Лекция (1) (Лекции), страница 3

Понятие о субстанциальной производной связано спроизводной dt ∂tпредставлением о дифференцировании вдоль траектории движения частицы и фактическипредставляет собой переход от описания Эйлера к описанию Лагранжа. Мы будемmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 9 of 20рассматривать субстанциальную производную только как некоторый дифференциальныйоператор, упрощающий форму записи уравнений.Выполняя дифференцирование во втором слагаемом, получаем:∂ρ∂ρ∂v+ vk+ρ k =0∂t∂xk∂xk.Вводя субстанциальную производную, получим:dρ∂v= −ρ kdt∂xk .В векторной форме это соотношение имеет вид:dρr= − ρ div v.dtЕсли рассматриваемая сплошная среда является несжимаемой, т.е.

div vr = 0 , то изdρ=0уравнения непрерывности следует, что dt, т.е. вдоль любой линии тока плотность средыостается постоянной ρ = ρ 0 .2. Уравнения ЭйлераНесколько сложнее получить дифференциальные уравнения, определяющие изменениеимпульса сплошной среды. Воспользуемся для этого теоремой об изменении импульсасистемы, учитывая, что число частиц в ней может изменяться.Вновь рассмотрим мысленно выделенный объем V , проницаемый для частиц сплошнойсреды, и определим импульс этого объема. Поскольку импульс элементарного объема dVопределяется уравнением:dpi = dm ⋅ vi = ρvi ⋅ dV ,полный импульс выделенного объема определяется интегралом:Pi = ∫ ρvi dV.VИзменение импульса в этом объеме вызвано двумя независимыми факторами.

Частичноизменение импульса в выделенном объеме обусловлено переносом его частицамипересекающими границу объема. Поток импульса через границу определяется выражением:I ip = − ∫ ρvi vk dsk.ΣДругая часть изменения импульса выделенного объема вызвана приложенными к немувнешними силами и определяется соответствующей теоремой динамики системы частиц.

Этоприводит к следующему уравнению, учитывающему действие как объемных, так иповерхностных сил:r ∂P& = ∫ ρvi dV = I ip + ∫ f i dV + ∫ pik dsk∂t V.VΣПодставляя сюда выражение для потока импульса через границу, получим выражение дляскорости изменения импульса рассматриваемого объема:∂ρvi dV = − ∫ ρvi vk dsk + ∫ fi dV + ∫ pik dsk∂t V∫.ΣVΣПереходя, с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, от интегрирования по поверхностик интегрированию по объему, получим окончательно:∂∂( ρvi vk )∂pρvi dV = − ∫dV + ∫ f i dV + ∫ ik dV∫∂t V∂xk∂xk.VVVВ силу произвольности объема интегрирования, можно перейти к дифференциальномуmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 10 of 20уравнению, определяющему изменение импульса сплошной среды:∂(ρvi ) + ∂ (ρvivk ) = fi + ∂pik∂t∂xk∂xk .Для идеальной жидкости pik = − pδ ik это уравнение принимает вид:∂(ρvi ) + ∂ (ρvivk ) = fi − ∂p∂t∂xk∂xi .и называется уравнением Эйлера.Использование субстанциальной производной позволяет записать уравнение в векторнойформеrd r(ρv ) + ρvrdivvr = f − gradp,dtкоторую можно упростить, учитывая уравнение непрерывностиrdv rρ= f − gradpdtВместе с уравнением непрерывности это уравнение составляет основу описания идеальнойсплошной среды.6.

Элементы термодинамикиУравнение непрерывности и уравнение Эйлера позволяют определить поле скоростей иполе плотности для системы, в которой задано поле давлений и поле массовых сил. Однако вобычной постановке задач поле давлений не задано. Для формулировки задач о движениисплошной среды в этом случае необходимы дополнительные соотношения, связывающиедавление, плотность и скорость. Такие соотношения могут быть получены в рамкахтермодинамики. Напомним основные свойства классических термодинамических систем (ТДсистем).Характеристики тела определяются совокупностью механических величин, таких какмасса, плотность, объем, полная энергия, давление, а также специфическихтермодинамических величин, определяющих параметры теплового движения, таких кактемпература.

Термодинамические характеристики могут быть использованы только длясистем, находящихся в термодинамическом равновесии.Состояние однородной системы при заданном числе частиц N = const определяетсятермодинамическими переменными – давлением, объемом и температурой - p, V, T . Связьмежду этими переменными определяется свойствами рассматриваемого вещества и задаетсятермическим уравнением:p = p (V , T , N ) .Для идеального газа термическим уравнением является уравнение Клапейрона-Менделеева:m Tp= Rµ V.Первое начало термодинамикиОдной из основных характеристик системы частиц является ее энергия.

