Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf), страница 12

å‡ÚÂχÚË͇ ‡ÒÒÚÓflÌËÈåÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X, d) ·Û‰ÂÚ ·‡ˈÂÌÚ˘ÂÒÍËÏ, ÂÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ β > 0 Ë ÓÚÓ·‡ÊÂÌË f : B(X) → X ËÁ Ç(ï) ̇ ï, Ú‡ÍË ˜ÚÓ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ód(f(µ), f(ν)) ≤ βdiam(supp(µ + ν))|| µ–ν ||TVÒÔ‡‚‰ÎË‚Ó ‰Îfl β·˚ı ÏÂ µ, ν ∈ B(X).ä‡Ê‰Ó ·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X, d = || x–y ||) ÂÒÚ¸ ·‡ˈÂÌÚ˘ÂÒÍÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ‚ ÍÓÚÓÓÏ Ì‡ËÏÂ̸¯Â β ‡‚ÌÓ 1, Ë ÓÚÓ·‡ÊÂÌË f(µ)fl‚ÎflÂÚÒfl Ó·˚˜Ì˚Ï ˆÂÌÚÓÏ Ï‡ÒÒ˚∫X xdµ( x ). ã˛·Ó ‡‰‡Ï‡‰Ó‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó(Ú.Â. ÔÓÎÌÓ ëÄí(0) ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó) ·Û‰ÂÚ ·‡ˈÂÌÚ˘ÂÒÍËÏ Ò Ì‡ËÏÂ̸¯ËÏ β,‡‚Ì˚Ï 1, Ë ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ f(µ) ‚ ͇˜ÂÒڂ ‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ÚÓ˜ÍË ÏËÌËÏÛχ ÙÛÌ͈ËËg( y ) =∫X d2f( x, y)dµ( x ) ̇ ï.äÓÏÔ‡ÍÚÌÓ ͂‡ÌÚÓ‚Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓèÛÒÚ¸ V ·Û‰ÂÚ ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ (ËÎË, ·ÓΠӷӷ˘ÂÌÌÓ,ÎÓ͇θÌÓ ‚˚ÔÛÍÎ˚Ï ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍËÏ ‚ÂÍÚÓÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ), ‡ V – „ÓÌÂÔÂ˚‚Ì˚Ï ‰‚ÓÈÒÚ‚ÂÌÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ, Ú.Â.

ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ ‚ÒÂı ÌÂÔÂ˚‚Ì˚ıÎËÌÂÈÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÓ̇ÎÓ‚ f ̇ V. ë··‡fl* ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl (ËÎË ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl ÉÂθه̉‡) ̇V ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl Í‡Í Ò‡Ï‡fl Ò··‡fl (Ú.Â. Ò Ì‡ËÏÂ̸¯ËÏ ÍÓ΢ÂÒÚ‚ÓÏ ÓÚÍ˚Ú˚ıÏÌÓÊÂÒÚ‚) ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl ̇ V, ڇ͇fl ˜ÚÓ ‰Îfl Í‡Ê‰Ó„Ó x ∈ V ÓÚÓ·‡ÊÂÌË Fx : V → ,Á‡‰‡‚‡ÂÏÓ ÛÒÎÓ‚ËÂÏ Fx(f) = f(x) ‰Îfl ‚ÒÂı f ∈ V, ÓÒÚ‡ÂÚÒfl ÌÂÔÂ˚‚Ì˚Ï.èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ÔÓfl‰ÍÓ‚ÓÈ Â‰ËÌˈ˚ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ˜‡ÒÚ˘ÌÓ ÛÔÓfl‰Ó˜ÂÌÌÓ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÂ) ‚ÂÍÚÓÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (Ä, p− ) Ò ‚˚‰ÂÎÂÌÌ˚Ï˝ÎÂÏÂÌÚÓÏ Â, ̇Á˚‚‡ÂÏ˚Ï ÔÓfl‰ÍÓ‚ÓÈ Â‰ËÌˈÂÈ, ÍÓÚÓÓ ı‡‡ÍÚÂËÁÛÂÚÒfl ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏË Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ÏË:1) ‰Îfl β·Ó„Ó a ∈ A ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ r ∈ , Ú‡ÍÓ ˜ÚÓ a p− re;2) ÂÒÎË a ∈ A Ë a p− re ‰Îfl ‚ÒÂı ÔÓÎÓÊËÚÂθÌ˚ı r ∈ , ÚÓ a p− 0 (‡ıËωӂÓÒÚ¸).éÒÌÓ‚Ì˚Ï ÔËÏÂÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ÔÓfl‰ÍÓ‚ÓÈ Â‰ËÌˈ˚ fl‚ÎflÂÚÒfl ‚ÂÍÚÓÌÓÂÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ‚ÒÂı Ò‡ÏÓÔËÒÓ‰ËÌÂÌÌ˚ı ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ ÛÌËÚ‡ÌÓÈ C*-‡Î„·˚, ‰ËÌ˘Ì˚Ï ˝ÎÂÏÂÌÚÓÏ ‚ ÍÓÚÓÓÈ ÒÎÛÊËÚ ÔÓfl‰ÍÓ‚‡fl ‰ËÌˈ‡.

