Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (1185330), страница 11

Файл №1185330 Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf) 11 страницаЕ. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (1185330) страница 112020-08-252020-08-25СтудИзба

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Регистрация/авторизация

Текст из файла (страница 11)

èÓÎÛÏÂÚËÍÓÈ ÒËÏÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÌÓÒÚË (ËÎË ÔÓÎÛÏÂÚËÍÓÈ ÏÂ˚) d∆ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÎÛÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Âµ = {A ∈ : µ() < ∞}, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏ‡ﬂ Í‡Íµ(A∆B),„‰Â A∆B = (A ∪ B)\(A ∩ B) – ÒËÏÏÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ‡ÁÌÓÒÚ¸ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ä Ë B ∈ µ.ê‡‚ÂÌÒÚ‚Ó d ∆(A, B) = 0 ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ µ(A∆B) = 0,Ú.Â. ÍÓ„‰‡ Ä Ë Ç ÔÓ˜ÚË ‚Ò˛‰Û ‡‚Ì˚. éÚÓÊ‰ÂÒÚ‚Îﬂﬂ ‰‚‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ A, B ∈ µ, ÂÒÎËµ(A∆B) = 0, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ ÏÂÚËÍÛ ÒËÏÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÌÓÒÚË (ËÎË ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ îÂ¯Â–çËÍÓ‰ËÏ‡–ÄÓÌÁﬂÌ‡, ÏÂÚËÍÛ ÏÂ˚).ÖÒÎË µ – Í‡‰ËÌ‡Î¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ, Ú.Â.

µ(A) = | A | ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÍÓÎË˜ÂÒÚ‚ÓÏ ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ ‚Ä, ÚÓ d∆(A, B) = | A∆B |. Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â | A∆B | = 0 ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ Ä = Ç.A∆Bê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÑÊÓÌÒÓÌ‡ ÏÂÊ‰Û k-ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË Ä Ë Ç ‡‚ÌÓ= k− | A ∩ B | .2åÂÚËÍ‡ ùÌÓÏÓÚÓ–ä‡ÚÓÌ‡ÖÒÎË ËÏÂÂÚÒﬂ ÍÓÌÂ˜ÌÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ï Ë ˆÂÎÓÂ ˜ËÒÎÓ k, Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ 2k ≤ | X |, ÚÓÏÂÚËÍÓÈ ùÌÓÏÓÚÓ–ä‡ÚÓÌ‡ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÌÂÛÔÓﬂ‰Ó˜ÂÌÌ˚ÏËÔ‡‡ÏË (ï1, ï2) Ë (Y 1 , Y 2 ) ÌÂÔÂÂÒÂÍ‡˛˘ËıÒﬂ k-ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï,ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏÓÂ Í‡Ímin{| X1 \Y1 | + | X2 \Y2 |, | X1 \Y2 | + | X2 \Y1 |}.48ó‡ÒÚ¸ I.

å‡ÚÂÏ‡ÚËÍ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ òÚÂÈÌ„‡ÛÁ‡ÑÎﬂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Ò ÏÂÓÈ (Ω , , µ) ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂÏ òÚÂÈÌ„‡ÛÁ‡ dSt Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÔÓÎÛÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â µ = {A ∈ : µ() < ∞}, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏ‡ﬂ ËÁ ‡‚ÂÌÒÚ‚‡µ( A∆B)µ( A ∩ B)= 1−,µ( A ∪ B)µ( A ∪ B)ÂÒÎË µ(A ∪ B) > 0 (Ë ‡‚Ì‡ﬂ 0, ÂÒÎË µ(A) = µ(B) = 0). éÌ‡ ÒÚ‡ÌÓ‚ËÚÒﬂ ÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ÍÎ‡ÒÒÓ‚ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚË ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ ËÁ µ ; ÔË ˝ÚÓÏ ˝ÎÂÏÂÌÚ˚Ä, Ç ∈ µ Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ÏË, ÂÒÎË µ(A∆B) = 0.| ( A∆B) |ê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ·ËÓÚÓÔ‡ (ËÎË ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ í‡ÌËÏÓÚÓ)ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ˜‡ÒÚÌ˚Ï| ( A ∪ B) |ÒÎÛ˜‡ÂÏ ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ òÚÂÈÌ„‡ÛÁ‡, ÔÓÎÛ˜ÂÌÌÓ„Ó ‰Îﬂ Í‡‰ËÌ‡Î¸ÌÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ µ(A) = | A |(ÒÏ.

