r  2rВ векторной формеrI v  v r er  v r r.r 2r 2Переходя к комплексной переменной z  x  iy  re i , выражение для комплекснойскорости можно записать в виде:II.vˆ  v x  iv y z* 22z2 zИнтегрирование этого выражения приводит к комплексному потенциалуI dzIwz  Lnz .2 z22.

Вихрь (вихревая нить)Вихревая нить создает индуцированное поле скоростей потенциального течения всюду,кроме начала координат: v  v  e  . Зависимость проекции скорости от расстоянияопределяется условием потенциальности потока rotv  0 . В цилиндрических координатах  v r n 3  rotv   1    v r   0 ,r  r так что при заданной циркуляции потока Г вектор скорости определяется проекциейv  r  .2rВновь переходя к комплексной переменной z  x  iy  re i , получим выражение для3комплексной скоростиvˆ  v x  iv y 2izи комплексного потенциала вихревой нити dzwz  Lnz .2i z2iВ односвязной области D аналитическая функция может быть проинтегрирована по любойкривой C, лежащей в этой области, причем значение интеграла определяется толькоположением точек а и b начала и конца кривой интегрирования: f z dz  F b   F a  .Cdwz , получимdzv̂ z dz  v x dx  v y dy  i v x dy  v y dx .Вычисляя интеграл от комплексной скорости vˆ CCCПервый интеграл в правой части равенства определяет вклад от касательныхсоставляющих вектора скорости вдоль кривой, который связывают с циркуляцией вектораскорости на замкнутой кривой, а второй — вклад от перпендикулярных составляющих,определяющих расход жидкости через рассматриваемую кривую.

Для замкнутого контурапервый интеграл дает циркуляцию вектора скорости, а второй — расход жидкости через этотконтур. В отсутствие источников и вихревых нитей эти интегралы равны нулю.Конформные преобразованияАналитические функции комплексного переменного осуществляют конформноеотображение области D переменной z на некоторое множество D* плоскостиwz    x , y   i x , y  .При этом сохраняются углы между отрезками в окрестности каждой точки, т.е.преобразование сводится к растяжению и повороту элементарной фигуры. При конформныхпреобразованиях решение уравнения Лапласа для потенциала и функции тока переходит врешение уравнения Лапласа в новых переменных.

При этом граница области подвергаетсядеформациям. Таким образом, конформные преобразования позволяют найти решение задачио потенциальном течении потока несжимаемой жидкости в области со сложной границей,если известно течение этой жидкости в области с простой границей, и найдено конформноепреобразование осуществляющее такое отображение.Пример. Определить поле скоростей плоского потенциального течения идеальнойжидкости в пространстве, ограниченном стенками, составляющими угол 600 . На большомрасстоянии от угла поле скоростей однородно.Потенциальное течение жидкости в полупространстве    x  , y  0 вдоль оси Охможно задать потенциалом  x , y   Vx . Функция тока такого течения  x , y   Vy .Введем комплексный потенциал wz    x , y   i x , y   Vz , описывающий течение вполупространстве.Отображение z    a 3 , где а — действительная константа, преобразует границуобласти y  0 в угол с вершиной в начале координат.

При этом бесконечно удаленные точкипереходят в бесконечно удаленные.Это приводит к выражению комплексного потенциала в новых переменныхwz       i   Va 3 .Действительная часть этого потенциала на плоскости     i является потенциаломскорости искомого течения, а мнимая часть — функцией тока:4  Va  2  3 2 ,  Va 3 2   2 .Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа в новых переменных: 2  2 2  2, Va660 Va 6  6   0 . 2  2 2  2Поле скоростей в новых переменных определяется проекциямиv  3Va  2   2v  6Va .и характеризуется линиями тока, определяемыми из условия ,   Va 3 2   2  C .В частности, при C  0 линии тока   0 и    3 совпадают с границами области,образующими между собой угол 600 : tg 60 0  3.Более сложные примеры — обтекание плоской пластинки и кругового цилиндра.Обтекание пластинки и кругового цилиндра.R2Конформное отображение z   плоскости Z ( z  x  iy ) на плоскость Wi(     i ), где   re - комплексное число, задающее положение точки наблюдения наплоскости   i, преобразует границу области — окружность радиуса R на плоскости Wв отрезок прямой | x | 2R , y  0 на плоскости Z.