l6 (Курс лекций)

6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯКолебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или инойстепени повторяющиеся во времени. В зависимости от природы колебательного процесса и “механизма”его возбуждения различают: механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин,мостов и других сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука и т.п.);электромагнитные колебания (колебания переменного электрического тока в цепи, колебания векторовнапряженности электрического и магнитного поля); электромеханические колебания (колебаниямембраны телефона) и пр. Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.6.1. Гармонические колебания.Дифференциальное уравнение колебанийСвободными (собственными) колебаниями называются колебания, происходящие в отсутствиепеременных внешних воздействий на колебательную систему и возникающие вследствие начальногоотклонения системы от положения устойчивого равновесия.

Вынужденными колебаниями называютсяколебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, характеризующихколебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежуткивремени. Наименьший промежуток времени Т, удовлетворяющий этому условию, называется периодомколебаний.1Частотой периодических колебаний называется величина ν = , равная числу колебаний,Тсовершающихся за единицу времени. Циклической (круговой) частотой колебаний называется величина2πω = 2πv =, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π единиц времени.TПусть отклонение колебательной системы от положения равновесия характеризует величина s.Периодические колебания величины s(t) называются гармоническими колебаниями, еслиs ( t) = A sin (ωt + ϕ 0 ) ,(6.1)sгде A – амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейсявеличины A = smax > 0 ).tЗначение s в произвольный момент времени определяется значением фазыколебаний Ф( t) = ω t + ϕ0 ; ϕ0 – начальная фаза, т.е.

значение Ф( t) в моментdsвремени t = 0 .dtИз (6.1) видно, что первая и вторая производные s(t) по времени такжеtTсовершают гармонические колебания той же частоты:dsπ= A ω cos(ω t + ϕ 0 ) = A ω sin (ω t + ϕ 0 + ) ,td2Рис. 6.12d s2dt22= − A ω sin(ω t + ϕ 0 ) = A ω sin(ω t + ϕ 0 + π) ,(6.2)2причем амплитудыd sdsds2и 2 соответственно равны A ω и A ω . Видно, чтоопережает s по времениdtdtdt2наТπ d sТdsопережает s(t) по времени на, а по фазе на;, а по фазе на π .

Графики s(t) иприdt42 dt22ϕ 0 = 0 приведены на рис. 6.1. Из (6.2) следует, что гармонически колеблющаяся величина sудовлетворяет дифференциальному уравнению2d s22+ω s=0,dtкоторое называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.(6.3)6.2. Векторные диаграммыГармоническиеколебанияпараметраs(t),которыеописываютсяуравнениемs( t) = A cos(ω t + ϕ 0 ) , можноизобразить графически с помощью вращающегося на плоскостивектора (рис.

6.2). Для этого из начала координат на плоскости проводятGGвектор А , модуль которого равен амплитуде колебаний. Вектор Асоставляет с осью ОХ угол ϕ = ω t + ϕ 0 , равный фазе колебаний в данныйϕмомент времени t. С течением времени угол увеличивается так, что векторОХвращается вокруг центра координат с угловой скоростью, равнойРис. 6.2циклической частоте гармонических колебаний. Проекция вектора на осьG ОХ совершает гармонические колебания по закону s ( t) = A cos (ωt + ϕ 0 ) .АГрафическое изображение гармонических колебаний с помощьюGвращающегося вектора амплитуды называется методом векторныхА2диаграмм. Им широко пользуются, например, при сложении одинаковонаправленных гармонических колебаний.GРассмотрим сложение двух колебаний, одно из которых совершаетсяА1s 1 ( t) = A1 cos (ωt + ϕ 01 ) ,адругоепозаконупозаконуОϕ02 ϕ01 ϕ0s 2 ( t) = A2 cos (ωt + ϕ 02 ) .

В результате сложения этих колебаний получаетсяРис. 6.3.тоже гармоническое колебание вида s ( t) = A cos (ωt + ϕ 0 ) . Это нетруднодоказать с помощью метода векторных диаграмм (рис. 6.3). Если каждомуиз данных колебаний поставить в соответствие вращающийся вектор, то результирующее колебаниеопределится вращением суммы векторов. Из рис.

