Chizhov_lektsiya_7 (МСС Лекции + задания 80 + 24(зач 2009-2010) + 18 (контр Дядичева)), страница 2

Соответственно, точки области вне кругаэтого радиуса преобразуются в точки плоскости Z, не принадлежащие отрезку. Соответствиеточек окружности на плоскости W и точек отрезка | x | 2R , y  0 на плоскости Z указано нарисунке.ZiyWiη23-2R2O 4R12Rθ3xРис. 11Oξ4zz2 R 2 , удовлетворяющей24уравнению  2  z  R 2  0 . Выбор знака обеспечивает отображение верхнейполуплоскости Z в верхнюю полуплоскость ζ.Поле скоростей однородного потока, параллельного пластинке, описывается потенциалом x , y   V 0 x и функцией тока  x , y   V 0y , что позволяет построить комплексныйОбратное преобразование осуществляется функцией  потенциал ̂z  , вводя z  x  iy :ˆ z    z   i z   V 0 x  iy   V 0 z .Конформное отображение с помощью аналитической функции z   R2приводит к5потенциалу ̂ , зависящему от ζ:2ˆ z    V 0    R  . Выделяя действительную и мнимую части, получим выражения для потенциала и функциитока заданного течения в переменных  , :2ˆ    V 0r  e i  R e i    ,   i ,  ,r2где  , ,  ,  - действительные функции.

Действительная и мнимая частикомплексного потенциала – потенциал и функция тока потока, обтекающего цилиндр R2  R2  ,   V 0r cos  1  2  ,  ,   V 0r sin  1  2  .rr При таком выборе потенциала скорость потока на бесконечности направлена вдоль оси Ох(см.

рис. 2а).Используя выражение для скалярного потенциала в переменных r, θ, нетрудно определитьскорость в любой точке потока в цилиндрических координатах: R2  R2 r , r , vr  V 0 cos  1  2  ,v  V 0 sin  1  2  ,rrr r и линии тока R2  ,   V 0r sin  1  2   C .r Полученный результат допускает тривиальное обобщение на случай потока,составляющего угол α с осью абсцисс. Достаточно провести замену в полученныхвыражениях      (см.

рис. 2).iηiηWW22Rθ3O1ξ3O1ξРис. 244В силу цилиндрической симметрии граничных условий, получившееся при заменевыражение для потенциала и функции тока вновь удовлетворяет им на поверхностицилиндра. При этом комплексный потенциал такого потока изменится по сравнению сисходным: i    R 2 i    ˆ1    V 0r  e 2 erили i R 2 i ˆ1    V 0  e e  .zz2R2zz22R и z    R 2 , получимПодставляя сюда выражения для   24246выражение для потенциала Ф1 в переменных x, y: i R 2 i ˆ1 z   V 0  e e   V 0 z cos   i sin  z 2  4R 2 .Комплексная скорость потока в любой точке определяется выражениемd1 z Vˆ z   V x  iV ydzилиzVˆ z   V 0  cos   isin   .z 2  4R 2На поверхности пластины 2 R  x  2 R, y  0 имеются критические точки потока, вкоторых скорость обращается в ноль:xVˆ x   V 0  cos   isin    0 .x 2  4R 2Координаты критических точек x 1, 2  2R cos  являются корнями уравнения.

На концахпластины при x  2R скорость потока бесконечна.Потенциал и функция тока для такого течения даются выражениями: x , y   Im  z   V Imz cos   isin  , x , y   Re 1 z   V 0 Re z cos   i z 2  4R 2 sin z 2  4R 2что позволяет построить линии тока на плоскости Оху. На рис. 3а изображены линии токавокруг пластинки, составляющей угол    / 6 с вектором скорости на бесконечности, а нарис.

3б – линии тока для пластинки, перпендикулярной потоку    / 2 .10y-2Rх2 Oух12R x-2RO2RхРис. 3Потенциальный поток такого вида не наблюдается при обтекании пластины, что можетбыть вызвано влиянием вязкости. При обтекании тонких пластин наблюдается поток,близкий к потенциальному, но не имеющий особенности в точке схода потока с заднейкромки пластины. Удовлетворить этому условию в рассматриваемой модели можно, добавивциркуляцию потока вокруг пластины. Потенциал такого потока можно получить изисходного, добавляя к нему слагаемое2ˆ  z    ln    ln  z  z  R 222 i2 i  24.7В результате получим выражение для потенциального потока с циркуляцией Г:ˆ 0 z   V 0 z cos   i sin  z 2  4R 2   ln z  z 2  4R 2 .2iВыбором параметра Г можно устранить особенность скорости на задней кромке пластины.ˆ 0 z dВ рассматриваемом случае условие 0 определяет циркуляцию потокаdz x 2R  2  4RV 0 sin  .Комплексный потенциал течения вокруг пластинки, удовлетворяющий условиюрегулярности течения на задней кромке описывается выражениемУказанная процедура согласования модели с наблюдаемыми явлениями называетсяпостулатом Чаплыгина-Жуковского.Поток, обтекающий пластинку, имеет такую циркуляцию, что его критическая точкасовпадает с точкой его отрыва от пластинки.На рис.

4 изображены линии тока, образуемые потоком с циркуляциейвокруг пластинки, наклоненной под углом    / 6 к векторускорости набегающего потока на бесконечности,удовлетворяющего постулату Чаплыгина-Жуковского.Замечание.Циркуляция потока определяет силу, действующую напластинку /теорема Жуковского/:F *  Fx  iFy  iv   .Рис. 4(Доказательство этой теоремы дать самостоятельно).Теорема имеет простой физический смысл: для вычисления подъемной силы пластинкиследует определить разность давлений на верхнюю и нижнюю поверхности p  p 2  p1 .Воспользуемся уравнением Бернулли, связывающим эту разность со скоростями потока,обтекающего верхнюю и нижнюю поверхность: p v222 v 12 .

При малой разностискоростей это выражение приводит к силе, пропорциональной длине пластинки l:v  v1Fy  pS  plb  b v 2  v 1 l 2 bv . Здесь b – «ширина» пластинки b  l .2Отсюда «удельная» подъемная сила, приходящаяся на единицу «ширины» пластинкисовпадает с выражением, полученным из теоремы Жуковского.В рассматриваемом случае пластинки, наклоненной под углом к потоку,Fy  2v 02 2R sin  cos  .Fx  2v 02 2R sin 2 8.