Part_4 (Лекции (2))

2Page 1 of 52. Малые возмущения в газахРассмотрим распространение малых возмущений в среде. Пусть равновесное состояниесреды описывается параметрами p0 , ρ 0 , V , а отклонения от этих значений в каждой точкепространства в любой момент времени (возмущения) малы и описываютсядифференцируемыми функциями p, ρ, u :))p = p0 + p, ρ = ρ 0 + ρ, v k = Vk + uk .Уравнение непрерывности и уравнение Эйлера для сплошной среды))∂ρ ∂ (ρvk )+=0∂t∂x k))∂ (ρvi ) ∂ (ρvi vk )+=0∂t∂x kпри подстановке в них выражений для плотности и скорости дают в линейном приближениипо возмущениям следующую систему уравнений:∂ρ ∂ (ρ 0 uk ) ∂ (ρVk )++=0∂t∂x k∂x kρ0∂ui∂u∂p+ ρ 0Vk i +=0∂t∂x k ∂x k.Для рассматриваемых баротропных процессов давление среды определяется лишь ееплотностью в данной точке пространства, так что уравнения движения дополняютсязависимостью) ) )p = p (ρ ) .Обычно при описании распростанении звуковых волн предполагается, чтотермодинамические процессы в элементарном объеме среды являются квазиравновесными ипроисходят без изменения числа частиц в данном объеме и без теплообмена.

В этом случаеможно использовать модель адиабатических процессов, в которых зависимость давления отплотности дается соотоношением:))γp = p 0 (ρ ρ 0 ) ,где γ = c p cv - отношение теплоемкостей при изобарном и изохорном процессах.Выполняя дифференцирование по координатам и вводя обозначение∂pp= γ 0 = c2∂ρ sρ0,получим систему дифференциальных уравнений для возмущений плотности и скорости:∂ρ∂u∂ρ+ ρ 0 k + Vk=0∂t∂x k∂x kρ0∂ui∂u∂ρ+ ρ0Vk i + c 2=0∂t∂x k∂x kЧасто для решения системы используется метод исключения одной из переменных,например, возмущения скорости. Получившееся при этом уравнение для возмущенияплотности среды будет уравнением второго порядка:2222ρρρρ2+2V−c+VV=0kk m2xk tx k xkxk x mt.Будем искать решение линейной однородной системы в виде суперпозиции плоскихmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Section_1/Part_4.mht10/2/20052Page 2 of 5монохроматических волн плотности и скорости.

Воспользуемся для этого представлениемрешения в виде интеграла Фурье~ (k ) exp{iωt − ik x }d 3 kρ( x k , t ) = ∫ ρks sui ( x k , t ) = ∫ u~i (k k ) exp{iωt − ik s x s }d 3kПодставляя эти решения в уравнения и проводя дифференцирование, получим длятрансформант Фурье систему алгебраических уравнений:(ω − Vk k k )ρ~ − ρ0 kk u~k = 0~ + ρ (ω − V k )u~ = 0− c 2 ki ρ.0k kiСистема будет иметь нетривиальное решение, если ее определитель обращается в ноль,что позволяет определить значения частоты , при которой существуют волновые решения.Дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между волновым вектором и частотой,удобно получить, если умножить второе уравнение на ki и рассматривать нетривиальные~ и ~z = (k u~ ) . В этом случае дисперсионноерешения системы относительно величин ρi iуравнение имеет вид:(ω − Vk k k )2 = c 2 k 2Вводя угол между вектором скорости невозмущенной среды и волновым вектором(направлением распространения волны), приведем уравнение к виду(ω − Vk cos ϑ)2 = c 2 k 2 .Решение полученного уравнения имеет вид:ω = ω0 (1 + V cos ϑ c ) ,где введено обозначение ω 0 = ck .Решение с ω > 0 существует для любых направлений волнового вектора, если скоростьдвижения невозмущенной среды V меньше фазовой скорости распространения волны визотропной среде c.Величина фазовой скорости монохроматической волны зависит от скорости среды и V инаправления распространения волныωVph = = c + V cos ϑ.kВолна подвергается "сносу" потоком, движущимся со скоростью V.Из уравнения непрерывности для возмущений следует, что вектор скорости возмущенияui направлен вдоль волнового вектораВ том случае, когда скорость невозмущенного потока V превосходит скорость звука (внеподвижной среде) V > c , распространение волны ограничено углами, при которыхвыполняется неравенство c + V cosϑ > 0 .

