Лекция (1) (1185564), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Вводя удельные величины с помощью соотношений:Q = mqCV = mcVR = µr ,cV = R µ ,E = meтермическое и калорическое уравнения для идеального газа можно записать в виде:p = rρTe = cV T .Первое начало термодинамики для удельных величин в этом случае представляетсяуравнением:pδq = de − 2 dρρ.Уравнение обратимой адиабаты Пуассона в этих переменных имеет вид:γp = p 0 (ρ ρ 0 ) ,где p0 , ρ0 - давление и плотность газа в начальном состоянии.Энтропия ТД системы и второе начало термодинамикиДифференциальная форма первого начала термодинамики позволяет ввести для описанияпроцессов теплопередачи функцию термодинамического состояния системы - энтропию всоответствии с уравнениемδQ = TdS .Для идеального газа это утверждение формально следует из дифференциальной формыпервого начала при учете термического и калорического уравнений:δQ = CV dT + pdV ,где CV = const ,p = CV (γ − 1)TV .∂CV∂p≠Поскольку ∂V T ∂T V , то δQ не является полным дифференциалом и, следовательно, неможет быть функцией состояния.

Однако, поделив левую и правую часть уравнения натемпературу, мы получим равенство:mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 13 of 20∂  CV ∂  CV  =0 =∂V  T  T ∂T  V  V,которое является необходимым и достаточным условием того, что выражение являетсяполным дифференциалом:δQdS == dS (T , V ).TТаким образом, для идеального газа существует функция состояния - энтропияописывающая теплообмен при квазиравновесных процессах.

Интегрирование приводит кявному выражению для нее: TV γ −1 p / p0 = mcv lnS (T , V ) = CV ln γ −1(ρ / ρ 0 )γ . T0V0Здесь константа интегрирования выбрана равной нулю.Отсюда выражение для удельной энтропии идеального газа:p / p0s = c v ln(ρ / ρ 0 )γ .Утверждение о том, что температура для любой системы, а не только для идеального газаявляется интегрирующим множителем, называется вторым началом термодинамики, которое вформулировке Каратеодори гласит:"Вблизи любого термически равновесного состояния системы существует другоесостояние, как угодно мало отличающееся от первого, которое не может быть достигнутопутем адиабатического перехода".

Можно показать, что оно эквивалентно более привычнойформулировке Клаузиуса о необратимости самопроизвольного перехода теплоты от болеенагретого тела к менее нагретому без каких-либо других изменений в неравновесной системе.Как следует из определения, в адиабатических (и квазиравновесных) процессах энтропиясохраняется.Введение энтропии позволяет с помощью второго начала определить внутреннюю энергиюкак функцию двух переменных – энтропии и давления:pdε = Tds + 2 dρρи установить связь между различными термодинамическими переменными с помощьюсоотношений: ∂ε  ∂ε T = p = ρ 2   ∂s  ρ , ∂ρ  s .В изэнтропийных процессах при s = s 0 = const ε = ε(ρ, s 0 ) = ε(ρ) , что и определяетзависимость p = p (ρ) , необходимую в уравнениях движения сплошной среды.Термодинамические потенциалы. Энтальпия.Очень удобно в механике сплошной среды использование другого термодинамическогопотенциала – энтальпии, определяемой уравнением:w = ε+ p /ρ .Дифференциал энтальпии, как следует из второго начала, имеет вид:dw = Tds + dp / ρ ,так что w = w (s , ρ ) .В изэнтропийных процессах dw = dp / ρ , что позволяет записывать правую частьуравнения Эйлера в компактной форме, удобной для дальнейшего анализа.Неравновесные процессы и рост энтропии.В неравновесной изолированной системе двух тел, очень слабо взаимодействующих междуmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 14 of 20собой, можно определить температуру каждого из тел.

Пусть температура первого телавыше:. Рассмотрим процесс теплообмена, полагая, что других изменений в системе нетТогда направление теплопередачи определено вторым началом термодинамики (в формеδQdS1 =T1 , а второго Клаузиуса). При этом энтропия первого тела уменьшается на величинуδQdS2 =T2 . Поскольку dS2 > dS1 , энтропия такой системы растет в процессеувеличивается наустановления термодинамического равновесия. Обобщая это утверждение на любыенеравновесные процессы, можно утверждать, что во всех случаях установления равновесия втермодинамической системе энтропия увеличивается. В частности, изменения вадиабатической системе δQ = 0 могут идти лишь в направлении роста энтропии ∆S > 0 , асостояние равновесия определяется условием S = max .Замечание.Мы рассмотрим далее не только квазиравновесные процессы. Движение газа можетсопровождаться возникновением ударной волны, в которой энтропия системы возрастает.Однако вначале целесообразно рассмотреть простейшие процессы – изэнтропийноедвижение идеальной жидкости.Потоки термодинамических величин.

Балансные соотношения.6. Баротропное движение идеальной жидкостиВ общем случае плотность среды является функцией температуры и давления: ρ = ρ( p, T ) .Такие процессы называются бароклинными. Если дополнительные условия, например,адиабатичность движения, позволяют установить зависимость плотности только как функциидавления ρ = ρ( p ) , то процессы являются баротропными.Система уравнений идеальной средыr rdρ+ ρ ∇ ⋅v = 0dtrrdvρ= ρf − ∇pdtс заданной зависимостью ρ = ρ( p ) образует систему из пяти уравнений для пяти величин, что()позволяет полностью решить задачу.

