Введение в теорию игр (сторонняя методичка) (Введение в теорию игр (сторонняя методичка).PDF), страница 42

À. Àòêèíñîí è Äæ. Ñòèãëèö[4], Ã. Ìàéëñ [62], Ñ.Ì. Ìîâøîâè÷ è äð. [66])  ðàáîòàõ À.À. Âàñèíà èÅ.È. Ïàíîâîé [24], À.À. Âàñèíà è Ï.À. Âàñèíîé [26], À.À. Âàñèíà è äð. [27]ïîêàçàíî, ÷òî óêëîíåíèå îò íàëîãîâ ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà îïòèìàëüíûéâûáîð íàëîãîâ è íàëîãîâûõ ñòàâîê.Ÿ 21. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò, îòíîñÿùèéñÿ ê îïòèìàëüíîìó àóäèòó ïðÿìûõ íàëîãîâ, ïðèíàäëåæèò È. Ñàí÷åñ è Äæ.

Ñîáåëþ [86]. Îíè ðàññìîòðåëè ãðóïïó íàëîãîïëàòåëüùèêîâ ñî ñëó÷àéíûì ðàñïðåäåëåíèåì äîõîäà, çàäàííûì ïîëîæèòåëüíîé ïëîòíîñòüþ â èíòåðâàëå [l, h]. Äëÿ ëþáîãî äîõîäà I íàëîã îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòüþ T (I), óñòàíàâëèâàåìîéïðàâèòåëüñòâîì. Íàëîã ñòðîãî âîçðàñòàåò ïî I. Ðóêîâîäñòâî èíñïåêöèèóñòàíàâëèâàåò âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè p(I) â çàâèñèìîñòè îò ïðîäåêëàðèðîâàííîãî äîõîäà I.  ñëó÷àå îáíàðóæåíèÿ íåïðîäåêëàðèðîâàííîãî äîõîäà øòðàô ïðîïîðöèîíàëåí íåäîïëà÷åííîìó íàëîãó ñ êîýôôèöèåíòîì1 + π > 1 (òàê êàê øòðàô âêëþ÷àåò íåäîïëà÷åííûé íàëîã). Äëÿ çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè ÷èñòîãî íàëîãîâîãî äîõîäà ðàáîòà [86] ïîêàçûâàåò, ÷òîîïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðîâåðîê âñåãäà îòíîñèòñÿ ê êëàññó "ïîðîãîâûõïðàâèë":(1/(1 + π), I < I,p∗ (I) =0,I ≥ I.äëÿ íåêîòîðîãî I ∈ [l, h]. Èòàê, êàæäûé ïðîäåêëàðèðîâàííûé äîõîä I < Iïðîâåðÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/(1 + π) − ìèíèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ, ïðèêîòîðîé íåâûãîäíî äåêëàðèðîâàòü I äëÿ ëþáîãî ðåàëüíîãî äîõîäà I 0 > I.Ô.

Êîóýëë è Ã. Ãîðäîí [51] ñðàâíèâàþò ðàçëè÷íûå äîñòóïíûå ñòðàòåãèè ïðîâåðîê ïðè ñáîðå êîñâåííîãî íàëîãà. Àâòîðû ìîäåëèðóþò óêëîíåíèå îò óïëàòû íàëîãîâ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ôèðìà-íàëîãîïëàòåëüùèêäåëàåò âûáîð ìåæäó íàëîãîîáëàãàåìîé äåÿòåëüíîñòüþ è äåÿòåëüíîñòüþâ òåíåâîì ñåêòîðå ýêîíîìèêè. Åñëè ôèðìà ïîäâåðãàåòñÿ ïðîâåðêå è âûÿâëÿåòñÿ åå äåÿòåëüíîñòü â òåíåâîì ñåêòîðå, òî åå îáÿçûâàþò âûïëàòèòüíåäîñòàþùèé íàëîã è íàêàçûâàþò øòðàôîì. Âåðîÿòíîñòü ïðîâåðêè çàâèñèò îò äåêëàðàöèè ïî ïðàâèëó "îòñå÷åíèÿ", ò.å.