á‰ÂÒ¸ C* -‡Î„·‡ fl‚ÎflÂÚÒfl·‡Ì‡ıÓ‚ÓÈ ‡Î„·ÓÈ Ì‡‰ , Ò̇·ÊÂÌÌÓÈ ÒÔˆˇθÌ˚Ï ËÌ‚ÓβÚË‚Ì˚Ï ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂÏ. é̇ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÛÌËÚ‡ÌÓÈ, ÂÒÎË ËÏÂÂÚ Â‰ËÌËˆÛ (˝ÎÂÏÂÌÚ, ÌÂÈÚ‡Î¸Ì˚ÈÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ÛÏÌÓÊÂÌËfl); Ú‡ÍË C * -‡Î„·˚ ‚ÂҸχ ÔË·ÎËÊÂÌÌÓ Ì‡Á˚‚‡˛Ú ¢ÂÍÓÏÔ‡ÍÚÌ˚ÏË ÌÂÍÓÏÏÛÚ‡ÚË‚Ì˚ÏË ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍËÏË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË. íËÔ˘Ì˚Ï ÔËÏÂÓÏ ÛÌËÚ‡ÌÓÈ C* -‡Î„·˚ fl‚ÎflÂÚÒfl ÍÓÏÔÎÂÍÒ̇fl ‡Î„·‡ ÎËÌÂÈÌ˚ıÓÔÂ‡ÚÓÓ‚ ̇ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ „ËηÂÚÓ‚ÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â, ÍÓÚÓÓ ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍËÁ‡ÏÍÌÛÚÓ ‚ ÚÓÔÓÎÓ„ËË ÌÓÏ˚ ÓÔÂ‡ÚÓÓ‚ Ë Á‡ÏÍÌÛÚÓ ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ÓÔÂ‡ˆËË‚ÁflÚËfl ÒÓÔflÊÂÌÌ˚ı ̇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ÓÔÂ‡ÚÓÓ‚.èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÒÓÒÚÓflÌËÈ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ÔÓfl‰ÍÓ‚ÓÈ Â‰ËÌˈ˚ ( A, p−, e) fl‚ÎflÂÚÒflÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ S( A) = { f ∈ A+′ :|| f || = 1} ÒÓÒÚÓflÌËÈ, Ú.Â.

