Part4 (Лекции (1))

2. Малые возмущения в газахРассмотрим распространение малых возмущений в среде. Пусть равновесное состояниесреды описывается параметрами p0 , ρ 0 , V , а отклонения от этих значений в каждой точкепространства в любой момент времени (возмущения) малы и описываются дифференцируемымифункциями p, ρ, u :))p = p0 + p, ρ = ρ 0 + ρ, vk = Vk + uk .Уравнение непрерывности и уравнение Эйлера для сплошной среды))∂ρ ∂ (ρv k )+=0∂t∂xk))∂ (ρvi ) ∂ (ρvi vk )+=0∂t∂x kпри подстановке в них выражений для плотности и скорости дают в линейном приближении повозмущениям следующую систему уравнений:∂ρ ∂ (ρ 0 uk ) ∂ (ρVk )++=0∂t∂x k∂xk∂u∂u∂pρ 0 i + ρ 0Vk i +=0∂t∂xk ∂x k.Для рассматриваемых баротропных процессов давление среды определяется лишь ееплотностью в данной точке пространства, так что уравнения движения дополняютсязависимостью) ) )p = p (ρ ) .Обычно при описании распростанении звуковых волн предполагается, чтотермодинамические процессы в элементарном объеме среды являются квазиравновесными ипроисходят без изменения числа частиц в данном объеме и без теплообмена.

В этом случаеможно использовать модель адиабатических процессов, в которых зависимость давления отплотности дается соотоношением:))γp = p0 (ρ ρ 0 ) ,где γ = c p cv - отношение теплоемкостей при изобарном и изохорном процессах.Выполняя дифференцирование по координатам и вводя обозначение∂pp= γ 0 = c2∂ρ sρ0,получим систему дифференциальных уравнений для возмущений плотности и скорости:∂ρ∂u∂ρ+ ρ0 k + Vk=0∂x k∂t∂x k∂u∂u∂ρρ0 i + ρ0Vk i + c 2=0∂xk∂t∂xk37Часто для решения системы используется метод исключения одной из переменных, например,возмущения скорости. Получившееся при этом уравнение для возмущения плотности средыбудет уравнением второго порядка:2222ρρρρ2VcVV+2−+=0kk m2xk txk xkxk xmt.Будем искать решение линейной однородной системы в виде суперпозиции плоскихмонохроматических волн плотности и скорости. Воспользуемся для этого представлениемрешения в виде интеграла Фурье~ (k ) exp{iωt − ik x }d 3kρ( x k , t ) = ∫ ρks sui ( xk , t ) = ∫ u~i (k k ) exp{iωt − ik s x s }d 3kПодставляя эти решения в уравнения и проводя дифференцирование, получим длятрансформант Фурье систему алгебраических уравнений:(ω − Vk k k )ρ~ − ρ0 k k u~k = 0~ + ρ (ω − V k )u~ = 0− c 2 ki ρ0k ki.Система будет иметь нетривиальное решение, если ее определитель обращается в ноль, чтопозволяет определить значения частоты ω , при которой существуют волновые решения.Дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между волновым вектором и частотой,удобно получить, если умножить второе уравнение на k i и рассматривать нетривиальные~~ ~решения системы относительно величин ρ и z = (k i ui ) .

В этом случае дисперсионное уравнениеимеет вид:(ω − Vk k k )2 = c 2 k 2Вводя угол θ между вектором скорости невозмущенной среды и волновым вектором(направлением распространения волны), приведем уравнение к виду(ω − Vk cos ϑ)2 = c 2 k 2 .Решение полученного уравнения имеет вид:ω = ω0 (1 + V cos ϑ c ) ,где введено обозначение ω 0 = ck .Решение с ω > 0 существует для любых направлений волнового вектора, если скоростьдвижения невозмущенной среды V меньше фазовой скорости распространения волны визотропной среде c.Величина фазовой скорости монохроматической волны зависит от скорости среды и V инаправления распространения волныωV ph = = c + V cos ϑk.Волна подвергается "сносу" потоком, движущимся со скоростью V.38Из уравнения непрерывности для возмущений следует, что вектор скорости возмущения uiнаправлен вдоль волнового вектораВ том случае, когда скорость невозмущенного потока V превосходит скорость звука (внеподвижной среде) V > c , распространение волны ограничено углами, при которыхвыполняется неравенство c + V cosϑ > 0 .

Волны, волновой вектор которых составляет угол .ϑ. снаправлением вектора скорости среды V, имеют фазовую скорость, равную нулю, т.е.поверхность постоянной фазы плоской волны любой частоты не перемещается в пространстве(относительно выбранной системы отсчета). Волновой фронт такой волны составляет с векторомскорости потока угол ϕ , такой что sin ϕ = c V . Этот угол называется углом Маха. Есливозмущение среды вызвано неподвижным источником, находящимся в некоторой точке среды,например, в начале координат, то волны, создаваемые таким источником, распространяютсявнутри конуса, вершина которого совпадает с точечным источником, а угол при вершине равен 2ϕ .

Этот конус называется конусом Маха. Распространение волновых возмущений вне конусанавстречу набегающему потоку невозможно.3. Излучение источника в движущейся средеДля более подробного анализа возмущений среды, создаваемых точечным источником,рассмотрим решение системы уравнений, исключив из нее одну из неизвестных, например,скорость. При этом удобно перейти к волновому уравнению второго порядка. Наличие точечногоисточника возмущения плотности описывается введением δ-функции в правой части уравнения.Пусть среда, в которой находится источник, движется со скоростью V в положительномнаправлении оси OX. Размеры источника будем считать пренебрежимо малыми, а еговоздействие на среду – периодическим.

