Part3 (Лекции (1))

Раздел III. Волновое движение1. Волновые уравненияПри описании среды в переменных Эйлера физические характеристики ее определяютсязаданием некоторой величины (или совокупности физических величин) в каждой точкепространства в данный момент времени. Изменение этих величин (в данной точкепространства) с течением времени называется движением.Среди возможных движений сплошной среды выделяется волновое движение, которое вбольшинстве случаев можно интерпретировать, как последовательное перемещение значенийфизических величин, заданных в некоторый (начальный) момент времени в определенныхточках пространства от одной точки к другой.

Представление о волновом движении впростейшем случае иллюстрируется одномерным движением. Пусть при t = 0 в некоторойобласти пространства 0 < x < l задано начальное распределение физической величины(например, плотности массы) с помощью функции: ρ( x , 0 ) = f ( x ) . Движение называетсяволновым, если с течением времени изменение распределения плотности можноинтерпретировать, например, как смещение начального распределения в положительномнаправлении оси OX :ρ( x , t ) = f ( x − Vt ) .В рассматриваемом случае смещение пропорционально времени. Коэффициентпропорциональности называется (фазовой) скоростью волны.Если начальное распределение задано дифференцируемой функцией, то нетрудно найтидифференциальное уравнение (в частных производных), которому удовлетворяет данноеволновое движение среды:∂ρ∂ρ+V=0∂t∂x.(1)Полученное уравнение называется уравнением простой волны.Если начальное распределение не описывается дифференцируемой функцией, то уравнениеволнового движения удобнее задавать в интегральной форме, рассматривая перенос волнойданной физической величины (например массы) через границу выделенного объема.x2m(t ) = ∫ ρ( x, t )dxx1Изменение массы в данной области, вызванное волновым движением среды, определяетсяпотоком ее через границу:xr r∂ 2m& (t ) = ∫ ρ( x, t )dx = −V ∫ ρ( x )dσ + V ∫ ρ( x )dσ = − ∫ ρ( x )Vdσx2x1∂t x1Σ(2)Для дифференцируемой функции, используя теорему Гаусса, это соотношение можно привестик виду:2∂∂()ρ=−x,tdx∫x ∂t∫x ∂x (ρ(x )V )dx11x2x,что сразу же дает дифференциальное уравнение (1).Если среда является изотропной и допускает распространение волн как в положительном,так и в отрицательном направлении с одинаковой скоростью, то волновое уравнение (1) удобнозаменить уравнением второго порядка:2∂2ρ2 ∂ ρ−V=0∂t 2∂x 2,(3)31решениекоторогопредставляетпроизвольнуюсуперпозициюфункцийρ( x, t ) = f 1 ( x − Vt ) + f 2 ( x + Vt ) , описывающих две волны, распространяющиеся навстречу другдругу.Представление Фурье позволяет описывать произвольную функцию в виде интеграла:+∞~ (k , ω) exp{ikx − iωt}dkρ( x , t ) = ∫ ρ−∞,~где каждая Фурье-компонента ρ (k , ω) удовлетворяет волновому уравнению (3), что приводит ксоотношению (4), связывающему волновое число k и частоту ω:ω2 − V 2k 2 = 0 ,(4)которое называется дисперсионным соотношением.Решение волнового уравнения в виде монохроматической волны называется нормальнойволной и является обобщением решения линейного уравнения для определения собственныхколебаний системы.Во многих случаях распространение волны в среде сопровождается изменением формыначального распределения.

Фурье-разложение представляет естественный подход дляобобщения понятия волнового движения. Действительно, начальное распределение физическойвеличины может быть задано как суперпозиция нормальных волн с различной скоростьюраспространения. В этом случае можно задать V = V (k ) или V = V (ω) и исследоватьраспространение волнового пакета. Для упрощения поставленной задачи положим, что внекоторой окрестности значений волнового числа k задано дисперсионное соотношение (4),которое представлено лишь первыми членами разложения:2∂ω(k − k 0 ) + 1 ∂ ω2 (k − k 0 )2 + o (k − k 0 )2ω = ω(k ) = ω0 +∂k2 ∂k,(5)где ω0 = ±Vk0 .()Пространственное распределение физической величины представляется в виде интегралаФурье:ρ( x , t ) =∫ ρ~(k , ω) exp{ikx − i[ω+∞0]}+ ω′0 (k − k 0 ) + ω′0′ (k − k 0 ) 2 t dk =2−∞+∞~ (k + k , ω) exp{i ( x − ω′ t )k − i (ω′′t 2 )k 2 }dk= exp{ik 0 ( x − Vt )} ∫ ρ000−∞.Если волновой пакет состоит из группы волн с близкими значениями волнового числаk − k 0 < ∆ и одинаковыми амплитудами, то при ω′0 ∆ >> ω′0′∆2 волновое решение имеет видволны с изменяющейся амплитудой:ρ( x, t ) = A( x, t ) exp{ik0 ( x − Vt )},где~ (k ) exp{i ( x − ω′ t )k }dk =ρ~(k ) 2 sin (( x − ω′0t )∆ )A( x, t ) = ρ0 ∫00( x − ω′0t )∆ .−∆+∆Полученное пространственное распределение физической величины называется волновым∂ωV gr =∂k , называемой групповой скоростью волны.пакетом и распространяется со скоростьюОбласть локализации волнового пакета определяется не равными нулю членами Фурье~разложения ρ (k , ω) , вносящими заметный вклад в интеграл.

