Лекция (1) (1185564), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Касательный вектор∂sвектору поля, т.е.rrr ∂r ( s )ds = αAdr =.∂sЭто условие можно записать и так:dx dy dz==A x Ay A z .Для поля скорости уравнение линии, называемой линией тока, имеет вид:dx dy dz==V x Vy V z .Если линии тока проходят через замкнутый контур L, то образуемая ими трубка называетсятрубкой тока. Поскольку вектор скорости на границе трубки тока касателен к ней, то в случаестационарного течения все частицы жидкости будут оставаться внутри этой трубки.
Трубкаrтока называется элементарной, если вектор поля A в любой точке поверхности S , натянутойна конур L, одинаков.Потоки физических величин и трубка тока.rrПотоком вектора поля A через элементарную поверхность dS называется величинаr rr rrdΦ = ( A ⋅ dS ) . Для поля скорости V потоком вектора скорости является dΦV = (V ⋅ dS ) . Еслирассматривать движение жидкости в течение элементарного интервала времени ∆t , точастицы сплошной среды, находящиеся в момент времени на контуре L, за это времяrrr rrперемещаются на ∆rr = V∆t . Тогда величина dΦV ⋅ ∆t = (V∆t ⋅ dS ) = (∆r ⋅ dS ) = ∆V - это объемжидкости, прошедшей через контрольную поверхность.rДля несжимаемой жидкости div V = 0 и поток через любую замкнутую поверхностьограничивающую некоторый объем, равен нулю:r rr∫Σ (V ⋅ dS ) = ∫V div Vdv = 0 .rr 1ω = rot VПодобно линиям тока можно ввести линии вихря.
Уравнение линий вихря2dx dy dz==ωx ωy ωz .rr 1div ω = div rot V = 0Поскольку, поток вихря через любую замкнутую поверхность равен2нулю:mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 6 of 20rr∫ (ω ⋅ dS ) = 0 .Если в качестве замкнутой поверхности рассматривать объем трубки вектора вихря,ограниченный двумя сечениями Σ1 и Σ 2 , то поток вектора не зависит от выбора контрольногосечения:r rr r⋅dS=(ω)(ω∫∫ ⋅ dS ) .Σ1Σ2Используя теорему Стокса, можно преобразовать поверхностный интеграл ккриволинейному:r r 1 r rr r 1∫Σ (ω ⋅ dS ) = 2 ∫Σ (rotV ⋅ dS ) = 2 ∫C (V ⋅ dl ) = Γ .Постоянство потока вихря вдоль трубки вихря тогда можно рассматривать, как сохранениециркуляции вектора вихря Г по любому контуру, охватывающему эту трубку.Потоки физических величин.Представление о потке массы или скорости можно расширить и на другие физическиевеличины скалярной, векторной или тензорной природы.
Особенно наглядно представление опотоке для экстенсивных (пропорциональных числу частиц) физических величин. Отметимнекоторые величины и их потокиСкалярные: поток числа частиц, поток массы, поток электроического заряда, потоккинетической и внутренней энергии, поток энтропии.Векторные: поток скорости, поток вихря, поток напряженности поля, поток импульсапоток кинетического момента.Балансные соотношения.4. Описание взаимодействия в сплошной средеДля построения динамической теории необходимо ввести физические величины,описывающие действие на выделенный элементарный объем других тел.
В механикематериальной точки для этого использовался вектор силы. Рассмотрим силовое описаниевоздействия и в механике сплошной среды, введя необходимые модификации. Напомним, чтов механике точки мы разделяли силы на два основных типа – силы дальнодействующие, длякоторых можно указать зависимость от расстояния между телами, и силы контактные,возникающие при соприкосновении точки и твердого тела. Контактные силы обусловленымалыми деформациями, которые не регистрируются обычным способом, и поэтомуконтактные силы мы выделяли в особый класс сил, называемых силами реакции.Объемные силыАналогичное разделение целесообразно провести и в механике сплошной среды.Рассмотрим вначале дальнодействующие силы, к которым относятся электромагнитные игравитационные силы.
Пусть элементарный объем ∆V заполнен сплошной средой плотностиρ , так что его масса ∆m = ρ∆V . Сила тяжести, действующая на этот объем,rrr∆F = ∆mg = ρg∆V оказывается пропорциональной величине объема независимо от егоrразмеров и формы: ∆F ~ ∆V . Векторный коэффициент пропорциональности называетсяr r(объемной) плотностью силы: ∆F = f∆V . В рассматриваемом случае объемная плотностьrrсилы имеет вид: f = ρg .Плотность силы задается в каждой точке пространства в каждый момент времени иr r rопределяет физическое поле плотности силы: f = f (r , t ) .По определению, для дальнодействующих сил можно ввести поле плотности силы, еслисила, действующая на элементарный объем ∆V пропорциональна величине этого объема и независит от его формы и размеров. К силам такого типа относятся и электромагнитные силы,действующие на заряженную сплошную среду, если распределение заряда пропорциональновеличине элементарного объема.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 7 of 20Поверхностные силыДля контактных сил ситуация несколько иная.