ÌÂÔÂ˚‚Ì˚ı ÎËÌÂÈÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÓ̇ÎÓ‚ f Ò || f || = f(e ) = 1. äÓÏÔ‡ÍÚÌÓ ͂‡ÌÚÓ‚Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓêËÙÙÂÎfl – ˝ÚÓ Ô‡‡ (Ä, || ⋅ ||Lip), „‰Â ( A, p−, e) ÂÒÚ¸ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÔÓfl‰ÍÓ‚ÓȉËÌˈ˚ Ë || ⋅ ||Lip – ÔÓÎÛÌÓχ ̇ Ä (ÒÓ Á̇˜ÂÌËflÏË ‚ [0, +∞]), ̇Á˚‚‡ÂχflÎËԯˈ‚ÓÈ ÔÓÎÛÌÓÏÓÈ, ÍÓÚÓ‡fl Û‰Ó‚ÎÂÚ‚ÓflÂÚ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ ÛÒÎÓ‚ËflÏ:1) ‰Îfl a ∈ A ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó || a ||Lip = 0 ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡a ∈ e;É·‚‡ 1. 鷢ˠÓÔ‰ÂÎÂÌËfl532) ÏÂÚË͇ d Lip ( f , g) = sup a ∈A:|| a || Lip ≤1 | f ( a) − g( a) | ÔÓÓʉ‡ÂÚ Ì‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÂÒÓÒÚÓflÌËÈ S(A) Â„Ó Ò··Û˛* ÚÓÔÓÎӄ˲.í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, Ï˚ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ Ó·˚˜ÌÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (S(A), d Lip).ÖÒÎË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÔÓfl‰ÍÓ‚ÓÈ Â‰ËÌˈ˚ ( A, p−, e) fl‚ÎflÂÚÒfl C*-‡Î„·ÓÈ, ÚÓ dLip ÂÒÚ¸ÏÂÚË͇ äÓÌ̇, Ë ÂÒÎË, ·ÓΠÚÓ„Ó, C*-‡Î„·‡ fl‚ÎflÂÚÒfl ÌÂÍÓÏÏÛÚ‡ÚË‚ÌÓÈ, ÚÓÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (S(A), dLip) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÌÂÍÓÏÏÛÚ‡ÚË‚Ì˚Ï ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.Ç˚‡ÊÂÌË ͂‡ÌÚÓ‚Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÔÓfl‚ËÎÓÒ¸ ÔÓÚÓÏÛ, ˜ÚÓÏÌÓ„Ë ˝ÍÒÔÂÚ˚ ‚ ӷ·ÒÚË Í‚‡ÌÚÓ‚ÓÈ „‡‚ËÚ‡ˆËË Ë ÚÂÓËË ÒÚÛÌ Ò˜ËÚ‡˛Ú„ÂÓÏÂÚ˲ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡-‚ÂÏÂÌË ‚·ÎËÁË ‰ÎËÌ˚ è·Ì͇ ÒıÓÊÂÈ Ò „ÂÓÏÂÚËÂÈÚ‡ÍËı ÌÂÍÓÏÏÛÚ‡ÚË‚Ì˚ı ë* -‡Î„·.

ç‡ÔËÏÂ, ÚÂÓËfl ÌÂÍÓÏÏÛÚ‡ÚË‚ÌÓ„Ó ÔÓÎflÔ‰ÔÓ·„‡ÂÚ, ˜ÚÓ Ì‡ ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ Ï‡Î˚ı (Í‚‡ÌÚÓ‚˚ı) ‡ÒÒÚÓflÌËflı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÂÌÌ˚ ÍÓÓ‰Ë̇Ú˚ Ì ÍÓÏÏÛÚËÛ˛Ú, Ú.Â. Ì‚ÓÁÏÓÊÌÓ ÚÓ˜ÌÓ ËÁÏÂËÚ¸ ÔÓÎÓÊÂÌ˘‡ÒÚˈ˚ ÓÚÌÓÒËÚÂθÌÓ ·ÓΠ˜ÂÏ Ó‰ÌÓÈ ÓÒË.ìÌË‚Â҇θÌÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓåÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (U, d) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÛÌË‚Â҇θÌ˚Ï ‰Îfl ÒÂÏÂÈÒÚ‚‡ ÏÂÚ˘ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚, ÂÒÎË Î˛·Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (M, d M ) ËÁ fl‚ÎflÂÚÒfl ËÁÓÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ‚ÎÓÊÂÌËÂÏ ‚ (U , d), Ú.Â. ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÓÚÓ·‡ÊÂÌË f : M → U, ÍÓÚÓÓ ۉӂÎÂÚ‚ÓflÂÚ ÛÒÎӂ˲ dM (x, y) = d(f(x, f(y) ‰Îfl β·˚ı x,y ∈ M.ä‡Ê‰Ó ÒÂÔ‡‡·ÂθÌÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ï, d) ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ËÁÓÏÂÚ˘ÂÒÍË ‚ÎÓÊÂÌÓ (ÔÓ î¯Â, 1909) ‚ (ÌÂÒÂÔ‡‡·ÂθÌÓÂ) ·‡Ì‡ıÓ‚ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó l∞. àÏÂÌÌÓ, d(x, y) = supi | d(x, ai) – d(y, a i) |, „‰Â ÂÒÚ¸ (a1 ,…,ai,...)