ôèðìû, äåêëàðèðóþùèå äîõîä ìåíüøå, ÷åì îïðåäåëåííàÿ âåëè÷èíà, âñåãäà ïðîâåðÿþòñÿ.Óñòàíàâëèâàþòñÿ óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îïòèìàëüíûé ñëó÷àéíûé àóäèòáîëåå ýôôåêòèâåí, ÷åì îïòèìàëüíîå ïðàâèëî îòñå÷åíèÿ, è íàîáîðîò.234Ñâÿçü ìåæäó óêëîíåíèåì îò óïëàòû íàëîãîâ è êîððóïöèåé èññëåäîâàëàñü âî ìíîãèõ ðàáîòàõ (ñì., íàïðèìåð, Ï. ×àíäëåð è Ë. Óàéëüä [108],À.À. Âàñèí è Î.Á. Àãàïîâà [25], Ë.Å. Ñîêîëîâñêèé [87]).×àíäëåð è Óàéëüä [108] îïèñûâàþò âçàèìîäåéñòâèå íàëîãîâûõ èíñïåêòîðîâ (àóäèòîðîâ) è íàëîãîïëàòåëüùèêîâ òàê, êàê ýòî ñäåëàíî â ïîñëåäíåì Ÿ 21.

Îòëè÷èå îò íàøåãî ïîäõîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî âåðîÿòíîñòüàóäèòîðñêîé ïðîâåðêè îïðåäåëÿåòñÿ ðàâíîâåñíûìè ïî Íýøó ñòðàòåãèÿìèèãðîêîâ, â òî âðåìÿ, êàê âåðîÿòíîñòü ïîâòîðíîé ïðîâåðêè ïðåäïîëàãàåòñÿ ôèêñèðîâàííîé.  íàøåì ïîäõîäå (íàçûâàåìîì â çàïàäíîé ëèòåðàòóðå"principal-agent") âåðîÿòíîñòè ïðîâåðîê (ò.å. ñòðàòåãèÿ öåíòðà) íå ôèêñèðîâàíû è îïðåäåëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ èåðàðõè÷åñêîé èãðû Γ1 .Ÿ 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèé2.1. Íå ìîæåò, ïîñêîëüêó ÷èñëî 7 íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿk · l äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k, l ≤ 3.2.2. Ïðè ôèêñèðîâàííîì x ãðàôèê ôóíêöèè F (x, y) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàáîëó âåòâÿìè âíèç.

Ïîýòîìó ôóíêöèÿ ìèíèìóìàW (x) = min F (x, y) = F (x, y(x)) = min[F (x, −1), F (x, 2)].−1≤y≤2Ôóíêöèÿ íàèëó÷øåãî îòâåòà âòîðîãî èãðîêà((2, F (x, −1) ≥ F (x, 2)2,y(x) ==−1, F (x, −1) < F (x, 2)−1,Ôóíêöèÿ ìèíèìóìà(F (x, 2) = −x2 + 11x − 24,W (x) =F (x, −1) = −x2 − x − 3,−1 ≤ x ≤ 7/4,7/4 < x ≤ 3.−1 ≤ x ≤ 7/4,7/4 < x ≤ 3.Îòñþäà x0 = 7/4 è v = W (x0 ) = −125/16.Äàëåå, ôóíêöèÿ ìàêñèìóìà M (y) = max F (x, y) = F (x(y), y). Ôóíê−2≤x≤3öèÿ íàèëó÷øåãî îòâåòà ïåðâîãî èãðîêà(x = (4y + 3)/2, −1 ≤ y ≤ 3/4,x(y) =3,3/4 < y ≤ 2,235Ÿ 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèéÑëåäîâàòåëüíî,(F (x, y), −1 ≤ y ≤ 3/4,M (y) =F (3, y), 3/4 < y ≤ 2.Îòñþäàv = min M (y) = min[F (x|y=−1 , −1), F (3, 2)] = −11/4, y 0 = −1.−1≤y≤22.3.