Однако угадать термодинамические процессы в каждойточке сплошной среды удается лишь в исключительных случаях. К таким случаям относитсяобратимый адиабатический процесс, упомянутый выше. В частности, для модели идеальногоγгаза зависимость определяется адиабатой Пуассона p (ρ ) = p 0 (ρ / ρ 0 ) , где γ = C p / CV .Если в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точкахсплошной среды, то условие адиабатичности движения жидкости можно просто записать ввиде s = const .

Такое движение называют изэнтропическим.Существенно, что в правую часть уравнений движения идеальной жидкости вместо шестинеизвестных полевых функций p ij (r, t ) будет входить всего одна функция p(r, t ) , так чтоуравнения движения идеальной жидкости, называемые уравнениями Эйлера, принимают вид(в тензорных обозначениях)dv∂pρ i = ρf i −dt∂x i ,(28)mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 15 of 20или (в векторной форме)dv= ρf − ∇p.(29)dtДвижения идеальной жидкости, при которых ее плотность можно рассматривать только какфункцию давления, называют баротропными ρ = F( p) . Такое движение можно описатьсистемой из пяти уравнений - (29), (24) и уравнения, выражающего баротропность движенияили уравнения (27), так как баротропность реализуется и при общем изэнтропическомдвижении идеальной жидкости.Изменение удельной внутренней энергии определяется термодинамическимуравнением теплопроводности (1-й закон термодинамики)∂vdedsdVds=T−p=T− pρ idtdtdtst∂x i(30)ρЕсли к системе уравнений (29), (27), (24), (30) добавить термическое уравнение состоянияp = p(ρ, T) и калорическое уравнение, e = e(ρ, T) , то мы также получим систему уравненийописывающую изэнтропические движения идеальной жидкости.

При изэнтропическомдвижении идеальной жидкостиdw = Vdp ,(31)1где w - удельная энтальпия жидкости, ρ - удельный объем, и поэтому∇w =∇pρ ,(32)Уравнение Эйлера в форме Громеки-ЛэмбаЗапишем векторное уравнение Эйлера для баротропного движения в виде так называемогоуравнения в форме Громеки-Лэмба. Используем соотношение:dv ∂v=+ ( v ⋅ ∇) v(33),dt∂tи следующие легко проверяемые равенстваv21( v ⋅ ∇)v = ∇ − [v ⋅ [∇ ⋅ v]] = grad v 2 − [ v ⋅ rot v] . (34)22Рассмотрим случай потенциальной внешней силы, так что f = −∇U . Подставляя (33) и (34) в(29), получим v2∂v+ 2[ω ⋅ v] = −∇+ w + U  ≡ ∇P∂t 2.(36)Здесь мы также использовали соотношение rot v = 2ω ,7.

Интегралы уравнений движения идеальной жидкостиИнтеграл БернуллиРассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Стационарным илиустановившимся течением называют такое движение, при котором в каждой точкепространства, заполненного жидкостью, поле скоростей постоянно во времени, так что∂v=0.∂tУмножим уравнение Эйлера в форме Громеки-Лэмба на единичный вектор касательнойк линии тока в каждой ее точке. Тогда, учитывая что (1 ⋅ [ω ⋅ v ]) = 0 , получимmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 16 of 20∂P=0.∂lОтсюда следует, что в случае стационарного изэнтропического движения идеальнойжидкости, находящейся в поле консервативных массовых сил, скалярная величинаv2P=+ w +Uпостоянна вдоль каждой линии тока:2(1 ⋅ ∇)P = (1 ⋅ grad P) ≡v2+ w + U = const.2Значение const , вообще говоря, различно для разных линий тока. Полученное соотношениеназывается интегралом Бернулли.Если умножить уравнение Эйлера скалярно на вектор вихря, то вновь получим интегралБернулли, который сохраняется теперь вдоль линии вихря.

Таким образом, интеграл Бернуллисохраняется на поверхности, натянутой на линию тока и вихря, проходящую через выбраннуюлинию тока.Интеграл КошиРассмотрим теперь безвихревое изэнтропическое движение идеальной жидкостинаходящейся в поле консервативных массовых сил.

Безвихревым или потенциальнымназывают движения жидкости, при котором во всем пространстве завихренность равна нулют.е.1ω = rot v = 0.2Поле скоростей при потенциальном течении может быть представлено в видеv = ∇Φ ≡ gradΦ .rСкалярная функция координат и времени Φ (r , t ) называется потенциалом скорости.Подставив эти выражения для скорости и вихря в уравнение Громеки-Лэмба, получимr Φ v2∇++ w + U  = 02 t.Полученное уравнение можно проинтегрировать:∂Φ v 2++ w + U = f (t),∂t2где f (t ) - произвольная функция времени. Этот интеграл называется интегралом Коши.∂Φ= 0 , f ( t ) = constПри стационарном движении ∂t, и интеграл Коши переходит в синтеграл Бернуллиv2+ w + U = const.28.

Характеристики

Список файлов лекций