ÔÎÓÚÌÓ ҘÂÚÌÓ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï.ä‡Ê‰Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ËÁÓÏÂÚ˘ÂÒÍË ‚ÎÓÊËÏÓ (ÔÓ äÛ‡ÚÓ‚ÒÍÓÏÛ,1935) ‚ ·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó L ∞(X) Ó„‡Ì˘ÂÌÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ f : X →  Ò ÌÓÏÓÈsupx∈X| f(x) |.èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ì˚ÒÓ̇ ÂÒÚ¸ Ó‰ÌÓÓ‰ÌÓ ÔÓÎÌÓ ÒÂÔ‡‡·ÂθÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó,ÍÓÚÓÓ fl‚ÎflÂÚÒfl ÛÌË‚Â҇θÌ˚Ï ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ‰Îfl ‚ÒÂı ÒÂÔ‡‡·ÂθÌ˚ı ÏÂÚ˘ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚.ÉËθ·ÂÚÓ‚ ÍÛ· fl‚ÎflÂÚÒfl ÛÌË‚Â҇θÌ˚Ï ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ‰Îfl Í·ÒÒ‡ÏÂÚ˘ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ ÒÓ Ò˜ÂÚÌÓÈ ·‡ÁÓÈ.É‡Ù˘ÂÒÍÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÒÎÛ˜‡ÈÌÓ„Ó „‡Ù‡ ù‰Â¯‡–êÂÌË (ÓÔ‰ÂÎflÂÏÓ„Ó Í‡Í ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı ÔÓÒÚ˚ı ˜ËÒÂÎ p ≡ 1(mod4), ̇ ÍÓÚÓÓÏ Ô‡‡ pq·Û‰ÂÚ ·ÓÏ, ÂÒÎË  – Í‚‡‰‡Ú˘Ì˚È ‚˚˜ÂÚ ÔÓ ÏÓ‰Ûβ q) fl‚ÎflÂÚÒfl ÛÌË‚Â҇θÌ˚ÏÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ‰Îfl β·Ó„Ó ÍÓ̘ÌÓ„Ó ËÎË Ò˜ÂÚÌÓ„Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ„ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Ò ‡ÒÒÚÓflÌËflÏË, ÔËÌËχ˛˘ËÏË ÚÓθÍÓ Á̇˜ÂÌËfl 0, 1 ËÎË 2.

éÌÓÔ‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚ ÒÓ·ÓÈ ‰ËÒÍÂÚÌ˚È ‡Ì‡ÎÓ„ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ì˚ÒÓ̇.ëÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÏÂÚË͇ d ̇ , Ë̉ۈËÛ˛˘‡fl Ó·˚˜ÌÛ˛ (ËÌÚÂ‚‡Î¸ÌÛ˛) ÚÓÔÓÎӄ˲, ڇ͇fl ˜ÚÓ (, d) fl‚ÎflÂÚÒfl ÛÌË‚Â҇θÌ˚Ï ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ‰Îfl‚ÒÂı ÍÓ̘Ì˚ı ÏÂÚ˘ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (ïÓίÚËÌÒÍËÈ, 1978). Ň̇ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó l∞n fl‚ÎflÂÚÒfl ÛÌË‚Â҇θÌ˚Ï ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ‰Îfl ‚ÒÂıÏÂÚ˘ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (ï, d) Ò | X | ≤ n  + 2 (ÇÛθÙ, 1967). Ö‚ÍÎˉӂÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó n fl‚ÎflÂÚÒfl ÛÌË‚Â҇θÌ˚Ï ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ‰Îfl ‚ÒÂıÛθÚ‡ÏÂÚ˘ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (ï, d) Ò | X | ≤ n + 1; ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ‚ÒÂı ÍÓ̘Ì˚ıÙÛÌ͈ËÈ f(t) : ≥0 → , Ò̇·ÊÂÌÌÓ ÏÂÚËÍÓÈ d(f, g) = sup{t : f(t) ≠ g(t)}, fl‚ÎflÂÚÒflÛÌË‚Â҇θÌ˚Ï ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ‰Îfl ‚ÒÂı ÛθÚ‡ÏÂÚ˘ÂÒÍËıÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (Ä. ãÂÏËÌ, Ç. ãÂÏËÌ, 1996).54ó‡ÒÚ¸ I.