Äîêàæåì, ÷òî (x0 , y 0 ) − ε-ñåäëîâàÿ òî÷êà ôóíêöèè F (x, y). Äëÿëþáîãî y ∈ Y èìååìF (x0 , y) ≥ v =0= inf F (x , y) = v − ε = sup F (x, y 0 ) − ε ≥ F (x0 , y 0 ) − ε.y∈Y0x∈XÎòñþäà F (x , y 0 ) ≤ F (x0 , y) + ε ∀y ∈ Y. Âòîðîå íåðàâåíñòâî èç îïðåäåëåíèÿ ε-ñåäëîâîé òî÷êè äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.2.4. Ïóñòü âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (2.4). Ïîëîæèì v = v = v. Äëÿ ëþáîãî ε > 0 âîçüìåì xε , y ε − ε-ìàêñèìèííóþ è ε-ìèíèìàêñíóþ ñòðàòåãèè,ò.å.v − ε ≤ inf F (xε , y), sup F (x, y ε ) ≤ v + ε.y∈Yx∈XÎòñþäà v − ε ≤ F (x , y ) ≤ v + ε è ïðè ëþáîì x ∈ XεεF (x, y ε ) ≤ v + ε ≤ F (xε , y ε ) + 2ε ⇒ F (x, y ε ) − 2ε ≤ F (xε , y ε ).Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîF (xε , y ε ) ≤ F (xε , y) + 2ε ∀y ∈ Y.Òàêèì îáðàçîì, ïàðà (xε , y ε ) − 2ε-ñåäëîâàÿ òî÷êà ôóíêöèè F (x, y).Îáðàòíî, ïóñòü ïàðà (xε , y ε ) − ε-ñåäëîâàÿ òî÷êà ôóíêöèè F (x, y).ÒîãäàF (x, y ε ) − ε ≤ F (xε , y ε ) ≤ F (xε , y) + ε ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.Îòñþäà ñëåäóþò íåðàâåíñòâàv − ε ≤ v − ε ≤ sup F (x, y ε ) − ε ≤ inf F (xε , y) + ε ≤ v + ε ≤ v + εy∈Yx∈Xè xε , y ε − 2ε-ìàêñèìèííàÿ è 2ε-ìèíèìàêñíàÿ ñòðàòåãèè.

Êðîìå òîãî,v ≤ v ≤ v + 2ε. Ïîñêîëüêó ε > 0 ïðîèçâîëüíî, ïîëó÷àåì, ÷òî v = v.236Ÿ 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèé2.5. Âîçüìåì ëþáûå äâå òî÷êè z (1) 6= z (2) ∈ E m è ëþáîå ÷èñëîλ ∈ (0, 1). Òîãäà íåðàâåíñòâî(1)(2)λzi + (1 − λ)zi2 2 2(1)(2)≤ λ zi+ (1 − λ) zi(22.1)ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó2(1)(2)0 ≤ λ(1 − λ) zi − zi.(1)Ïîñëåäíåå âûïîëíÿåòñÿ êàê ñòðîãîå, åñëè ziâåíñòâà (22.1), ïîëó÷èìm X(1)(2)λzi + (1 − λ)zi2i=1<λm X(1)zi(2)6= zi .

Ñóììèðóÿ ïî i íåðà-2+ (1 − λ)m Xi=1÷òî è îçíà÷àåò ñòðîãóþ âûïóêëîñòü ôóíêöèè(2)zi2,i=1mPzi2 .i=12.6. Ïóñòü ñòðîãî âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ h(z) äîñòèãàåò ìèíèìóìà â òî÷êàõ z (1) 6= z (2) âûïóêëîãî êîìïàêòà Z ⊂ E m . Òîãäà(z (1) + z (2) )/2 ∈ Z è èç ñòðîãîé âûïóêëîñòè ôóíêöèè h(z)h((z (1) + z (2) )/2) < (h(z (1) ) + h(z (2) ))/2 = min h(z),z∈Z÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ìèíèìóìà.3.1. Äîêàæåì, ÷òî p0 = q 0 = (1/2, 1/2) − îïòèìàëüíûå ñìåøàííûåñòðàòåãèè èãðîêîâ, à v = 0 − çíà÷åíèå èãðû. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáûõp ∈ P, q ∈ Q!22XX00A(p, q ) =aij qj pi ≡ 0 = A(p0 , q 0 ) ≡ A(p0 , q)i=1j=1è òðîéêà (p0 , q 0 , 0) − ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ.3.2.