Волны, волновой вектор которых составляет угол .ϑ.с направлением вектора скорости среды V, имеют фазовую скорость, равную нулю, т.е.поверхность постоянной фазы плоской волны любой частоты не перемещается в пространстве(относительно выбранной системы отсчета). Волновой фронт такой волны составляет свектором скорости потока угол , такой что sin ϕ = c V . Этот угол называется углом Маха.Если возмущение среды вызвано неподвижным источником, находящимся в некоторой точкесреды, например, в начале координат, то волны, создаваемые таким источником,распространяются внутри конуса, вершина которого совпадает с точечным источником, аугол при вершине равен 2.

Этот конус называется конусом Маха. Распространение волновыхmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Section_1/Part_4.mht10/2/20052Page 3 of 5возмущений вне конуса навстречу набегающему потоку невозможно.3. Излучение источника в движущейся средеДля более подробного анализа возмущений среды, создаваемых точечным источником,рассмотрим решение системы уравнений, исключив из нее одну из неизвестных, например,скорость.

При этом удобно перейти к волновому уравнению второго порядка. Наличиеточечного источника возмущения плотности описывается введением -функции в правой частиуравнения.Пусть среда, в которой находится источник, движется со скоростью V в положительномнаправлении оси OX. Размеры источника будем считать пренебрежимо малыми, а еговоздействие на среду – периодическим. В этом случае волновое уравнение будетнеоднородным. Пусть возмущение среды описывается скалярной функцией ϕ: ∂2∂2∂2∂2∂ 2 222 φ = 4πqc 2 δ(x )δ(y )δ(z ) cos Ωt− 2V− c −V−c +2222 ∂t ∂z∂z∂y   ∂x. ∂tРешение уравнения удобно проводить с помощью разложения Фурье по плоским волнам:1r~ r ikrrrik x xrϕ(r , t ) = ∫ dk ϕk , t e , δ( x ) = 2 π ∫ dk x e ,что дает для временной зависимости фурье-компоненты уравнение вынужденныхколебаний вида~& + c 2 1 − β 2 k 2 ϕ~ + c 2k 2 ϕ~ = F (t ) ,&~& − 2iVk ϕϕ(1)zz⊥()( )()F (t ) =4πqc 2cos Ωt(2π )3.с правой частьюРешение уравнения вынужденных колебаний мы будем проводить с помощью функцииГрина, что позволяет в явном виде учесть условие причинности.

Будем искать это решение ввиде~ (t ) =ϕt∫ G(t − t ′)F (t ′)dt ′ .(2)Интегрирование по времени формально можно вести до t → ∞ , если положить, чтофункция Грина имеет вид:G (t − t ′) t ′ < tG (t − t ′) = . 0 t′ > t−∞Такое представление функции Грина соответствует обычному представлению опоследовательности причинно-следственных связях, когда динамическая переменная неможет зависеть от будущего воздействия на систему.Подставляя решение (2) в уравнение (1), для функции Грина получим уравнение:∞∫ {G&& (t − t′) − 2iVk G& (t − t′) + c [(1 − β )k22z2z]+ c 2k ⊥2 G (t − t ′)}F (t ′)dt ′ = F (t )−∞,(3)откуда следует, что выражение в фигурных скобках является δ-функцией:[(])&& (t − t ′) − 2iVk G& (t − t ′) + c 2 1 − β 2 k 2 + c 2 k 2 G (t − t ′) = δ(t − t ′) .Gzz⊥~Фурье-образ для функции Грина G (ω ) , который мы определим выражением(4)∞~G (τ ) = ∫ G (ω)e −iωτ dω−∞mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Section_1/Part_4.mht10/2/20052Page 4 of 5формально выражается дробью11~G (ω) =⋅22π − ω − 2βck z ω + 1 − β 2 c 2 k z2 + c 2 k ⊥2 ,[(])22знаменатель которой обращается в нуль в точках ω1, 2 = −βck z m ck , где k = k⊥ + k z - волновоечисло.