å‡ÚÂχÚË͇ ‡ÒÒÚÓflÌËÈìÌË‚Â҇θÌÓÒÚ¸ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÓÔ‰ÂÎÂ̇ Ë ‰Îfl ‰Û„Ëı ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÈÏÂÚ˘ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (ÔÓÏËÏÓ ËÁÓÏÂÚ˘ÂÒÍËı ‚ÎÓÊÂÌËÈ), ̇ÔËÏÂ ‰Îfl ·ËÎËԯˈ‚‡ ‚ÎÓÊÂÌËfl Ë ‰Û„Ëı. í‡Í, β·Ó ÍÓÏÔ‡ÍÚÌÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÔ‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚ ÒÓ·ÓÈ ÌÂÔÂ˚‚Ì˚È Ó·‡Á ͇ÌÚÓÓ‚‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ò Ì‡ÚÛ‡Î¸ÌÓÈÏÂÚËÍÓÈ | x–y |, Û̇ÒΉӂ‡ÌÌÓÈ ÓÚ .äÓÌÒÚÛÍÚË‚ÌÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓäÓÌÒÚÛÍÚË‚ÌÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó – Ô‡‡ (ï, d), „‰Â ï fl‚ÎflÂÚÒfl ÌÂÍËÏ̇·ÓÓÏ ÍÓÌÒÚÛÍÚË‚Ì˚ı Ó·˙ÂÍÚÓ‚ (Ó·˚˜ÌÓ ˝ÚÓ ÒÎÓ‚‡ ̇‰ ÌÂÍÓÚÓ˚Ï ‡ÎÙ‡‚ËÚÓÏ),‡ d – ‡Î„ÓËÚÏ Ô‚‡˘ÂÌËfl β·ÓÈ Ô‡˚ ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ‚ ÍÓÌÒÚÛÍÚË‚ÌÓ ‚¢ÂÒÚ‚ÂÌÌÓ ˜ËÒÎÓ d(x, y) Ú‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ˜ÚÓ d ÒÚ‡ÌÓ‚ËÚÒfl ÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ ï.ùÙÙÂÍÚË‚ÌÓ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓèÛÒÚ¸ {xn }n∈ – ÔÓÒΉӂ‡ÚÂθÌÓÒÚ¸ ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ Á‡‰‡ÌÌÓ„Ó ÔÓÎÌÓ„Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ„ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (ï, d), ڇ͇fl ˜ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó {xn : n ∈ } fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÎÓÚÌ˚Ï ‚ (ï, d).èÛÒÚ¸ (m, n, k) – ͇ÌÚÓÓ‚Ó ˜ËÒÎÓ ÚÓÈÍË (n, m, k) ∈ 3 , a {qk}k∈ , ‡ – ÙËÍÒËÓ‚‡Ì̇fl Òڇ̉‡Ú̇fl ÌÛÏÂ‡ˆËfl ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ‡ˆËÓ̇θÌ˚ı ˜ËÒÂÎ.íÓÈ͇ (X, d,{xn }n∈ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ˝ÙÙÂÍÚË‚Ì˚Ï ÏÂÚ˘ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ([Hemm02]), ÂÒÎË ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó {(n,m,k):d(x m, xn) < qk} fl‚ÎflÂÚÒfl ÂÍÛÒË‚ÌÓ ÔÂ˜ËÒÎËÏ˚Ï.