Ú‡ÍÊÂ Ó·Ó·˘ÂÌÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËﬂ ·ËÓÚÓÔ‡, „Î. 4).ê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏÑÎﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X, d) ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏd(x, A) ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ Ä ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Íinf d ( x, y).y∈AÑÎﬂ Î˛·˚ı x, y ∈ X Ë Î˛·Ó„Ó ÌÂÔÛÒÚÓ„Ó ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï ÒÔ‡‚Â‰ÎË‚ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÈ ‚‡Ë‡ÌÚ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚‡ ÚÂÛ„ÓÎ¸ÌËÍ‡: d(x, A) ≤ d (x,y) + d(x, A)(ÒÏ. ê‡ÒÒÚÓﬂÌÌÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ).ÑÎﬂ ‰‡ÌÌÓÈ ÚÓ˜Â˜ÌÓÈ ÏÂ˚ µ(ı) Ì‡ ï Ë ÙÛÌÍˆËË ¯Ú‡ÙÓ‚  ÓÔÚËÏ‡Î¸Ì˚ÏÍ‚‡ÌÚÓ‚‡ÌËÂÏ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó B ⊂ X, Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ∫ p(d( x, B))dµ( x ) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂÌ‡ËÏÂÌ¸¯ËÏ ‚ÓÁÏÓÊÌ˚Ï.ê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏËÑÎﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X, d) ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË Ä Ë ÇÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï Á‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Íing d ( x, y).x ∈A, y ∈BÇ ‡Ì‡ÎËÁÂ ‰‡ÌÌ˚ı ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Â‰ËÌË˜ÌÓÈÒ‚ﬂÁ¸˛, ‚ ÚÓ ‚ÂÏﬂ Í‡Í supx∈A,y∈Bd(x, y) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÎÌÓÈ Ò‚ﬂÁ¸˛.ï‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡ÑÎﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X, d) ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ (ËÎË ‰ ‚ ÛÒÚÓÓÌÌËÏ ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚˚Ï ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂÏ) d Haus Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ÒÓ‚ÓÍÛÔÌÓÒÚË ‚ÒÂı ÍÓÏÔ‡ÍÚÌ˚ı ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ï, Á‡‰‡‚‡ÂÏ‡ﬂ Í‡Ímax{ddHaus (A, B), ddHaus(B, A)},„‰Â ddHaus(A, B) = maxx∈A miny∈Bd(x, y) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÓËÂÌÚËÓ‚‡ÌÌ˚Ï ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚˚Ï‡ÒÒÚÓﬂÌËÂÏ (ËÎË Ó‰ÌÓÒÚÓÓÌÌËÏ ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚˚Ï ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂÏ) ÓÚ Ä Í Ç.

àÌ˚ÏËÒÎÓ‚‡ÏË, ddHaus(A, B) ÂÒÚ¸ ÏËÌËÏ‡Î¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ ε (Ì‡Á˚‚‡ÂÏÓÂ Ú‡ÍÊÂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂÏÅÎﬂ¯ÍÂ), Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ Á‡ÏÍÌÛÚ‡ﬂ ε-ÓÍÂÒÚÌÓÒÚ¸ Ä ÒÓ‰ÂÊËÚ Ç, ‡ Á‡ÏÍÌÛÚ‡ﬂε-ÓÍÂÒÚÌÓÒÚ¸ Ç ÒÓ‰ÂÊËÚ Ä. åÓÊÌÓ ÔÓÍ‡Á‡Ú¸ Ú‡ÍÊÂ, ˜ÚÓ ‡‚ÌÓ ddHaus(A, B)sup | d ( x, A) − d ( x, B) |,x ∈X49ÉÎ‡‚‡ 1. é·˘ËÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ„‰Â d(x, A) = miny∈A d(x, y) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂÏ ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ.ï‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡ ÏÂÚËÍÓÈ ÌÓÏ˚ ÌÂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ.ÖÒÎË ‚˚¯ÂÔË‚Â‰ÂÌÌÓÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËÂ ‡ÒÔÓÒÚ‡ÌËÚ¸ Ì‡ ÌÂÍÓÏÔ‡ÍÚÌ˚Â Á‡ÏÍÌÛÚ˚Â ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë Ç ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï, ÚÓ ddHaus(A, B) ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ·ÂÒÍÓÌÂ˜ÌÓÈ,Ú.Â.