L = (a11 , ...amn ; p1 q1 , ..., pm pn ).3.3. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ëîòåðåè L u(L) ∈ [0, 1],à èç àêñèîì V IIIè V âûòåêàåò, ÷òî L ∼ (A1 , Ak ; u(L), 1 − u(L)).Âîçüìåì äâå ïðîèçâîëüíûå ëîòåðåè L1 è L2 . ÈìååìLi ∼ (A1 , Ak ; u(Li ), 1 − u(Li )), i = 1, 2. Åñëè u(L1 ) = u(L2 ), òî L1 ∼ L2 , àåñëè u(L1 ) > u(L2 ), òî ïî ëåììå 3.3 L1  L2 .237Ÿ 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèéÏóñòü v(L) − äðóãàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþøàÿ ñâîéñòâàì 1)−3),ñôîðìóëèðîâàííûì â òåîðåìå 3.4. Ïîäáåðåì êîíñòàíòû c, b, èñõîäÿ èçðàâåíñòâ v(A1 ) = cu(A1 ) + b, v(Ak ) = cu(Ak ) + b.

Îòñþäà, èñïîëüçóÿðàâåíñòâà u(A1 ) = 1, u(Ak ) = 0, íàõîäèì, ÷òî c = v(A1 ) − v(Ak ) > 0,b = v(Ak ).Äëÿ ëþáîãî l = 2, ..., k−1 èìååì Al ∼ rl A1 +(1−rl )Ak . Ñëåäîâàòåëüíî,äëÿ ïðîèçâîëüíîé ëîòåðåè L = (A1 , ..., Ak ; x1 , ..., xk )v(L) =kXl=1=kXxl v(Al ) =kXxl (rl v(A1 ) + (1 − rl )v(Ak )) =l=1xl (rl (c + b) + (1 − rl )b) =l=1kXcxl rl + b = cu(L) + b.l=14.1. Íåîáõîäèìîñòü.

Ïóñòü (p0 , q 0 , v) − ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ èãðû ñ ìàòðèöåé A. Òîãäà âûïîëíåíû íåðàâåíñòâàA(p, q 0 ) ≤ A(p0 , q 0 ) = v ≤ A(p0 , q) ∀p ∈ P, ∀q ∈ Q. ÷àñòíîñòè, îíè ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáûõ ÷èñòûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâA(i, q 0 ) ≤ v ≤ A(p0 , j), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.(∗)Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü äëÿ òðîéêè (p0 , q 0 , v) âûïîëíåíî óñëîâèå (∗).Âîçüìåì ëþáóþ ñìåøàííóþ ñòðàòåãèþ p ïåðâîãî èãðîêà, äîìíîæèì íåðàâåíñòâà A(i, q 0 ) ≤ v íà pi è ñëîæèì èõ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èìmPA(p, q 0 ) ≤ vpi = v.

Àíàëîãè÷íî, äëÿ ëþáîé ñìåøàííîé ñòðàòåãèè qi=1âòîðîãî èãðîêà âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî v ≤ A(p0 , q). Èòàê, A(p, q 0 ) ≤ v ≤A(p0 , q) ∀p ∈ P, ∀q ∈ Q.Ïîëàãàÿ çäåñü p = p0 , q = q 0 , ïîëó÷èì A(p0 , q 0 ) = v è (p0 , q 0 , v) −ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ.4.2. Ïóñòü (p0 , q 0 , v) − ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ èãðû ñ ìàòðèöåé A. Òîãäà ïî óñëîâèþ (∗)A(i, q 0 ) ≤ v ≤ A(p0 , j), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.Äàëåå, B(i, q 0 ) = A(i, q 0 ) + c, B(p0 , j) = A(p0 , j) + c. ÎòñþäàB(i, q 0 ) ≤ v + c ≤ B(p0 , j), i = 1, ..., m, j = 1, ..., n238Ÿ 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèéè (p0 , q 0 , v + c) − ðåøåíèå èãðû ñ ìàòðèöåé B.4.3. Ïî îïðåäåëåíèþ âûðàâíèâàþùåé ñòðàòåãèè ψ 0F (x, ψ 0 ) ≡ v ⇒ F (ϕ, ψ 0 ) ≡ v = F (ϕ0 , ψ 0 ) ≤ F (ϕ0 , ψ) ∀ψ ∈ {ψ}.Îòñþäà òðîéêà (ϕ0 , ψ 0 , v) −ðåøåíèåâ ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ.3 1 04.4.