При вычислении интеграла мыполагали, что отличные от нуля члены дают заметный вклад лишь в малой окрестности k0.32Квадратичные члены разложения (5) приводят к изменению начальной формы пакета – егорасплыванию:⎧ ( x − ω′0t )22ππ⎫exp ⎨− i+i ⎬2ω′0′t4⎭ω′0′t−∞⎩.Явление расплывания волнового пакета, образованного из нормальных волн с различнойфазовой скоростью распространения, называется дисперсией (от лат.

Dispersio – рассеяние,уничтожение).Волновое уравнение для волн, обладающих дисперсией, несколько сложнее рассмотренногоранее простейшего. Примером может служить уравнение Клейна-Гордона∂ 2ϕ 2 ∂ 2ϕ−c+ ω02ϕ = 0∂t 2∂x 2,для которого дисперсионное уравнение имеет видω2 (k ) = c 2 k 2 + ω02 .+∞2∫ exp{i(x − ω′0t )k − i (ω′0′t 2)k }dk =Фазовая скорость этой волныV ph (k ) =ω= c 1 + ω02 c 2 k 2k,Vgr (k ) =ck∂ω=∂k1 + ω02 c 2 k 2 .а групповаяСвязь между фазовой и групповой скоростью нетривиальна. Возможны случаи, когда этискорости отличаются знаком..Полученные результаты допускают естественное обобщение на многомерные системы.

Вrэтом случае приходится вместо волнового числа вводить волновой вектор k , определяющийнаправление распространения волны. Поверхность постоянной фазы, определенная внекоторый момент времени, называется волновым фронтом. Волновой вектор определяетнормаль к волновому фронту – направление распространения волны.Другая возможность обобщения понятия волнового движения связана с рассмотрениемпроцессов переноса выделенного состояния среды со скоростью, определяемой этимсостоянием (в каждой точке).

Рассмотрим вновь одномерную волну. Пусть начальноераспределение задано на некотором интервале, например 0 < x < l , некоторой функциейρ( x , 0) = f ( x ) , а распространение волны происходит со скоростью, определяемой состояниемсреды в данной точке: V = V (ρ ) . В этом случае в момент времени t ≠ 0 координата точки,имевшей значение ρ(s ) изменится:x = s + V ( f (s ))t(6)Это уравнение можно рассматривать, как параметрическое задание волнового решения впроизвольный момент времени, поскольку оно определяет структуру волны ρ( x , t ) позаданному начальному распределению. Если распределение описывается дифференцируемойфункцией, то нетрудно получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяетволновое движение рассматриваемого типа.

Действительно, ρ( s ) определяет волну в33произвольный момент времени, если уравнение (6) определяет (в неявной форме) значениепараметра s = s ( x, t ) в произвольный момент времени в данной точке пространства.Дифференцирование дает:∂ρ ∂ρ ∂s∂s== ρ′∂x∂x ∂s ∂x∂ρ ∂ρ ∂s∂s== ρ′∂t ∂s ∂t∂t .Из уравнения (6) следует:∂s1∂sV==−∂t1 + V ′t .∂x 1 + V ′tρ(x,t)получается нелинейное дифференциальноеОтсюда для дифференцируемой функцииуравнение, описывающее волновой процесс:∂ρ∂ρ+ V (ρ ) = 0∂t∂x.Уравнение такого типа называется квазилинейным. Описанный метод построения решенияквазилинейного уравнения называется методом характеристик (Римана).

Напомним, чтохарактеристикой уравнения называется зависимость x = x (t , f 0 ) , определяющая закон движенияточки с заданным значением физической величины f 0 = const . Дифференцирование этогосоотношения позволяет определить скорость распространения рассматриваемой точки «вдольхарактеристики». В частности, для указанного нелинейного уравнения скоростьраспространения постоянна.Однозначное решение указанного типа для произвольного начального распределения можетсуществовать лишь в ограниченной области пространства в течение ограниченного интервалавремени.Рассмотрим простой пример.

Пусть, для определенности, скорость распространения волныρV (ρ ) = V0ρ 0 , а начальное распределениепропорциональна величине возмущения среды, т. е.задано зависимостью, изображенной на рисункеρρ0xlРис.Деформация профиля волны, обусловленная тем, что скорость точки с максимальнымзначением ρ = ρ0 превышает скорость всех остальных участков волны, изображена на рисунке.Для рассмотренного распределения решение перестает быть однозначной функциейкоординаты при t > t0 . Определить дальнейшую эволюцию системы с помощьюдифференциального уравнения невозможно, поэтому дальнейшее описание процесса мыпроведем с помощью интегральных соотношений. Квазилинейное уравнение34∂ρ∂ρ+ V (ρ ) = 0∂t∂xможет быть представлено в виде∂ρ ∂Φ+=0∂t ∂x,гдеΦ = ∫ V (ρ )dρ.Ему соответствует интегральное соотношение:∂ 2ρ( x )dx = Φ ( x1 ) − Φ ( x 2 )∂t x∫1x.Для рассматриваемого случаяρ22ρ 0 .Выбирая контрольные поверхности в точках, где поток равен нулю, получим закон сохранения(массы) в выделенном объеме:Φ = ∫ V (ρ )dρ =x2∫ ρ(x )dx = const.Предположим, что в начальный момент времени имеется разрывное решение(сформировавшееся из рассмотренного ранее непрерывного треугольного)x<0⎧ 0⎪ρ( x ) = ⎨ρ 0 x l 0 < x < l⎪ 0x>l⎩Если при дальнейшей эволюции этого решения имеется лишь единственный разрыв, то егокоордината в момент t = t1 связана с амплитудой волны соотношениемx1ρ0ρ1=x1 l + V0 t ,которое следует из подобия треугольников.