Part_1 (Лекции (2)), страница 4

С учетом термического уравнения p = CV (γ − 1) T Vпервое начало термодинамики для адиабатических процессов приводит к уравнениюTCV dT + CV (γ − 1) dV = 0.VЕсли переход из начального состояния в конечное можно рассматривать какпоследовательность промежуточных квазиравновесных состояний, то дифференциальноесоотношение допускает интегрирование:TV γ −1 = const .Учитывая термическое уравнение, отсюда легко получить зависимость давления от объемасистемы – адиабату Пуассона, описывающую обратимые процессы без теплопередачи:γp (V ) = p 0 (V V0 ) .Здесь p0 ,V0 - параметры начального состояния системы.Уравнения термодинамики в переменных сплошной средыПри использовании термодинамических уравнений для описания газодинамическихпроцессов часто бывает удобно ввести в уравнения плотность среды, исключив объем спомощью уравнения m = ρV .

Вводя удельные величины с помощью соотношений:Q = mqCV = mcVR = µr ,cV = R µ ,E = meтермическое и калорическое уравнения для идеального газа можно записать в виде:p = rρTe = cV T .Первое начало термодинамики для удельных величин в этом случае представляетсяуравнением:pδq = de − 2 dρρ.Уравнение обратимой адиабаты Пуассона в этих переменных имеет вид:γp = p 0 (ρ ρ 0 ) ,где p0 , ρ0 - давление и плотность газа в начальном состоянии.Энтропия ТД системы и второе начало термодинамикиДифференциальная форма первого начала термодинамики позволяет ввести для описанияпроцессов теплопередачи функцию термодинамического состояния системы - энтропию всоответствии с уравнениемδQ = TdS .Для идеального газа это утверждение формально следует из дифференциальной формыпервого начала при учете термического и калорического уравнений:δQ = CV dT + pdV ,где CV = const ,p = CV (γ − 1)TV .∂CV∂p≠Поскольку ∂V T ∂T V , то δQ не является полным дифференциалом и, следовательно, неможет быть функцией состояния.

Однако, поделив левую и правую часть уравнения натемпературу, мы получим равенство:mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 13 of 20∂  CV ∂  CV  =0 =∂V  T  T ∂T  V  V,которое является необходимым и достаточным условием того, что выражение являетсяполным дифференциалом:δQdS == dS (T , V ).TТаким образом, для идеального газа существует функция состояния - энтропияописывающая теплообмен при квазиравновесных процессах.

Интегрирование приводит кявному выражению для нее: TV γ −1 p / p0 = mcv lnS (T , V ) = CV ln γ −1(ρ / ρ 0 )γ . T0V0Здесь константа интегрирования выбрана равной нулю.Отсюда выражение для удельной энтропии идеального газа:p / p0s = c v ln(ρ / ρ 0 )γ .Утверждение о том, что температура для любой системы, а не только для идеального газаявляется интегрирующим множителем, называется вторым началом термодинамики, которое вформулировке Каратеодори гласит:"Вблизи любого термически равновесного состояния системы существует другоесостояние, как угодно мало отличающееся от первого, которое не может быть достигнутопутем адиабатического перехода". Можно показать, что оно эквивалентно более привычнойформулировке Клаузиуса о необратимости самопроизвольного перехода теплоты от болеенагретого тела к менее нагретому без каких-либо других изменений в неравновесной системе.Как следует из определения, в адиабатических (и квазиравновесных) процессах энтропиясохраняется.Введение энтропии позволяет с помощью второго начала определить внутреннюю энергиюкак функцию двух переменных – энтропии и давления:pdε = Tds + 2 dρρи установить связь между различными термодинамическими переменными с помощьюсоотношений: ∂ε  ∂ε T = p = ρ 2   ∂s  ρ , ∂ρ  s .В изэнтропийных процессах при s = s 0 = const ε = ε(ρ, s 0 ) = ε(ρ) , что и определяетзависимость p = p (ρ) , необходимую в уравнениях движения сплошной среды.Термодинамические потенциалы.

Энтальпия.Очень удобно в механике сплошной среды использование другого термодинамическогопотенциала – энтальпии, определяемой уравнением:w = ε+ p /ρ .Дифференциал энтальпии, как следует из второго начала, имеет вид:dw = Tds + dp / ρ ,так что w = w (s , ρ ) .В изэнтропийных процессах dw = dp / ρ , что позволяет записывать правую частьуравнения Эйлера в компактной форме, удобной для дальнейшего анализа.Неравновесные процессы и рост энтропии.В неравновесной изолированной системе двух тел, очень слабо взаимодействующих междуmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 14 of 20собой, можно определить температуру каждого из тел.

