Part_3 (Лекции (2)), страница 2

е.распределение задано зависимостью, изображенной на рисункеρρ0xlРис.Деформация профиля волны, обусловленная тем, что скорость точки с максимальнымзначением ρ = ρ0 превышает скорость всех остальных участков волны, изображена нарисунке.Для рассмотренного распределения решение перестает быть однозначной функциейкоординаты при t > t0 .

Определить дальнейшую эволюцию системы с помощьюдифференциального уравнения невозможно, поэтому дальнейшее описание процесса мыпроведем с помощью интегральных соотношений. Квазилинейное уравнение∂ρ∂ρ+ V (ρ ) = 0∂t∂xможет быть представлено в видеmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 5 of 7∂ρ ∂Φ+=0,∂t ∂xгдеΦ = ∫ V (ρ )dρ .Ему соответствует интегральное соотношение:x∂ 2ρ( x )dx = Φ ( x1 ) − Φ ( x 2 )∂t x∫1.Для рассматриваемого случаяρ22ρ 0 .Выбирая контрольные поверхности в точках, где поток равен нулю, получим законсохранения (массы) в выделенном объеме:Φ = ∫ V (ρ )dρ =x2∫ ρ(x )dx = const .x1Предположим, что в начальный момент времени имеется разрывное(сформировавшееся из рассмотренного ранее непрерывного треугольного)x<0 0ρ( x ) = ρ 0 x l 0 < x < l 0x>lрешениеЕсли при дальнейшей эволюции этого решения имеется лишь единственный разрыв, то егокоордината в момент t = t1 связана с амплитудой волны соотношениемρ1ρ0=x1 l + V0 t ,которое следует из подобия треугольников.

Здесь мы полагаем, что существование разрываникак не влияет на распространение волны левее него.ρρρ01lx1xРис.Закон сохранения (массы) дает второе соотношение:ρ 0l = ρ1 x1 .Отсюда следует закон движения разрыва – «фронта ударной волны»:x1 (t ) = l 1 + V0 t l .Движение разрыва происходит со скоростьюmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 6 of 7x&1 (t ) = V0 2 1 + V0t l .Амплитуда волны с течением времени убывает:ρ1 (t ) = ρ 0 1 + V0 t l .Квазилинейные уравнения широко используются для описания волновых процессов,сопровождающихся деформацией начального распределения.Известны и широко используются обобщения квазилинейных уравнений, описывающиераспространение волновых пакетов (специальной формы) без деформаций. Приведем этиуравнения и их решения.1) Уравнение Кортевега – де Фриса (КдФ)Это уравнение получается добавкой «дисперсионного» члена:∂u ∂ 3u∂u+ (1 + 12u ) + 3 = 0.∂x ∂x∂tРешение уравнения КДФ, убывающее на бесконечности, имеет видa 2 −2u( x, t ) =ch (a (x − (1 + a 2 )t + b ) 2 ),4где a, b - произвольные постоянные.Оно описывает уединенную волну – солитон, распространяющийся со скоростьюV (a ) = 1 + a 2 , зависящей от амплитуды волны.f(x) over Range 0 to 111f( x )0.50420x5245Рис2) Уравнение Бюргерса (с диссипацией)∂u∂u∂ 2u+u−δ 2 =0∂t∂x∂xДля этого уравнения известно решение Тейлора («ударная волна»), имеющее вид:u( x, t ) = aδ{1 − th(ax − δa 2 t 2 )}mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005Волновое движение средыPage 7 of 7f(x) over Range 0 to 2332f( x)10101050x51010Рисmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_3.mht10/2/2005.