éÌÓ Ô‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚ ÒÓ·ÓÈ ‡‰‡ÔÚ‡ˆË˛ ‚‚‰ÂÌÌÓ„Ó ÇÂÈı‡ÛıÓÏ ÔÓÌflÚËfl‚˚˜ËÒÎflÂÏÓ„Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (ËÎË ÂÍÛÒË‚ÌÓ„Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ„ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡).É·‚‡ 2íÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡íÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X, τ)) ÂÒÚ¸ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ï Ò ÚÓÔÓÎÓ„ËÂÈ τ, Ú.Â. ÒËÒÚÂÏÓÈ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï, ӷ·‰‡˛˘Ëı ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏË Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ÏË:1)  X ∈ τ, 0/  ∈ τ;2) ÂÒÎË Ä, B ∈ τ, ÚÓ Ä ∩ B ∈ τ;3) ‰Îfl β·ÓÈ ÒËÒÚÂÏ˚ {Aα}α, ÂÒÎË ‚Ò A∝ ∈ τ, ÚÓ ∪α Aα ∈ τ.åÌÓÊÂÒÚ‚‡ ËÁ τ ̇Á˚‚‡˛ÚÒfl ÓÚÍ˚Ú˚ÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË, ‡ Ëı ‰ÓÔÓÎÌÂÌËfl̇Á˚‚‡˛ÚÒfl Á‡ÏÍÌÛÚ˚ÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË.

ŇÁÓÈ ÚÓÔÓÎÓ„ËË τ fl‚ÎflÂÚÒfl ÒËÒÚÂχÓÚÍ˚Ú˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚, ڇ͇fl ˜ÚÓ Í‡Ê‰Ó ÓÚÍ˚ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÂÒÚ¸ Ó·˙‰ËÌÂÌËÂÏÌÓÊÂÒÚ‚ ËÁ ·‡Á˚. ë‡Ï‡fl „Û·‡fl ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl ËÏÂÂÚ ‰‚‡ ÓÚÍ˚Ú˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ (ÔÛÒÚÓÂË ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ï) Ë Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl Ú˂ˇθÌÓÈ (ËÎË ‡ÌÚˉËÒÍÂÚÌÓÈ) ÚÓÔÓÎÓ„ËÂÈ.ç‡Ë·ÓΠ‰Âڇθ̇fl ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl ‚Íβ˜‡ÂÚ ‚Ò ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ‚ ͇˜ÂÒÚ‚Â ÓÚÍ˚Ú˚ı Ë̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ‰ËÒÍÂÚÌÓÈ ÚÓÔÓÎÓ„ËÂÈ.Ç ÏÂÚ˘ÂÒÍÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â (X, d) ÓÔ‰ÂÎËÏ ÓÚÍ˚Ú˚È ¯‡ Í‡Í ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓB(x,r) = {y ∈ X : d(x,y) < r}, „‰Â x ∈ X (ˆÂÌÚ ¯‡‡) Ë r ∈ , r > 0 (‡‰ËÛÒ ¯‡‡).èÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï, ÍÓÚÓÓ fl‚ÎflÂÚÒfl Ó·˙‰ËÌÂÌËÂÏ (ÍÓ̘ÌÓ„Ó ËÎË·ÂÒÍÓ̘ÌÓ„Ó ˜ËÒ·) ÓÚÍ˚Ú˚ı ¯‡Ó‚, ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÓÚÍ˚Ú˚Ï ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ.ùÍ‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ, ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó U ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÓÚÍ˚Ú˚Ï, ÂÒÎË ‰Îflβ·ÓÈ ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÌÓÈ ÚÓ˜ÍË x ∈ U ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ ˜ËÒÎÓ ε > 0, Ú‡ÍÓ˜ÚÓ ‰Îfl β·ÓÈ ÚÓ˜ÍË y ∈ X, Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘ÂÈ ÛÒÎӂ˲ d(x,y) < ε, ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒflÛÒÎÓ‚Ë y ∈ U. ã˛·Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó fl‚ÎflÂÚÒfl ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍËÏ, ÒÚÓÔÓÎÓ„ËÂÈ (ÏÂÚ˘ÂÒÍÓÈ ÚÓÔÓÎÓ„ËÂÈ, ÚÓÔÓÎÓ„ËÂÈ, ÔÓÓʉ‡ÂÏÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ d)ÒÓÒÚÓfl˘ÂÈ ËÁ ‚ÒÂı ÓÚÍ˚Ú˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚.