Пусть температура первого телавыше:. Рассмотрим процесс теплообмена, полагая, что других изменений в системе нетТогда направление теплопередачи определено вторым началом термодинамики (в формеδQdS1 =T1 , а второго Клаузиуса). При этом энтропия первого тела уменьшается на величинуδQdS2 =T2 . Поскольку dS2 > dS1 , энтропия такой системы растет в процессеувеличивается наустановления термодинамического равновесия. Обобщая это утверждение на любыенеравновесные процессы, можно утверждать, что во всех случаях установления равновесия втермодинамической системе энтропия увеличивается. В частности, изменения вадиабатической системе δQ = 0 могут идти лишь в направлении роста энтропии ∆S > 0 , асостояние равновесия определяется условием S = max .Замечание.Мы рассмотрим далее не только квазиравновесные процессы.

Движение газа можетсопровождаться возникновением ударной волны, в которой энтропия системы возрастает.Однако вначале целесообразно рассмотреть простейшие процессы – изэнтропийноедвижение идеальной жидкости.Потоки термодинамических величин. Балансные соотношения.6. Баротропное движение идеальной жидкостиВ общем случае плотность среды является функцией температуры и давления: ρ = ρ( p, T ) .Такие процессы называются бароклинными.

Если дополнительные условия, например,адиабатичность движения, позволяют установить зависимость плотности только как функциидавления ρ = ρ( p ) , то процессы являются баротропными.Система уравнений идеальной средыr rdρ+ ρ ∇ ⋅v = 0dtrrdvρ= ρf − ∇pdtс заданной зависимостью ρ = ρ( p ) образует систему из пяти уравнений для пяти величин, что()позволяет полностью решить задачу. Однако угадать термодинамические процессы в каждойточке сплошной среды удается лишь в исключительных случаях. К таким случаям относитсяобратимый адиабатический процесс, упомянутый выше.

В частности, для модели идеальногоγгаза зависимость определяется адиабатой Пуассона p (ρ ) = p 0 (ρ / ρ 0 ) , где γ = C p / CV .Если в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точкахсплошной среды, то условие адиабатичности движения жидкости можно просто записать ввиде s = const . Такое движение называют изэнтропическим.Существенно, что в правую часть уравнений движения идеальной жидкости вместо шестинеизвестных полевых функций p ij (r, t ) будет входить всего одна функция p(r, t ) , так чтоуравнения движения идеальной жидкости, называемые уравнениями Эйлера, принимают вид(в тензорных обозначениях)dv∂pρ i = ρf i −dt∂x i ,(28)mhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 15 of 20или (в векторной форме)dv= ρf − ∇p.(29)dtДвижения идеальной жидкости, при которых ее плотность можно рассматривать только какфункцию давления, называют баротропными ρ = F( p) .

Такое движение можно описатьсистемой из пяти уравнений - (29), (24) и уравнения, выражающего баротропность движенияили уравнения (27), так как баротропность реализуется и при общем изэнтропическомдвижении идеальной жидкости.Изменение удельной внутренней энергии определяется термодинамическимуравнением теплопроводности (1-й закон термодинамики)∂vdedsdVds=T−p=T− pρ idtdtdtst∂x i(30)ρЕсли к системе уравнений (29), (27), (24), (30) добавить термическое уравнение состоянияp = p(ρ, T) и калорическое уравнение, e = e(ρ, T) , то мы также получим систему уравненийописывающую изэнтропические движения идеальной жидкости. При изэнтропическомдвижении идеальной жидкостиdw = Vdp ,(31)1где w - удельная энтальпия жидкости, ρ - удельный объем, и поэтому∇w =∇pρ ,(32)Уравнение Эйлера в форме Громеки-ЛэмбаЗапишем векторное уравнение Эйлера для баротропного движения в виде так называемогоуравнения в форме Громеки-Лэмба.

Используем соотношение:dv ∂v=+ ( v ⋅ ∇) v(33),dt∂tи следующие легко проверяемые равенстваv21( v ⋅ ∇)v = ∇ − [v ⋅ [∇ ⋅ v]] = grad v 2 − [ v ⋅ rot v] . (34)22Рассмотрим случай потенциальной внешней силы, так что f = −∇U . Подставляя (33) и (34) в(29), получим v2∂v+ 2[ω ⋅ v] = −∇+ w + U  ≡ ∇P∂t 2.(36)Здесь мы также использовали соотношение rot v = 2ω ,7. Интегралы уравнений движения идеальной жидкостиИнтеграл БернуллиРассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Стационарным илиустановившимся течением называют такое движение, при котором в каждой точкепространства, заполненного жидкостью, поле скоростей постоянно во времени, так что∂v=0.∂tУмножим уравнение Эйлера в форме Громеки-Лэмба на единичный вектор касательнойк линии тока в каждой ее точке. Тогда, учитывая что (1 ⋅ [ω ⋅ v ]) = 0 , получимmhtml:http://www.chizh2006.narod.ru/Part_1.mht10/2/2005ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫPage 16 of 20∂P=0.∂lОтсюда следует, что в случае стационарного изэнтропического движения идеальнойжидкости, находящейся в поле консервативных массовых сил, скалярная величинаv2P=+ w +Uпостоянна вдоль каждой линии тока:2(1 ⋅ ∇)P = (1 ⋅ grad P) ≡v2+ w + U = const.2Значение const , вообще говоря, различно для разных линий тока.