ÓÌ‡ ÒÚ‡ÌÓ‚ËÚÒﬂ ‡Ò¯ËÂÌÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ. ÑÎﬂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ä Ë Ç ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï,ÌÂ Ó·ﬂÁ‡ÚÂÎ¸ÌÓ Á‡ÏÍÌÛÚ˚ı, ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ ÔÓÎÛÏÂÚËÍ‡ ÏÂÊ‰Û ÌËÏË ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂÍ‡Í ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡ ÏÂÊ‰Û Ëı Á‡Ï˚Í‡ÌËﬂÏË. ÖÒÎË ï ÍÓÌÂ˜ÌÓ, ÚÓ d dHausﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ï.ï‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚Ó L p -‡ÒÒÚÓﬂÌËÂÑÎﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X, d) ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚Ó L p -‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ([Badd92])ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏﬂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË Ä Ë Ç ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï Á‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Í(∑ | d( x, A) − d( x, B) |1P p) ,x ∈X„‰Â d(x, A) – ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÚÓ˜ÍÓÈ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ.

é·˚˜Ì‡ﬂ ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ÏÂÚËÍ‡ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ÒÎÛ˜‡˛  = ∞.é·Ó·˘ÂÌÌ‡ﬂ ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ G-ÏÂÚËÍ‡ÇÓÁ¸ÏÂÏ „ÛÔÔÛ (G , ⋅, e), ‰ÂÈÒÚ‚Û˛˘Û˛ Ì‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â (X, d).é·Ó·˘ÂÌÌ‡ﬂ ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ G-ÏÂÚËÍ‡ ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏﬂ Á‡ÏÍÌÛÚ˚ÏË ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË ÄË Ç ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï Á‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Ímin d Haus ( g1 ( A), g2 ( B)),g1 , g 2 ∈G„‰Â d Haus – ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡.

ÖÒÎË d(g(x), g(y)) = d(x, y) ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó g ∈ G(Ú.Â. ÏÂÚËÍ‡ d ÎÂ‚ÓËÌ‚‡Ë‡ÌÚÌ‡ ÔÓ ÓÚÌÓ¯ÂÌË˛ Í G), ÚÓ ‚˚¯ÂÛÍ‡Á‡ÌÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡·Û‰ÂÚ ‡‚Ì‡ ming∈G dHaus(A), g(B).åÂÚËÍ‡ ÉÓÏÓ‚‡–ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡åÂÚËÍÓÈ ÉÓÏÓ‚‡–ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÍÎ‡ÒÒÓ‚ ÍÓÏÔ‡ÍÚÌ˚ı ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚, Á‡‰‡‚‡ÂÏ‡ﬂ Í‡Íinf dHaus(f(X), g(Y))‰Îﬂ Î˛·˚ı ‰‚Ûı ÍÎ‡ÒÒÓ‚ X* Ë Y * Ò ÔÂ‰ÒÚ‡‚ËÚÂÎﬂÏË X Ë Y ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ, „‰Â dHaus –ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡, ‡ ÏËÌËÏÛÏ ·ÂÂÚÒﬂ ÔÓ ‚ÒÂÏ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡Ï åË ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ‚ÎÓÊÂÌËﬂÏ f : X → M, g : Y → M. ëÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ÂÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ÉÓÏÓ‚‡–ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡.åÂÚËÍ‡ îÂ¯ÂèÛÒÚ¸ (X, d) – ÔÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó.

ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı ÌÂÔÂ˚‚Ì˚ı ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÈ f : A → X, g : B → X, …, „‰Â Ä, Ç, … ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË n, „ÓÏÂÓÏÓÙÌ˚ÏË [0,1]n ‰Îﬂ ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÌÓÈ ‡ÁÏÂÌÓÒÚË n ∈ .èÓÎÛÏÂÚËÍÓÈ îÂ¯Â dF Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÎÛÏÂÚËÍ‡ Ì‡ , Á‡‰‡‚‡ÂÏ‡ﬂ Í‡Íinf sup d ( f ( x ), g(σ( x ))),σ x ∈A„‰Â ËÌÙËÏÛÏ ·ÂÂÚÒﬂ ÔÓ ‚ÒÂÏ ÒÓı‡Ìﬂ˛˘ËÏ ÓËÂÌÚ‡ˆË˛ „ÓÏÂÓÏÓÙËÁÏ‡Ï σ : A →→ B. éÌ‡ ÔÂ‚‡˘‡ÂÚÒﬂ ‚ ÏÂÚËÍÛ îÂ¯Â Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ÍÎ‡ÒÒÓ‚ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚËf* = {g : dF(g, f) = 0}.50ó‡ÒÚ¸ I. å‡ÚÂÏ‡ÚËÍ‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÈê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ Å‡Ì‡ı‡–å‡ÁÛ‡ê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ Å‡Ì‡ı‡–å‡ÁÛ‡ dBM ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏﬂ ·‡Ì‡ıÓ‚˚ÏË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË V Ë WÁ‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Íln inf || T || ⋅ || T −1 ||,T„‰Â ËÌÙËÏÛÏ ·ÂÂÚÒﬂ ÔÓ ‚ÒÂÏ ËÁÓÏÓÙËÁÏ‡Ï T : V → W. éÌÓ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Á‡ÔËÒ‡ÌÓÚ‡ÍÊÂ Í‡Í ln d(V,W), „‰Â ˜ËÒÎÓ d(V,W) ÂÒÚ¸ Ì‡ËÏÂÌ¸¯ÂÂ ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓÂ d ≥ 1, Ú‡ÍÓÂ˜ÚÓ BWn ⊂ T ( BVn ) ⊂ dBWn ‰Îﬂ ÌÂÍÓÚÓÓ„Ó ÎËÌÂÈÌÓ„Ó Ó·‡ÚËÏÓ„Ó ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËﬂT : V → W.

á‰ÂÒ¸ ( BVn ) = {x ∈ V :|| x ||V ≤ 1} Ë ( BWn ) = {x ∈ W :|| x ||W ≤ 1} ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂÂ‰ËÌË˜Ì˚ÏË ¯‡‡ÏË ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌ˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ (V,|| ⋅||V ) Ë (W,|| ⋅ ||W) ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ.dBM(V,W) = 0 ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ V Ë W ËÁÓÏÂÚË˜Ì˚, Ë ÒÚ‡ÌÓ‚ËÚÒﬂÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â Xn ‚ÒÂı ÍÎ‡ÒÒÓ‚ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚË n-ÏÂÌÓ„Ó ÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, „‰Â V ~ W, ÂÒÎË ÓÌË ËÁÓÏÂÚË˜Ì˚. è‡‡ (Xn , dBM) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂÍÓÏÔ‡ÍÚÌ˚Ï ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ, Ì‡Á˚‚‡ÂÏ˚Ï ÍÓÏÔ‡ÍÚÓÏ Å‡Ì‡ı‡–å‡ÁÛ‡.ê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÉÎÛÁÍËÌ‡–ï‡·‡Ó‚‡ (ËÎË ÏÓ‰ËÙËˆËÓ‚‡ÌÌÓÂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ Å‡Ì‡ı‡å‡ÁÛ‡) Á‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Íinf{|| T || X → Y :| det T | = 1} ⋅ inf{|| T ||Y → X :| det T | = 1}.ê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ íÓÏ˜‡Í–Ö„ÂÏ‡Ì‡ (ËÎË ÒÎ‡·ÓÂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ Å‡Ì‡ı‡–å‡ÁÛ‡) ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Ímax}γ Y (id X ), γ X (id Y )},„‰Â ‰Îﬂ ÓÔÂ‡ÚÓ‡ U : X → Y ˜ÂÂÁ γ Z (U ) Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÚÒﬂ inf∑∑ || Wk |||| Vk || .á‰ÂÒ¸ËÌÙËÏÛÏ ·ÂÂÚÒﬂ ÔÓ ‚ÒÂÏ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎÂÌËﬂÏ U =Wk Vk ‰Îﬂ Vk : X → Z Ë Vk : Z →Y,‡ idz ÂÒÚ¸ ÚÓÊ‰ÂÒÚ‚ÂÌÌÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ.

Ñ‡ÌÌÓÂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÌËÍÓ„‰‡ ÌÂ ÔÂ‚˚¯‡ÂÚÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Â„Ó ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ Å‡Ì‡ı‡–å‡ÁÛ‡.ê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ä‡‰ÂÚÒ‡èÓÔÛÒÍ (ËÎË ‡Á˚‚) ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏﬂ Á‡ÏÍÌÛÚ˚ÏË ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË ï Ë Y·‡Ì‡ıÓ‚‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (V,|| ⋅ ||) ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Ígap(X,Y) = max{δ(X, Y), δ(Y,X)},„‰Â δ(X,Y) = sup{infy∈Y ||x–y||: x ∈ X, ||x|| = 1} (ÒÏ. ê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ‡Á˚‚‡, „Î.