Для определения функции Грина G (t − t ′) следует вычислить интеграл, что удобносделать с помощью теории вычетов. При этом можно так выбрать контур интегрирования, чтоусловие причинности будет выполнено автоматически. Для этого достаточно обойти полюсасверху в комплексной плоскости ω или, что тоже самое, сместить оба полюса вниз сдействительной оси на малую величину ε > 0 , которую после вычисления интеграла следуетустремить к нулю.1e − iω(t −t ′ )dωG (t − t ′) =2π −∫∞ − ω2 − 2βck z ω + (1 − β 2 )c 2 k z2 + c 2 k ⊥2 − iεω .∞[]Вычисляя интеграл при t − t ′ < 0 по контуру, который замыкается в верхнейполуплоскости, мы получим нуль, так как внутри контура полюсов нет. При t − t ′ > 0 контурследует замыкать в нижней полуплоскости, где расположены полюса.

Это приводит кследующему выражению:G (t − t ′) = −ϑ(t − t ′)e iβck z (t −t′ )sin ck (t − t ′).ckЗависимость от времени фурье-компоненты плоской волны имеет вид:~ (t ) = 4πqc e iβck z t ϑ(t − t ′)e −iβckz t′ sin ck (t − t ′) cos Ωt ′dt ′ϕ∫ck(2 π)3−∞∞Теперь нетрудно получить выражение для пространственного распределения поля,создаваемого точечным источником:r4πqcφ(r , t ) = −(2π )3r ik βc (t −t ′ ) sin ck (t − t ′) ikrrr′′′dttttdke()Ω−cos∫−∞∫ e zk∞Внутренний интеграл представим в виде:r i {k x +k y +k [z −βc (t −t ′ )]} sin ck (t − t ′)r r r sin ck (t − t ′)rI = ∫ dke x y z= ∫ dke ikR, где R = (x, y, z-V (t − t ′)) .kkДля выполнения интегрирования выберем сферическую систему так, чтобы полярныйrугол ϑ отсчитывался от вектора R . Тогда∞π∞1r r r sin ck (t − t ′)sin (ckτ ) ikR cos θI = ∫ dke ikR= 2π ∫ k 2dkesinθdθ=2πkdksin(ckτ)dqe ikRq =∫∫∫kk000−1=∞2ππ{δ(cτ − R ) + δ(cτ + R )}kdk sin (ckτ ) sin (kR ) =∫R 02R.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Section_1/Part_4.mht10/2/20052Page 5 of 5Для запаздывающей функции τ = t − t ′ > 0 , R > 0 , так чтоI =πδ(cτ − R )и2Rrqφ(r , t ) =cos Ωt ret.4πRФаза зависит от запаздывающего времени, обусловленное конечным временемраспространения возмущения.r β cos ϑ + 1 − β 2 sin 2 ϑt ret = t − ⋅.c1 − β2Поверхности равной фазы, определяющие волновой фронт в некоторый момент времени,изображены на рисунке.При движении потока со скоростью, превышающей скорость звука (в неподвижном газе),область возмущения имеет вид конуса, угол раствора которого называется углом Маха иcsin θ =определяется выражением:V .Рис.mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Section_1/Part_4.mht10/2/2005.