åÂÚ˘ÂÒ͇fl ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl ‚Ò„‰‡ ÂÒÚ¸ T4(ÒÏ. ÔÂ˜Â̸ ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ ÌËÊÂ). íÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó,ÍÓÚÓÓ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÔÓÎÛ˜ÂÌÓ Ú‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ ËÁ ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡,̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÏÂÚËÁÛÂÏ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ.èÓÎÛÏÂÚ˘ÂÒ͇fl ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl – ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl ̇ ï, ÔÓÓʉ‡Âχfl ‡Ì‡Îӄ˘Ì˚ÏÓ·‡ÁÓÏ ÔÓÎÛÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ ï. Ç Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â ‰‡Ì̇fl ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl Ì fl‚ÎflÂÚÒfl ‰‡ÊÂí0. 䂇ÁËÏÂÚ˘ÂÒ͇fl ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl ÂÒÚ¸ ÚÓÔÓÎÓ„Ëfl ̇ ï, ÔÓÓʉ‡Âχfl Í‚‡ÁËÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ ï.èÛÒÚ¸ (X, τ) – ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.

íÓ„‰‡ ÓÍÂÒÚÌÓÒÚ¸˛ ÚÓ˜ÍË x ∈ ẊÁ˚‚‡ÂÚÒfl ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó, ÒÓ‰Âʇ˘Â ÓÚÍ˚ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó, ÍÓÚÓÓÂ, ‚ Ò‚Ó˛Ó˜Â‰¸, ÒÓ‰ÂÊËÚ ı. á‡Ï˚͇ÌËÂÏ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡fl‚ÎflÂÚÒfl ̇ËÏÂ̸¯Â Á‡ÏÍÌÛÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó, Â„Ó ÒÓ‰Âʇ˘ÂÂ. éÚÍ˚ÚÓÂÔÓÍ˚ÚË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ÂÒÚ¸ ÒËÒÚÂχ ÓÚÍ˚Ú˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚, Ó·˙‰ËÌÂÌËÂÍÓÚÓ˚ı ‡‚ÌÓ ï; Â„Ó ÔÓ‰ÔÓÍ˚ÚËÂÏ fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÍ˚ÚË , Ú‡ÍÓ ˜ÚÓ Í‡Ê‰˚ÈÓ·˙ÂÍÚ ËÁ fl‚ÎflÂÚÒfl Ó·˙ÂÍÚÓÏ ËÁ ; Â„Ó ÔÓ‰‡Á‰ÂÎÂÌËÂÏ fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÍ˚ÚË ,Ú‡ÍÓ ˜ÚÓ Í‡Ê‰˚È Ó·˙ÂÍÚ ËÁ ÂÒÚ¸ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÌÂÍÓÂ„Ó Ó·˙ÂÍÚ‡ ËÁ .ëÂÏÂÈÒÚ‚Ó ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÎÓ͇θÌÓ ÍÓ̘Ì˚Ï, ÂÒÎË͇ʉ‡fl ÚӘ͇ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ËÏÂÂÚ ÓÍÂÒÚÌÓÒÚ¸, ÔÂÂÒÂ͇˛˘Û˛Òfl ÚÓθÍÓ ÒÍÓ̘Ì˚Ï ˜ËÒÎÓÏ ˝ÚËı ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚.

èÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó A ⊂ X ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÎÓÚÌ˚Ï,56ó‡ÒÚ¸ I. å‡ÚÂχÚË͇ ‡ÒÒÚÓflÌËÈÂÒÎË ÓÌÓ ËÏÂÂÚ ÌÂÔÛÒÚÓ ÔÂÂÒ˜ÂÌËÂ Ò Í‡Ê‰˚Ï ÌÂÔÛÒÚ˚Ï ÓÚÍ˚Ú˚Ï ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏËÎË, ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ, ÂÒÎË Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌ˚Ï ÒÓ‰Âʇ˘ËÏ Â„Ó Á‡ÏÍÌÛÚ˚Ï ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏfl‚ÎflÂÚÒfl Ò‡ÏÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ï. Ç ÏÂÚ˘ÂÒÍÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â (X, d) ÔÎÓÚÌ˚ÏÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ ·Û‰ÂÚ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó A ⊂ X, Ú‡ÍÓ ˜ÚÓ ‰Îfl β·Ó„Ó x ∈ X Ë Î˛·Ó„Ó ε > 0ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ y ∈ A, Ú‡ÍÓ ˜ÚÓ d(x, y) < ε. ãÓ͇θÌÓÈ ·‡ÁÓÈ ÚÓ˜ÍË x ∈ X fl‚ÎflÂÚÒflÒÂÏÂÈÒÚ‚Ó ÓÍÂÒÚÌÓÒÚÂÈ ÚÓ˜ÍË ı, Ú‡ÍÓ ˜ÚÓ Í‡Ê‰‡fl ÓÍÂÒÚÌÓÒÚ¸ ÚÓ˜ÍË ıÒÓ‰ÂÊËÚ ÌÂÍËÈ ˝ÎÂÏÂÌÚ ÒÂÏÂÈÒÚ‚‡ .îÛÌ͈Ëfl ËÁ Ó‰ÌÓ„Ó ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ‚ ‰Û„Ó ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÌÂÔÂ˚‚ÌÓÈ, ÂÒÎË ÔÓÓ·‡Á Í‡Ê‰Ó„Ó ÓÚÍ˚ÚÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ·Û‰ÂÚ ÓÚÍ˚Ú˚Ï.