12 ËåÂÚËÍ‡ ‡Á˚‚‡, „Î. 18).ê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ä‡‰ÂÚÒ‡ ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏﬂ ·‡Ì‡ıÓ‚˚ÏË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË V Ë W ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂÔÓÎÛÏÂÚËÍÓÈ, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏÓÈ (ÔÓ ä‡‰ÂÚÒÛ, 1975) Í‡Íinf gap( B f (V ) , Bg( W ) ),Z, f ,g„‰Â ËÌÙËÏÛÏ ·ÂÂÚÒﬂ ÔÓ ‚ÒÂÏ ·‡Ì‡ıÓ‚˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡Ï Z Ë ‚ÒÂÏ ÎËÌÂÈÌ˚ÏËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ‚ÎÓÊÂÌËﬂÏ f : V → Z Ë g : W → Z; Á‰ÂÒ¸ Bf(V) Ë Bg(W) ÒÛÚ¸ Â‰ËÌË˜Ì˚ÂÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ¯‡˚ ·‡Ì‡ıÓ‚˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ f(V) Ë g(W) ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ.çÂÎËÌÂÈÌ˚Ï ‡Ì‡ÎÓ„ÓÏ ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ ä‡‰ÂÚÒ‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÉÓÏÓ‚‡–ï‡ÛÒ‰ÓÙ‡ ÏÂÊ‰Û ·‡Ì‡ıÓ‚˚ÏË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË U Ë W:inf d Haus ( f ( BV ), g( BW )),Z, f ,g51ÉÎ‡‚‡ 1. é·˘ËÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ„‰Â ËÌÙËÏÛÏ ·ÂÂÚÒﬂ ÔÓ ‚ÒÂÏ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡Ï Z Ë ‚ÒÂÏ ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍËÏ ‚ÎÓÊÂÌËﬂÏ f : V → Z Ë g : W → Z; Á‰ÂÒ¸ dHaus – ı‡ÛÒ‰ÓÙÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡.ê‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÔÛÚË ä‡‰ÂÚÒ‡ ÏÂÊ‰Û ‰‚ÛÏﬂ ·‡Ì‡ıÓ‚˚ÏË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË V Ë WÁ‡‰‡ÂÚÒﬂ (ÔÓ éÒÚÓ‚ÒÍÓÏÛ, 2000) Í‡Í ËÌÙËÏÛÏ ‰ÎËÌ (ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ ÔÛÚËä‡‰ÂÚÒ‡) ‚ÒÂı ÍË‚˚ı, ÒÓÂ‰ËÌﬂ˛˘Ëı V Ë W (Ë Í‡Í ∞, ÂÒÎË Ú‡ÍËı ÍË‚˚ı ÌÂÚ).ãËÔ¯ËˆÂ‚Ó ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂÇÓÁ¸ÏÂÏ ‰‚‡ ÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X, dX) Ë (Y, dY).