 èãðå ñ ìàòðèöåéñìåøàííàÿ ñòðàòåãèÿ âòîðîãî èã0 1 3ðîêà q 0 = (1/2, 0, 1/2) ÿâëÿåòñÿ âûðàâíèâàþùåé, íî íå îïòèìàëüíîé.4.5. Íàéäåì âûðàâíèâàþùóþ ñìåøàííóþ ñòðàòåãèþ q 0 âòîðîãî èãðîêà. Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè ïîëîæèì q10 = q40 , q20 = q30 . Òîãäà ïîëó÷èìñèñòåìó óðàâíåíèéq10 + aq20 = aq10 + q20 + aq20 = v, q10 + q20 = 1/2.Îòñþäà q10 = 0.5(2 − a)−1 , q20 = (1 − a)q10 , v = (1 + a − a2 )q10 . Ïîñêîëüêóìàòðèöà A − ñèììåòðè÷íàÿ, ñìåøàííàÿ ñòðàòåãèÿ p0 = q 0 ïåðâîãî èãðîêà òàêæå ÿâëÿåòñÿ âûðàâíèâàþùåé.

Ñëåäîâàòåëüíî, ñòðàòåãèè p0 è q 0îïòèìàëüíû, à v − çíà÷åíèå èãðû.4.6. Ïîñêîëüêó X ⊂ {ϕ} è Y ⊂ {ψ},v = max min F (x, y) ≤ max min F (ϕ, y) = v =x∈X y∈Yϕ∈{ϕ} y∈Y= min max F (x, ψ) ≤ min max F (x, y) = v.ψ∈{ψ} x∈Xy∈Y x∈X4.7. Âîçüìåì ëþáîå ε > 0 è îòðåçîê [a0 , b0 ] äëèíû, ìåíüøåé ε, è ñîäåðæàùèé âíóòðè ñåáÿ òî÷êó x0 . Ïóñòü x0 − òî÷êà, â êîòîðîé ôóíêöèÿ ϕ(x)èìååò ñêà÷îê âåëè÷èíû δ > 0.

Òîãäà â ñèëó åå ìîíîòîííîñòè ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâî ϕ(b0 ) − ϕ(a0 ) ≥ δ > 0.Ïóñòü â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ ϕ(x) äèôôåðåíöèðóåìà è ϕ0 (x0 ) > 0. Òîãäà0ϕ(b ) − ϕ(a0 ) > 0. Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ ϕ(x) íå óáûâàåò è ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà x0 > x0 , áëèçêàÿ ê x0 , ÷òîϕ(x0 ) > ϕ(x0 ).4.8. Ïóñòü òðîéêà (p0 , q 0 , v) − ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ èãðûñ ìàòðèöåé A.