Полная энергиямолекул, включающая энергию хаотического (теплового) движения молекул и энергию ихвзаимодействия в рассматриваемой системе отсчета, усредненная за время измерения,называется внутренней энергией. Внутренняя энергия термодинамической системы являетсяфункцией состояния. Напомним, что для идеального одноатомного газа внутренняя энергияопределяется соотношением:3mE=RT2 μ.Воздействие на ТД систему внешних тел условно подразделяется на механическое,вызывающее деформации (изменение объема), и тепловое, которое может изменять состояниесистемы без деформаций.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 11 of 20При механическом воздействии изменение внутренней энергии системы определяетсясовершенной ею механической работой.

Величина теплового воздействия определяетсяколичеством энергии, передаваемой системе в процессе теплопередачи, и измеряетсяколичеством теплоты. Суммарное изменение внутренней энергии во всех процессах∆E = Q − A .Количество теплоты и механическая работа, совершенная системой при переходе изначального состояния в конечное, зависят как от этих состояний, так и от характера перехода.То есть, они не являются функциями начального и конечного состояний рассматриваемойсистемы.Теплопередача обычно сопровождается изменением температуры системы.

Если изменениетемпературы при теплопередаче пропорционально количеству теплоты, полученной системой:δQ ~ dT ,что обычно бывает в случае малых изменений в системеδQ << E ,то коэффициент пропорциональности, зависящий как от вещества, так и от характерарассматриваемого процесса, называется теплоемкостью:δQ = Cn dT .Здесь индекс указывает характер процесса: изобарный, изохорный и т.д.В общем случае теплоемкость процесса зависит от начального состояния системы. Еслимеханическая работа системой не совершается, то количество теплоты, полученное системойравно изменению ее внутренней энергии, которая является функцией ее термодинамическихпараметров, например, температуры и объема E = E (V , T )δQ = dE (V , T ) .Малое изменение внутренней энергии системы в этом случае приводит к маломуизменению ее температуры.

Коэффициент пропорциональности CV = CV (V , T ) в этом случаеназывается теплоемкостью при постоянном объеме, т.к.dA = pdV = 0 , и зависит оттемпературы и объема. Задание E = E (V , T ) называется калорическим уравнением:Задание термического и калорического уравнений полностью определяет модельрассматриваемого вещества.Идеальный газОдной из простейших содержательных моделей является модель идеального газа. Длямассы m идеального одноатомного газа теплоемкость изохорного процесса3mCV =R2µ .Теплоемкость изобарного процесса такого газа связана с изохорной теплоемкостьюсоотношением Майера:mC p = CV + Rµ .Вводя отношение теплоемкостей γ = C p CV , соотношение Майера можно записать в видеmR = CV (γ − 1)µ.Удобной моделью для быстро протекающих механических обратимых процессов, когдатеплообменом можно пренебречь, является адиабатическое приближение.

Теплоемкостьсистемы в таком процессе равна нулю. Используя первое начало термодинамики вдифференциальной форме, получим уравнение, связывающее давление и объем в этомпроцессе – уравнение Пуассона.При малых изменениях объема системы элементарная работа пропорциональна изменениюобъема, а коэффициент пропорциональности определяется термическим уравнениемmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 12 of 20состояния p = p(V , T ) , так что первое начало термодинамики может быть представлено вдифференциальной форме, причем все величины, входящие в правую часть уравненияявляются функциями состояния:δQ = dE + pdV .Для идеального газа dE = CV dT .

С учетом термического уравнения p = CV (γ − 1) T Vпервое начало термодинамики для адиабатических процессов приводит к уравнениюTCV dT + CV (γ − 1) dV = 0.VЕсли переход из начального состояния в конечное можно рассматривать какпоследовательность промежуточных квазиравновесных состояний, то дифференциальноесоотношение допускает интегрирование:TV γ −1 = const .Учитывая термическое уравнение, отсюда легко получить зависимость давления от объемасистемы – адиабату Пуассона, описывающую обратимые процессы без теплопередачи:γp (V ) = p 0 (V V0 ) .Здесь p0 ,V0 - параметры начального состояния системы.Уравнения термодинамики в переменных сплошной средыПри использовании термодинамических уравнений для описания газодинамическихпроцессов часто бывает удобно ввести в уравнения плотность среды, исключив объем спомощью уравнения m = ρV .