ãËÔ¯ËˆÂ‚‡ ÌÓÏ‡ || ⋅ ||LipÌ‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı ËÌ˙ÂÍÚË‚Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÈ f : X → Y ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Íd ( f ( x ), f ( y))|| f || Lip = sup x , y ∈X , x ≠ y Y.d X ( x, y)ãËÔ¯ËˆÂ‚Ó ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË (X, d X ) Ë (Y, dY)Á‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Íln inf || f || Lip ⋅ || f −1 || Lip ,f„‰Â ËÌÙËÏÛÏ ·ÂÂÚÒﬂ ÔÓ ‚ÒÂÏ ·ËÂÍÚË‚Ì˚Ï ÙÛÌÍˆËﬂÏ f : X → Y. ùÍ‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ, ÓÌÓﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ËÌÙËÏÛÏÓÏ ˜ËÒÂÎ ln α, Ú‡ÍËı ˜ÚÓ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ·ËÂÍÚË‚ÌÓÂ ·ËÎËÔ¯ËˆÂ‚ÓÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ ÏÂÊ‰Û (X, dX ) Ë (Y, dY) Ò ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ÏË exp(-α), exp(α). éÌÓ ÒÚ‡ÌÓ‚ËÚÒﬂÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı ËÁÓÏÂÚË˜ÂÒÍËı ÍÎ‡ÒÒÓ‚ ÍÓÏÔ‡ÍÚÌ˚ı ÏÂÚË˜ÂÒÍËıÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚.Ñ‡ÌÌÓÂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‡Ì‡ÎÓ„ÓÏ ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ Å‡Ì‡ı‡–å‡ÁÛ‡ Ë, ‰Îﬂ ÒÎÛ˜‡ﬂÍÓÌÂ˜ÌÓÏÂÌ˚ı ‚Â˘ÂÒÚ‚ÂÌÌ˚ı ·‡Ì‡ıÓ‚˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚, ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò ÌËÏ. éÌÓÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ú‡ÍÊÂ Ò „ËÎ¸·ÂÚÓ‚ÓÈ ÔÓÂÍÚË‚ÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ ÌÂÓÚËˆ‡ÚÂÎ¸Ì˚ıÔÓÂÍÚË‚Ì˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ı, ÍÓÚÓ˚Â ÏÓ„ÛÚ ·˚Ú¸ ÔÓÎÛ˜ÂÌ˚ n+ ËÁ ÓÚÓÊ‰ÂÒÚ‚ÎÂÌËÂÏ Î˛·ÓÈ ÚÓ˜ÍË ı Ò Òı,Ò > 0.ãËÔ¯ËˆÂ‚Ó ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÏÂ‡ÏËÑÎﬂ ÍÓÏÔ‡ÍÚÌÓ„Ó ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X, d) ÔÓÎÛÌÓÏ‡ ãËÔ¯Ëˆ‡ || ⋅ ||LipÌ‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‚ÒÂı ÙÛÌÍˆËÈ f : X → ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Í| f ( x ) − f ( y) ||| ⋅ || Lip = sup x , y ∈X , x ≠ y.d ( x, y)ãËÔ¯ËˆÂ‚Ó ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÏÂ‡ÏË µ Ë ν Ì‡ ï Á‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Ísup|| f || Lip ≤1∫ fd(µ − ν).ÖÒÎË µ Ë ν – ‚ÂÓﬂÚÌÓÒÚÌ˚Â ÏÂ˚, ÚÓ ˝ÚÓ – ÏÂÚËÍ‡ ä‡ÌÚÓÓ‚Ë˜‡–å˝ÎÎÓÛÁ‡–åÓÌÊ‡–Ç‡ÒÒÂ¯ÚÂÈÌ‡.ÄÌ‡ÎÓ„ÓÏ ÎËÔ¯ËˆÂ‚‡ ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂ ÏÂÊ‰Û ÏÂ‡ÏË ‰Îﬂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ÒÓÒÚÓﬂÌËÈÛÌËÚ‡ÌÓÈ ë* -‡Î„Â·˚ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍ‡ äÓÌÌ‡.Å‡ËˆÂÌÚË˜ÂÒÍÓÂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÑÎﬂ ÏÂÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ (X, d) ÔÛÒÚ¸ (B(X), ||µ–ν||TV ·Û‰ÂÚ ÏÂÚË˜ÂÒÍËÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ, „‰Â Ç(ï) – ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı Â„ÛÎﬂÌ˚ı ·ÓÂÎÂ‚˚ı ‚ÂÓﬂÚÌÓÒÚÌ˚ıÏÂ Ì‡ ï Ò Ó„‡ÌË˜ÂÌÌ˚Ï ÌÓÒËÚÂÎÂÏ Ë ||µ–ν||TV – ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÌÓÏ˚, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏÓÂÔÓÎÌÓÈ ‚‡Ë‡ˆËÂÈ∫X | p(µ) − p( ν) | dλ,„‰Â p(µ) Ë p ( ν) ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ÙÛÌÍˆËﬂÏËÔÎÓÚÌÓÒÚË ÏÂ µ Ë ν ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ, ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ σ-ÍÓÌÂ˜ÌÓÈ ÏÂ˚µ+ν.252ó‡ÒÚ¸ I.

Характеристики

Тип файла

PDF-файл

Размер

3,34 Mb

Материал

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf

Тип материала

Книга

Предмет

(ММО) Методы машинного обучения

Высшее учебное заведение

МГУ им. Ломоносова

Список файлов книги

e.-deza_-m.m.-deza.-jenciklopedicheskij-slovar-rasstojanij-2008.pdf.rar

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.