Äîêàæåì óòâåðæäåíèå 1). Ïî óñëîâèþ (∗)A(i, q 0 ) ≤ v, i = 1, ..., m.239(22.2)Ÿ 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèéÏðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêàÿ ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ i1 ïåðâîãî èãðîêà, ÷òî p0i1 > 0 è A(i1 , q 0 ) < v. Äîìíîæèì îáå ÷àñòè i-ãî íåðàâåíñòâà (22.2) íà p0i è ñëîæèì íåðàâåíñòâà. Ïîñêîëüêó íåðàâåíñòâî ñ íîìåðîì i1 ïîñëå äîìíîæåíèÿ íà p0i1 îñòàíåòñÿ ñòðîãèì, ïîëó÷èìA(p0 , q 0 ) < v = A(p0 , q 0 ) (ïðîòèâîðå÷èå).Óòâåðæäåíèå 2) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.5.1. Ïóñòü ñòðîêà i1 ìàòðèöû A ñëàáî äîìèíèðóåò ñòðîêó i2 . Åñëèñòðàòåãèÿ i2 − ìàêñèìèííàÿ, òî ñòðàòåãèÿ i1 òàêæå ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìèííîé êàê äëÿ ìàòðèöû A, òàê è äëÿ ðåäóöèðîâàííîé ìàòðèöû ñ âû÷åðêíóòîé i2 -îé ñòðîêîé.

Ïðè ýòîì íèæíåå çíà÷åíèå èãðû ïîñëå èñêëþ÷åíèÿñòðîêè íå ìåíÿåòñÿ.Àíàëîãè÷íîå çàìå÷àíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ñòîëáåö j1ñëàáî äîìèíèðóåòñÿ ñòîëáöîì j2 , à ñòðàòåãèÿ j2 ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàêñíîé.Ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ ñëàáî äîìèíèðóåìûõ ñòðîê è ñëàáî äîìèíèðóþùèõ ñòîëáöîâ â ðàñïîðÿæåíèè èãðîêîâ îñòàþòñÿ ìàêñèìèííàÿ è ìèíèìàêñíàÿ ñòðàòåãèè èãðîêîâ èñõîäíîé ( è ðåäóöèðîâàííîé) èãðû, îáðàçóþùèå ñåäëîâóþ òî÷êó.5.2. Âûïèøåì ìàòðèöó èãðû(2, 0) (1, 1) (0, 2)(3, 0)123(2, 1)12  1A=(1, 2) 211 (0, 3)321Ñòðîêà 2 ñëàáî äîìèíèðóåòñÿ ñòðîêîé 1, à ñòðîêà 3 − ñòðîêîé 4. Ïîñëåâû÷åðêèâàíèÿ ñëàáî äîìèíèðóåìûõ ñòðîê, çàìå÷àåì, ÷òî ñòîëáåö 2 ðàâåíïîëóñóììå ñòîëáöîâ 1 è 3 è ïîýòîìó åãî ìîæíî âû÷åðêíóòü.  ðåçóëüòàòå(2, 0) (0, 2)(3, 0)13ïîëó÷àåòñÿ ìàòðèöà B =.

Îòñþäà íàõîäèì ðåøå(0, 3)31íèå èñõîäíîé èãðû: p0 = (1/2, 0, 0, 1/2), q 0 = (1/2, 0, 1/2), v = 2. Îòìåòèì,÷òî ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ 2 âòîðîãî èãðîêà òàêæå îïòèìàëüíà.5.3. Çäåñü l1 (p1 ) = 3p1 , l2 (p1 ) ≡ 1 è l3 (p1 ) = 3(1 − p1 ). Ôóíêöèÿmin lj (p1 ) äîñòèãàåò ìàêñèìóìà â òî÷êàõ îòðåçêà [1/3,2/3]. Ïîýòîìó ìíî1≤j≤3æåñòâî âñåõ îïòèìàëüíûõ ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé ïåðâîãî èãðîêà èìååòâèä P 0 = {p0 ∈ P | 1/3 ≤ p01 ≤ 2/3}. Âòîðîé èãðîê èìååò åäèíñòâåííóþîïòèìàëüíóþ ÷èñòóþ ñòðàòåãèþ 2.240Ÿ 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèé5.4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷êà z 0 íå ÿâëÿåòñÿ êðàéíåé òî÷êîé ìíîæåñòâà Z è ïðåäñòàâèìà â âèäå z 0 = λz 0 + (1 − λ)z 00 , z 0 6= z 00 ∈ Z, 0 < λ < 1.Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ |z|2 ñòðîãî âûïóêëà íà ìíîæåñòâå Z (ñì.