Chizhov_lektsiya_3 (МСС Лекции + задания 80 + 24(зач 2009-2010) + 18 (контр Дядичева)), страница 2

Если в качестве замкнутой поверхности рассматривать объемнекоторой части трубки вектора вихря, ограниченной двумя сечениями  1 и  2 , то потоквектора не зависит от выбора контрольного сечения:     dS     dS .12Используя теорему Стокса, можно преобразовать поверхностный интеграл ккриволинейному:  11  dSrotvdS v  dl   .2 2 CПостоянство потока вихря вдоль трубки вихря тогда естественно связать с сохранениемциркуляции вектора вихря Г по любому контуру, охватывающему эту трубку.Пример 3. Определить поток массы в затопленной струе, поле скоростей в которойзадается соотношением (в сферических координатах): r01sin 2   v  v0 2 cos   er  sin  e  .r A  cos  A  cos  Через элементарную площадку сечения струи d  r 2 sin dd er за время dt проходит sin 2   sin  dобъем жидкости dV   v  d  dt  vr r 2 sin  d d dt  v0r0r  2 cos  d dt .A  cos   A  cos dVsin 2   sin  dОтсюда поток жидкости dI  v0 r0 r  2 cos  d .dtA  cos   A  cos Уравнение линий тока в этой струеr    CA  cos .sin 2 Условными границами струи считаются точки линий тока, максимально близкорасположенные от оси симметрии (Oz).

Расстояние от оси симметрии до линии токаsin 2 0   A  cos 0  cos 0xA  cos 1C 0 , если cos 0  , т.е.,аx    r sin   C2sin 0sin Aструя сосредоточена в конусе.Полный поток через поперечное сечение струи определяется интегралом0sin 2   sin  dI  r   2 v0 r0 r   2 cos  .A  cos   A  cos 0 1  q 2  dq rC  A  , где q  cos  сводится кВычисление интеграла I  r   2 r   2q Aq  Aq1/ A элементарным функциям.

I  r   rC  A ~ r .Как следует из этого результата, масса жидкости, вовлеченной в движение внутри струилинейно растет по мере удаления от источника I  r   rC  A ~ r за счет «подсасывания»окружающей струю жидкости через боковую поверхность конуса. В ламинарной струе этотэффект зависит от угла раствора конуса, т.е. от интенсивности источника.1193.5. Балансные соотношения.Уравнение непрерывности. Рассмотрим изменение массы в выделенном объемесплошной среды V, предполагая, что ее частицы могут проникать сквозь поверхность  ,ограничивающую этот объем. Пусть   xk , t  - заданное поле плотности. Масса ввыделенном объеме определяется интеграломM     xk , t dVVИзменение массы, в силу локального закона ее сохранения, может быть вызвано толькопотоками массы через поверхность  :IM    vk d kБалансное соотношение для массы приводит к уравнению:M  I M ,tкоторое имеет вид:  xk , t dV     vk d k .t VИспользуя теорему Остроградского-Гаусса, правую часть этого выражения можнопреобразовать к интегралу по объему, так что выражение примет вид:  xk , t dV    vk dV .t VxkVПолученное соотношение является тождеством относительно V , поэтомуподынтегральное выражение в левой и правой частях равенства совпадает, что приводит куравнению непрерывности в дифференциальной форме: vk  0 .txkЭто соотношение можно записать в векторной форме: div   v   0t.Вектор j   v , стоящий под знаком div - вектор плотности тока.Выполняя дифференцирование во втором слагаемом, получаем:v vk k 0.txkxkdСубстанциальная производная, приводит это уравнение к виду:  vkdt txkvd  k .dtxkВ векторной форме уравнение непрерывностиd  div v  0 .dtЕсли рассматриваемая сплошная среда является несжимаемой, т.е.

div v  0 , то из уравненияd 0 , т.е. вдоль любой линии тока плотность среды остаетсянепрерывности следует, чтоdtпостоянной   0 .20.