Chizhov_lektsiya_1 (МСС Лекции + задания 80 + 24(зач 2009-2010) + 18 (контр Дядичева)), страница 3

Для этого сопоставим антисимметричному1  v v v11тензору Aki   i  k  псевдовектор вихря ωi = εijk Ajk = εijk k , записав свертку этого2  xk xi 22x jтензора с единичным антисимметричным тензором Леви-Чивитаεlmn = ε123 = ε231 = ε312 = 1ε213 = ε321 = ε132 = 1остальные равны нулюv1Выражение ωi = εijk k может быть представлено в инвариантном векторном виде, если2x j учесть, что проекции вектора c - векторного произведения c   a  b  на орты декартовойсистемы представляются выражением сi   ijk a j bk : 1  1    v   rotv .22Напомним, что при вращении твердого тела вокруг начала координат с угловой скоростью   0 , одинаковой для всех точек, скорость v любой его точки, заданной радиусом-вектором r , определяется выражением: v    r  , или в тензорном виде vi   ijk j xk .

При этом ni  rotv    ijk klml xm   ijk lmklxm   il jm   im jl l jm  3i  i  2i , если учестьx jx jтождество  ijk mlk   im jl   il jm .Выражение в векторной форме получается применением формулы двойного векторногопроизведения       rotv     r      r    r  3    2 .  1 Следовательно, введенная величина   rotv характеризует локальное вращение частиц2сплошной среды. Такое сопоставление взаимно-однозначно:Alm = εlmnωn .Последнее соотношение легко доказывается, если учесть тождество  ijk mlk   im jl   il jm :111εlmn εnjk Ajk = εlmn ε jkn Ajk =  δlj δmk  δlk δmj  A jk =  Alm  Aml  = Alm .222Введение псевдовектора вихря позволяет записать вектор скорости среды в точке xk   xkв виде:где  1  v v 1  v v vi  xk   xk , t   vi  xk , t    i  k   xk   i  k   xk2  xk xi 2  xk xi vi  xk   xk , t   vi  xk , t    ijk j xk , xi11  v vSik xi xk   i  k24  xk xi  x i x k .8 1Вводя вектор вихря   rot v , запишем полученное равенство в векторной форме:2    v  r + δr,t  = v  r,t  + ω  δr  + gradδrΨЭто соотношение называется формулой Коши-Гельмгольца.Конвективная производная в форме Громеки-Лэмба. Пусть в формуле Коши-Гельмгольца  r  dr  vdt , т.е.

смещение  r совпадает с переме щением частицы dr  vdt . В тензорных обозначениях dr  vk nk dt .Градиент от функции Ψ в тензорных обозначениях имеет вид:v dt  v Sik xk   vk i  vk k  , xi2  xkxi а векторное произведение   vdt    ijk j vk dt .В соответствии с формулой Коши-Гельмгольцаv dt  vi vk k  . vk2  xkxi  Но приращение вектора скорости при смещении на  r  dr  vdt определяется конвективной производной:vvi  xk  vk dt , t   vi  xk , t   vk i dt .xkСравнивая эти выражения, получимvv 1  vvk i   ijk j vk   vk i  vk k  ,xk2  xkxi откудаvv  vk vk vk i  2 ijk j vk  vk k  2 ijk j vk .xkxixi  2 В инвариантной векторной форме это выражение выглядит так:    v  v  2   v    v2 /2 vi  xk  vk dt , t   vi  xk , t    ijk j vk dt и называется формой Громеки-Лэмба.Это выражение можно получить и формально, воспользовавшись формулой для двойного    векторного произведения  v   v      v2 /2   v  v .

Учитывая определение вектора   вихря  v   2 , получим 2  v       v2 /2   v  v , откуда следует указанное вышесоотношение.9.