Part2 (Лекции (1))

Раздел II. Течение идеальной жидкости.1. Равновесие несжимаемой жидкостиВ покоящейся жидкости vi = 0 и уравнение Эйлера и описывает условия равновесия:∂p= ρf i∂xi.Рассмотрим простейшие примеры решения этого уравнения.а) Несжимаемая жидкость ρ = const покоится в однородном поле тяжести f i = gi . Определить давление в жидкости.В системе координат OXYZ, в которой ось OZ направлена вертикально вниз g i = {0, 0, g },уравнения Эйлера имеют вид:∂p∂p∂p=0=0= ρg∂y∂x∂z,,.Решение системы тривиально и имеет вид:p ( x, y , z ) = p0 + ρgz .б) Определить равновесную форму поверхности жидкости, вращающейся как твердое тело сугловой скоростью ω и давление внутри жидкости.

Определить силу, действующую на небольшое тело, вращающееся вместе с жидкостью.Для определения равновесия жидкости, вращающейся в однородном поле тяжести, воспользуемся уравнением Эйлераrr rr∂v 1 r 21r+ ∇v + 2[ω ⋅ v ] = − ∇p + g∂t 2ρ.r∂v=0Мы рассматриваем стационарное течение, поэтому ∂t. Распределение скоростей теченияr r r rr r rg[]v=ω⋅rжидкости – твердотельное, ускорение свободного падения постоянно - = ∇(g ⋅ r ) иr⎛ p⎞1r∇p = ∇⎜⎜ ⎟⎟⎝ρ⎠.плотность жидкости постоянна ρПри твердотельном вращении[ωr ⋅ vr ] = [ωr [ωr ⋅ rr ]] = ωr (ωr ⋅ rr ) − rrω2 ,r r r2 rrr r2r r rr∇v 2 = ∇[ω ⋅ r ] = ∇ r 2 ω2 − (ω ⋅ r ) = 2 r ω2 − ω(ω ⋅ r ) ,и уравнение Эйлера можно привести к виду:r ⎛ v2 p r r ⎞∇⎜⎜ − + (g ⋅ r )⎟⎟ = 0⎝2 ρ⎠.() {}Выберем систему координат так, чтобы поверхность жидкости, вращающейся вокруг вертикальной оси OZ проходила через начало координат, так что давление в этой точке равно атмосферному: p (0) = p0 .

Интегрирование уравнения Эйлера при таком условии дает:p ( x , y , z ) = p0 +ρv 2 ( x , y , z )− ρgz2,или, учитывая зависимость величины скорости от координат:p ( x, y , z ) = p0 +ρω2 (x 2 + y 2 )− ρgz2.21Для определение выталкивающей силы т. е. суммы поверхностных сил, действующих на тело,необходимо вычислить интеграл:rrF = − ∫ pdσS.Преобразуя поверхностный интеграл к объемному и выполняя интегрирование (по теореме осреднем), для малого объема получим:⎧ − ρVω2 xrr⎪F ( x, y, z ) = − ∫ ∇pdu = ⎨− ρVω2 yV⎪ ρVg⎩.2. Стационарное обтекание телаРассмотрим безвихревое стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости, при коrr 1ω = rot v ≡ 02торомво всем пространстве. Такое движение можно описать единственной скалярной функцией - потенциалом скорости течения жидкости, определяющей поле скоростей:r rv = ∇ϕ .

Система уравнений содержит два уравнения - непрерывности и Эйлера, которые присделанных предположениях в отсутствие объемных сил имеют вид:∆ϕ = 0r ⎛ ρv 2⎞∇⎜⎜+ p ⎟⎟ = 0⎝ 2⎠.Интеграл уравнения Эйлера (интеграл Бернулли) позволяет определить давление в жидкостипо заданному распределению скоростейρv 2p+= const2Таким образом, при сделанных предположениях для полного решения задачи достаточнолишь уравнения непрерывности∆ϕ = 0 ,которое необходимо дополнить граничными условиями.Рассмотрим два примера течения несжимаемой жидкости.1) Обтекание шара стационарным потокомПусть поток жидкости движется с постоянной скоростью вдоль оси OZ.

Потенциал поля скоростей невозмущенного потока (в отсутствие шара) определим выражением:rrrϕ 0 (r ) = Vr = Vr cos ϑ .( )Если в жидкости находится шар радиуса а, центр которого совпадает с началом координат,то он возмущает поток жидкости. Будем считать возмущенный поток установившимся и безвихревым. В этом случае потенциал поля скоростей может быть представлен в виде суммы:rrrϕ(r ) = ϕ 0 (r ) + ϕ1 (r ) ,rгде ϕ1 (r ) - потенциал возмущения, создаваемого шаром.