Существуют такие контактные силы,величина которых пропорциональна площади соприкосновения рассматриваемогоэлементарного объема с другими телами: ΔF ~ ΔS . Величину и ориентацию элементарнойrrrповерхности соприкосновения зададим вектором ∆S . Направление векторов ∆F и ∆S необязательно совпадает и может зависеть от ориентации площадки, поэтому коэффициентыпропорциональности образуют тензор второго ранга. Поэтому соотношение междуэлементарной силой и элементарной площадкой удобнее записать в тензорных обозначениях.Пусть ΔFi - проекции элементарного вектора силы, а ΔS k - проекции вектора элементарнойплощадки.
Тогда условие пропорциональности имеет вид: ∆Fi = pik ∆S k , где тензор второгоранга pik = pik ( xs , t ) определяет поле, характеризующее контактное воздействие на даннуюэлементарную поверхность других частей сплошной среды. Положение элементарнойплощадки в выбранной систем отсчета определяется ее координатами xs в данный моментвремени t и ориентацией, задаваемой вектором ∆S k . Этот тензор называется тензоромлокальных напряжений.Диагональные компоненты тензора определяют нормальные (перпендикулярные)составляющие вектора силы, действующего на площадку, а недиагональные – касательныесоставляющие этой силы.В общем случае тензор второго ранга задается девятью компонентами, однако во многихсредах в силу закона сохранения кинетического момента этот тензор оказываетсясимметричным:pik = pki ,что снижает число независимых компонент тензора до 6.
Соответствующим выборомориентации осей координатной системы можно привести симметричный тензор кдиагональному виду.В простых моделях сплошной среды ее воздействие на элементарную площадку можносчитать не зависящим от ориентации. Такая среда называется изотропной. Если касательныесоставляющие сил, действующих на площадку пренебрежимо малы, то тензор напряжений вэтом случае оказывается диагональным, причем все его компоненты одинаковы. Такаяситуация реализуется в модели взаимодействия жидкости или газа, находящегося вотносительном равновесии, описываемом законом Паскаля. Жидкость или газподчиняющиеся этому закону, называются идеальными.
Тензор напряжений идеальнойсплошной среды имеет вид:pik = − p ( xs , t )δ ki .Знак «минус» в этом выражении выбран так, чтобы элементарная сила, действующая наповерхность, ограничивающую некоторый выделенный объем, была направлена внутрь этогообъема при стандартном выборе внешней к поверхности нормали. При этом удобно считатькоэффициент пропорциональности p( xs , t ) положительной величиной.В более сложных случаях применяются модели, в которых сила, действующая наэлементарную поверхность, имеет касательные составляющие, обычно пропорциональныескорости.5. Уравнения движения сплошной средыВ основу описания сплошной среды обычно кладутся определенные дифференциальныеуравнения, связывающие ее характеристики, хотя в некоторых случаях, например, приописании разрывных течений, дифференциальные соотношения неприменимы.
В этих случаяхиспользуют интегральные соотношения.Основные дифференциальные уравнения, описывающие свойства сплошной среды, могутбыть получены из интегральных балансных соотношений для физических величин, еехарактеризующих. Применение балансных соотношений оказывается эффективным либо в техmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 8 of 20случаях, когда известны локальные законы сохранения рассматриваемых величин, такиекак закон сохранения массы или электрического заряда, либо в ситуациях, когда удаетсяустановить закон изменения рассматриваемой величины, как для импульса или кинетическогомомента системы.Таким образом, рассматриваемые соотношения тесно связаны с законами сохранения илитеоремами об изменении определенных механических, электрических или термодинамическихвеличин и являются обобщением их на случай системы переменного числа частицвозникающих при использовании переменных Эйлера.Рассмотрим простейшие из них.
Напомним, что при описании в переменных Эйлеравыделенный объем сплошной среды выбран всюду неподвижным по отношению к заданнойсистеме отсчета.1. Уравнение непрерывностиРассмотрим изменение массы в некотором выделенном объеме сплошной среды Vпредполагая, что ее частицы могут свободно проникать сквозь поверхность Σограничивающую этот объем. Пусть ρ ( xk , t ) - заданное поле плотности.
Масса в выделенномобъеме определяется интеграломM = ∫ ρ ( xk , t )dVVИзменение массы, в силу локального закона ее сохранения, могут быть вызваны толькопотоками массы через поверхность Σ :I M = ∫ ρvk dskΣБалансные соотношения для массы приводят к уравнению:∂M = −IM,∂tкоторое в данном случае имеет вид:∂ρ ( xk , t )dV = − ∫ ρvk dsk∂t V∫.ΣИспользуя теорему Остроградского-Гаусса, правую часть этого выражения можнопреобразовать к интегралу по объему, так что выражение примет вид:∂∂ρ ( xk , t )dV = − ∫ρvk dV∫∂t V∂xk.VПоскольку полученное соотношение справедливо для любого объема сплошной среды, т. еявляется тождеством относительно V , то подынтегральное выражение в левой и правойчастях этого равенства совпадает. Это приводит к уравнению непрерывности вдифференциальной форме:∂∂ρ+ρv k = 0∂t∂x k.Это соотношение можно записать в векторной форме:∂ρr+ div( ρv ) = 0.∂trrВекторная величина j = ρv называется плотностью потока массы.Еще одна распространенная форма записи связана с введением субстанциальнойd∂∂= + vk∂xk .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