6.3 видно, что амплитуда результирующего колебаниянаходится по теореме косинусов следующим образом:GА22А = А1 + А2 + 2А1А2 cos(ϕ 02 − ϕ 01) .(6.4)Начальную фазу результирующего колебания можно определить из соотношенияA sin ϕ 01 + A2 sin ϕ 02tg ϕ0 = 1.A1 cos ϕ 01 + A2 cos ϕ 02Сумма двух векторов, вращающихся с одинаковыми угловыми скоростями, будет вращаться стой же угловой скоростью. Таким образом, мы доказали, что в результате сложения двух гармоническихколебаний одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, получается гармоническоеколебание той же частоты, причем его амплитуда удовлетворяет условию А1 − А2 ≤ А ≤ А1 + А2 .6.3.

Динамика гармонических колебанийKFупртGmgПолучим дифференциальное уравнение гармонических колебаний из уравнений,описывающих колебательный процесс. Рассмотрим колебания пружинного маятника –груза массой т, подвешенного на идеальной невесомой пружине жесткостью k (рис.6.4).GGНа такой груз действуют сила тяжести mg и сила упругости растянутой пружины Fупр . Вположении равновесия модули этих сил одинаковы: mg = Fупр . Если обозначить через Δlстатическое растяжение пружины от недеформированного состояния, то, согласно законуГука, в положении равновесия Fупр = k Δl = mg .

При выведении груза из положенияравновесия модуль силы упругости изменяется с учетом деформации пружины. Растянемпружину вниз на х, тогда Fупр = k ( Δl + х ) . Если пренебречь действием сопротивленияРис. 6.4воздуха, то при отпускании груза он начнет совершать гармонические колебания. Докажемэто. Уравнение второго закона Ньютона для двигающегося груза можно записать следующим образом:ma = mg − Fупр = mg − k ( Δl + x ) = mg − k Δl − kx = − kx .2Поскольку a =d x2dt, то из этого уравнения получаем2d x+kx =0.m(6.5)dtЕсли рассматривать смещение груза от положения равновесия в качестве параметра колебаний, тоуравнение (6.5) совпадает с дифференциальным уравнением (6.3), т.е. является уравнением собственныхколебаний пружинного маятника.

Частота собственных колебаний2ω0 =k.m(6.6)В отсутствие трения пружинный маятник колеблется по гармоническому закону с периодомmT = 2π.kРассмотрим теперь физический маятник – твердое тело,Zкоторое совершает колебания под действием силы тяжестиGGвокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжестиM mgGαОтела и называемой осью качания маятника (рис. 6.5). Центртяжестимаятника совпадает с его центром масс С. Точка Оlαпрпересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью,lпроходящей через центр тяжести маятника, называется точкойCподвеса маятника.

Если пренебречь силами трения в подвесемаятника и силой трения о воздух, то момент относительно осиGО1качания создает только сила тяжести mg . При отклонении маятникаGmgна угол α от положения равновесия момент силы численно равенmgl sin α , где l – расстояние между центром масс и точкой подвеса.Рис. 6.5Этот момент возвращает маятник в положение равновесия, поэтомуего направление противоположно угловому перемещению. Тогда основное уравнение динамикивращательного движения (4.16) для физического маятника имеет вид:2Jzd α2dt= − mgl sin α ,где J z – момент инерции маятника относительно оси качания.Рассматривая малые колебания тела, при которых sin α ≈ α , получаем уравнение2d α+mglα = 0,Jz(6.7)dtт.е. угол α удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний (5.3).Следовательно, в отсутствии трения малые колебания физического маятника являются гармоническими,причем в уравнении колебаний в качестве параметра колебаний выступает угол отклонения маятника отположения равновесия.Частота собственных колебаний физического маятникаmgl,(6.8)ω0 =Jz2период колебаний T = 2πJz.mglМатериальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, совершающаяколебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, называется математическиммаятником.

Математический маятник – частный случай физического маятника, вся масса которого2сосредоточена в его центре масс, так что J z = ml , поэтому для математического маятникаω0 =lg., T = 2πgl(6.9)Jzmlимеет тот же период колебаний, что и физический маятник массы т, моментом инерции J z ирасстоянием между точкой подвеса и центром масс l.