ÉÛ·Ó„Ó‚Ófl, ‰Îfl ‰‡ÌÌÓ„Ó x ∈ X ‚Ò ·ÎËÁÍËÂ Í ı ÚÓ˜ÍË ÓÚÓ·‡Ê‡˛ÚÒfl ‚ ÚÓ˜ÍË, ·ÎËÁÍË Íf(x). îÛÌ͈Ëfl f ËÁ Ó‰ÌÓ„Ó ÏÂÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X, dX ) ‚ ‰Û„Ó (Y, d Y) ·Û‰ÂÚÌÂÔÂ˚‚ÌÓÈ ‚ ÚӘ͠c ∈ X, ÂÒÎË ‰Îfl β·Ó„Ó ÔÓÎÓÊËÚÂθÌÓ„Ó ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ„Ó˜ËÒ· ε ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÓÎÓÊËÚÂθÌÓ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ ˜ËÒÎÓ δ, Ú‡ÍÓ ˜ÚÓ ‚Ò x ∈ X,Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘Ë ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Û dX(x, c) < δ, ·Û‰ÛÚ Ú‡ÍÊ ۉӂÎÂÚ‚ÓflÚ¸ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚ÛdY(f(x), f(y)) < ε. îÛÌ͈Ëfl ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÌÂÔÂ˚‚ÌÓÈ Ì‡ ËÌÚÂ‚‡Î I, ÂÒÎË Ó̇ÌÂÔÂ˚‚̇ ‚ β·ÓÈ ÚӘ͠ËÌÚÂ‚‡Î‡ I.è˂‰ÂÌÌ˚ ÌËÊ Í·ÒÒ˚ ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (‰Ó T 4 ) ‚Íβ˜‡˛Úβ·˚ ÏÂÚ˘ÂÒÍË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡.í0 -ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Óí0-ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ËÎË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó äÓÎÏÓ„ÓÓ‚‡) ÂÒÚ¸ ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (X, τ), ̇ ÍÓÚÓÓÏ ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl í0-‡ÍÒËÓχ ÓÚ‰ÂÎËÏÓÒÚË: ‰Îfl ͇ʉ˚ı‰‚Ûı ÚÓ˜ÂÍ x, y ∈ X ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÓÚÍ˚ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó U, Ú‡ÍÓ ˜ÚÓ x ∈ U Ë y ∉ U ËÎËy ∈ U Ë y ∉ U (͇ʉ˚ ‰‚ ÚÓ˜ÍË fl‚Îfl˛ÚÒfl ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍË ÓÚ΢ËÏ˚ÏË).í1-ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Óí1-ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÂÒÚ¸ ÚÓÔÓÎӄ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ï , τ), ̇ ÍÓÚÓÓÏ ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl í1--‡ÍÒËÓχ ÓÚ‰ÂÎËÏÓÒÚË: ‰Îfl ͇ʉ˚ı ‰‚Ûı ÚÓ˜ÂÍ x, y ∈ X ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ‰‚‡Ú‡ÍËı ÓÚÍ˚Ú˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ U Ë V, ˜ÚÓ x ∈ U Ë y ∉ U ËÎË y ∈ V Ë x ∉ V (͇ʉ˚ ‰‚ÂÚÓ˜ÍË fl‚Îfl˛ÚÒfl ‡Á‰ÂÎÂÌÌ˚ÏË).