Потенциал возмущения скоростиудовлетворяет уравнению Лапласа∆ϕ1 = 0 .Предположим, что возмущение потенциала скорости шаром пренебрежимо мало на большихrрасстояниях, так что ϕ1 (r ) → 0 при r >> a . Поверхность шара будем считать непроницаемойдля жидкости, так что радиальная компонента скорости на поверхности шара обращается в нуль.22Это приводит ко второму граничному условиюrr∂ϕ 0 (r )∂ϕ1 (r )=−= − V cos ϑ∂r r =a∂r r =a.Предполагая, что возмущенное течение жидкости также как и движение невозмущенного потока является аксиально-симметричным, для потенциала возмущения получим уравнение (всферических координатах)∂ ⎛ 2 ∂ϕ1 ⎞1 ∂ ⎛∂ϕ ⎞⎜r⎟+⎜ sin ϑ 1 ⎟ = 0∂r ⎝ ∂r ⎠ sin ϑ ∂ϑ ⎝∂ϑ ⎠.Решение уравнения методом разделения переменныхϕ1 (r, ϑ) = R (r )Θ(ϑ)приводит к следующему уравнению для угловой части:1 ∂ ⎛∂Θ ⎞⎜ sin ϑ⎟ = −CΘsin ϑ ∂ϑ ⎝∂ϑ ⎠,где С - константа разделения переменных.Решение будет регулярным при C = n (n + 1) и удовлетворять граничному условию на поверхности шара при n = 1 :Θ(ϑ) = cos ϑ .Соответственно, радиальное уравнение для возмущения имеет видd ⎛ 2 dR ⎞⎜r⎟ − 2R = 0dr ⎝ dr ⎠,и его решение может быть получено подстановкой R = Ar s .

Решение уравнения, удовлетворяющее условию убывания возмущения на бесконечности, существует при s = −2 . Таким образом, возмущение потенциала, создаваемое непроницаемым шаром заданного радиуса имеетвид:ϕ1 (r, ϑ) = Ar −2 cos ϑ ,а константа А определяется из условия на поверхности шараr∂ϕ1 (r )= −2 Aa −3 cos ϑ = −V cos ϑ∂r r =a3и равна A = Va / 2 . Отсюда окончательно получаем выражения для потенциала возмущенияжидкостиVa(a r )2 cos ϑϕ1 (r, ϑ) =2,а также поле возмущения вектора скорости (в сферических координатах)r r3u = ∇ϕ1 (r, ϑ) = −V (a r ) {cos ϑ, sin ϑ 2, 0} .Это позволяет определить распределение давления на поверхности шараρV 2 ⎛ 9⎞p R = p0 + 0 ⎜1 − sin 2 ϑ ⎟2 ⎝ 4⎠,где p0 – давление в невозмущенном потоке.Так как распределение давления симметрично относительно экваториальной плоскостиϑ = π 2 , то суммарное силовое воздействие потока идеальной несжимаемой жидкости вдольнаправления движения оказывается равным нулю.

То есть, воздействие движущейся жидкостина неподвижный шар (или воздействие жидкости на шар, движущейся в ней) равно нулю. Этотрезультат формально можно получить, вычисляя воздействие потока на элементарную площадку dσ на поверхности сферы. В силу аксиальной симметрии потока жидкости сила, действую23щая на сферу, может быть направлена только вдоль оси OZ :dFz = − p R (ϑ) cos ϑdσ .Выполняя интегрирование по всей поверхности сферы, получимπFz = −2 πR2∫ p (ϑ) cos ϑ sin ϑdϑ = 0R0.Этот эффект называется парадоксом Даламбера.В системе отсчета, где жидкость покоится, шар движется с постоянной скоростью.

Интерпретация парадокса Даламбера в этой системе сводится к утверждению, что идеальная несжимаемая жидкость (при потенциальном обтекании) не оказывает сопротивления движущемусяшару.Присоединенная массаВозмущение потока жидкости шаром изменяет (увеличивает) кинетическую энергию этогопотока.

Эффект увеличения кинетической энергии потока при обтекании им неподвижного шаrра легко рассчитывается с помощью полученных выражений для вектора скорости u . Для этогоrследует учесть, что полная скорость v в любой точке возмущенного потока определяется сумr r rмой v = V + u , и определить изменение кинетической энергии, вызванное присутствием шара.Однако в большинстве случаев интерпретация этого явления связывается с изменениями, которые вызывает в жидкости движущееся тело (в данном случае шар). Рассмотрим такую постановку задачи. Пусть в начальный момент времени в выбранной системе отсчета жидкость покоится.

