l6 (Курс лекций), страница 2

Длина математического маятника, имеющеготот же период колебаний, что и данный физический маятник, называется приведенной длинойфизического маятника. Точка О1, лежащая на прямой ОС на расстоянии lпр от точки подвеса маятникаЕсли сопоставить (6.8) и (6.9), то видно, что математический маятник с длиной нити подвеса lпр =(рис.6.5), называется центром качаний маятника. Центр качаний и точка подвеса обладают свойствомвзаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качаний проходила через точку О1, то точка Обудет совпадать с новым центром качаний маятника, т.е.

приведенная длина и период колебаниймаятника останутся прежними.Лекция 86.4. Механическая энергия гармонических колебанийxТtWкТt2Eк =WпTРассмотрим механические колебания пружинного маятника, совершающегосвободныегармоническиеколебания,описываемыеуравнениемx ( t) = A cos(ω t) . Полная механическая энергия такого маятника впроизвольный момент времени является суммой потенциальной энергии силупругой деформации пружины Wп и кинетической энергии груза Wк .Выразим кинетическую энергию груза на пружине:tmv2m⎛dx⎞mω2 A2kA2= ⎜sin 2 ( ω t ) =sin 2 ( ω t ) .⎟ =22 ⎝ dt ⎠22Найдем потенциальную энергию упругодеформированной пружины:1mω2 x 2kA2E п = kx 2 ==cos 2 ( ω t ) .222Рис. 6.6Графики зависимостей потенциальной и кинетической энергиигармонических колебаний от времени показаны на рис.

6.6. Следует отметить, что частота колебаний∗энергии ω = 2ω , а ее максимальное значение пропорционально квадратуамплитуды смещения материальной точки.WпBПолная механическая энергия в случае свободных колебаний неWм изменяется:Wкmω2 A2 kA2W = Wк +Wп ===const ,22Wппоскольку в системе отсутствуют диссипативные силы.Рассмотрим движение шарика в гладком параболическом желобе.-А0Аx На рис. 6.7 показано соотношение между потенциальной и кинетическойэнергиями в зависимости от положения шарика в “потенциальной яме”.Рис.

6.7Если смещение шарика от положения устойчивого равновесия x = 0, то егокинетическая энергия достигает максимума, а потенциальная обращается в ноль. Когда смещениешарика x = ± A (точки поворота), кинетическая энергия обращается в ноль, потенциальная же энергиядостигает максимума. При движении смещение шарика может принимать значения х ≤ А . С позицийзакона сохранения энергии шарик не может оказаться за пределами этой области, например в точке В. Вэтом случае его кинетическая энергия приняла бы значение Wк = W − Wп <0 , что невозможно..