В этом случае волновое уравнение будет неоднородным.Пусть возмущение среды описывается скалярной функцией ϕ:⎧ ∂2∂2∂2∂2∂ 2 ⎞⎫222⎛⎟ φ = 4πqc 2 δ(x )δ(y )δ(z ) cos Ωt⎜2VcVc−−−−+⎨2222 ⎟⎬⎜∂t ∂z∂z∂y ⎠⎭⎝ ∂x⎩ ∂t.Решение уравнения удобно проводить с помощью разложения Фурье по плоским волнам:r r ikrrr1r~ k,t edk x e ik x xδ( x ) =ϕ(r , t ) = ∫ dk ϕ∫2π,,что дает для временной зависимости фурье-компоненты уравнение вынужденных колебанийвида222~2 2~~~&&& − 2iVk ϕϕz + c 1 − β k z ϕ + c k ⊥ ϕ = F (t ) ,(1)с правой частью4πqc 2F (t ) =cos Ωt(2π )3.Решение уравнения вынужденных колебаний мы будем проводить с помощью функцииГрина, что позволяет в явном виде учесть условие причинности. Будем искать это решение ввиде()( )(~ (t ) =ϕ)t∫ G (t − t ′)F (t ′)dt ′−∞.(2)39Интегрирование по времени формально можно вести до t → ∞ , если положить, что функцияГрина имеет вид:⎧G (t − t ′) t ′ < tG (t − t ′) = ⎨⎩ 0 t′ > t.Такое представление функции Грина соответствует обычному представлению опоследовательности причинно-следственных связях, когда динамическая переменная не можетзависеть от будущего воздействия на систему.Подставляя решение (2) в уравнение (1), для функции Грина получим уравнение:∞∫ {G&&(t − t′) − 2iVk G& (t − t′) + c [(1 − β )k22z2z]+ c 2k ⊥2 G (t − t ′)}F (t ′)dt ′ = F (t )−∞,(3)откуда следует, что выражение в фигурных скобках является δ-функцией:[]&& (t − t ′) − 2iVk G& (t − t ′) + c 2 (1 − β 2 )k 2 + c 2 k 2 G (t − t ′) = δ(t − t ′)Gzz⊥.~Фурье-образ для функции Грина G (ω ) , который мы определим выражениемG (τ ) =∞~∫ G (ω)e−iωτ(4)dω−∞формально выражается дробью11~G (ω) =⋅22π − ω − 2βck z ω + (1 − β 2 )c 2 k z2 + c 2 k ⊥2 ,22знаменатель которой обращается в нуль в точках ω1,2 = −βckz m ck , где k = k⊥ + k z - волновоечисло.

Для определения функции Грина G (t − t ′) следует вычислить интеграл, что удобносделать с помощью теории вычетов. При этом можно так выбрать контур интегрирования, чтоусловие причинности будет выполнено автоматически. Для этого достаточно обойти полюсасверху в комплексной плоскости ω или, что тоже самое, сместить оба полюса вниз сдействительной оси на малую величину ε > 0 , которую после вычисления интеграла следуетустремить к нулю.[]1e − iω(t −t′ )dωG (t − t ′) =2π −∫∞ − ω2 − 2βck z ω + (1 − β 2 )c 2 k z2 + c 2 k ⊥2 − iεω .∞[]Вычисляя интеграл при t − t ′ < 0 по контуру, который замыкается в верхней полуплоскости,мы получим нуль, так как внутри контура полюсов нет.

При t − t ′ > 0 контур следует замыкать внижней полуплоскости, где расположены полюса. Это приводит к следующему выражению:G (t − t ′) = −ϑ(t − t ′)e iβckz (t −t′ )sin ck (t − t ′)ck.40Зависимость от времени фурье-компоненты плоской волны имеет вид:~ (t ) = 4πqc e iβck zt ϑ(t − t ′)e −iβck zt′ sin ck (t − t ′) cos Ωt ′dt ′ϕ∫ck(2π )3−∞∞Теперь нетрудно получить выражение для пространственного распределения поля,создаваемого точечным источником:r4πqcφ(r , t ) = −(2π )3r ik βc (t −t ′ ) sin ck (t − t ′) ikrrr′′′()dttttdkcosΩe−∫−∞∫ e zk∞Внутренний интеграл представим в виде:r i {k x +k y +k [z −βc (t −t ′ )]} sin ck (t − t ′)r r r sin ck (t − t ′)r= ∫ dke ikRI = ∫ dke x y zRkk, где = (x, y, z-V (t − t ′)) .Для выполнения интегрирования выберем сферическую систему так, чтобы полярный угол ϑrотсчитывался от вектора R .

Тогда1∞π∞r r r sin ck (t − t ′)sin (ckτ ) ikR cos θ()I = ∫ dke ikR= 2π ∫ k 2dkesinθdθ=2πkdksinckτdqe ikRq =∫∫∫kk000−1∞=2ππ{δ(cτ − R ) + δ(cτ + R )}kdk sin (ckτ ) sin (kR ) =∫R 02R.Для запаздывающей функции τ = t − t ′ > 0 , R > 0 , так чтоI =πδ(cτ − R )2Rиrqφ(r , t ) =cos Ωt ret4πR.Фаза зависит от запаздывающегораспространения возмущения.времени,обусловленноеконечнымвременемr β cos ϑ + 1 − β 2 sin 2 ϑt ret = t − ⋅1 − β2c.Поверхности равной фазы, определяющие волновой фронт в некоторый момент времени,изображены на рисунке.При движении потока со скоростью, превышающейскорость звука (в неподвижном газе), область возмущенияимеет вид конуса, угол раствора которого называется угломcsin θ =V .Маха и определяется выражением:41Рис.42.