Предположим, что в этой жидкости находится непроницаемый шар массой М, которыйначинает движение с нулевой начальной скоростью под действием постоянной силы. Спустянекоторое время шар будет двигаться относительно жидкости с заданной скоростью V. Предполагая, что обтекание шара в любой момент является потенциальным, применим к этой задачеполученные выше результаты.Для определения скорости шара можно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии системы шар + жидкость:⎛ MV 2⎞∆Tsys = ∆⎜⎜+ Thydr ⎟⎟ = A⎝ 2⎠,где А – работа приложенной силы, а Thydr – кинетическая энергия возмущения жидкости.

Если врассматриваемый момент центр движущегося шара совпадает с началом (неподвижной) системы отсчета, то распределение скоростей жидкости, обтекающей этот шар дается выражениемrдля u :r3u = −V (a r ) {cos ϑ, sin ϑ 2,0} ,а плотность кинетической энергии возмущенной жидкости -:ρ u 2 ρV 2(a r )6 ⎧⎨cos 2 ϑ + 1 sin 2 ϑ⎫⎬τ==224⎭.⎩Интегрируя это выражение по всему объему, получим кинетическую энергию возмущения:π∞ρV 21⎧⎫6Thydr =2π ∫ sin ϑdϑ⎨cos 2 ϑ + sin 2 ϑ⎬ ∫ r 2 dr (a r )24⎩⎭a0.Выполняя интегрирование, получим окончательно:ρV 2 2πa 3 mV 2=Thydr =232 ,где введено обозначениеm=ρ2 πa 33 .24Поскольку энергия возмущения в жидкости определяется лишь скоростью движения шара, амасса жидкости, вовлеченной в движение, не зависит от его скорости, суммарная энергия системы оказывается пропорциональной кинетической энергии движущегося шара.

Учет энергиижидкости, приведенной в движение, можно произвести, добавляя к массе движущегося шара«присоединенную» массу m. Таким образом, кинетическая энергия системы шар + жидкостьвыражается введением присоединенной массы: M ′ = M + m . Теорема об изменении энергиисистемы позволяет получить эффективное динамическое уравнение движения шара в жидкости:r rM ′&r& = F ,вид которого совпадает с уравнение Ньютона, но которое описывает движение системы шар +жидкость.252) Обтекание цилиндра стационарным потоком с циркуляциейПредположение об аксиальной симметрии обтекающего потока в ряде случаев не выполняется.

Это может являться следствием как асимметрии обтекаемых тел, так и изменения граничных условий. Рассмотрим простейшую модель – обтекание непроницаемого цилиндра радиусаa, расположенного перпендикулярно потоку идеальной несжимаемой жидкости. Будем считать,что всюду в области, занятой жидкостью, движение потенциально, т. е. распределение скоростей описывается потенциалом скорости ϕ , удовлетворяющим уравнению Лапласа в цилиндрических координатах r, ϑ :1 ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ 1 ∂ 2 ϕ=0⎜r⎟+r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂ϑ2с условием непроницаемости∂ϕ=0∂r a.Будем как и ранее считать, что возмущение потока жидкости, вносимое цилиндром, убывает набесконечности, что дает асимптотическое поведение потенциала скоростиϕ r →∞ = V∞ r cos ϑ .Регулярное решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее сделанным предположениям, можетбыть получено методом разделения переменных и имеет вид:⎛a2 ⎞ϕ 0 = V∞ ⎜⎜ r + ⎟⎟ cos ϑr ⎠⎝.Учесть асимметрию обтекания можно путем добавления к потенциалу симметричного расΓϕ1 =ϑϕ2π :пределения скоростей 0 потенциала циркуляции⎛Γa2 ⎞ϕ = ϕ 0 + ϕ1 = V∞ ⎜⎜ r + ⎟⎟ cos ϑ +ϑr ⎠2π .⎝Это приводит к асимметричному относительно горизонтальной диаметральной плоскости цилиндра распределению скоростей потока:⎛ a2 ⎞v r = V∞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ cos ϑ,r ⎠⎝⎛ a2 ⎞Γvϑ = −V∞ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ sin ϑ +r ⎠2 πr .⎝Такое поле скоростей является всюду безвихревым, кроме точки r = 0 .

Однако циркуляция вектора скорости по контуру C1 , охватывающему цилиндр, отлична от нуля:r r∫C v dr = Γ1.Вычисляя с помощью интеграла Бернулли поле давлений, получаем2ρ⎛ Γ⎞p (ϑ) = p0 − ⎜− 2V∞ sin ϑ ⎟2 ⎝ 2 πa⎠ .Отсюда определяется сила, действующая на единицу длины цилиндра, находящегося в потоке сциркуляцией, которая имеет следующие компоненты:2πFx = − ∫ p (ϑ)a cos ϑdϑ = 00,2πFy = − ∫ p (ϑ)a sin ϑdϑ = −ρV∞ Γ0.26Таким образом, поток идеальной несжимаемой жидкости действует на цилиндр с силой, перпендикулярной направлению скорости невозмущенного потока. Эта сила называется подъемной силой Жуковского.3.