l4 (Курс лекций)

Лекция 44. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛАВращательное движение абсолютно твердого тела. Кинематические характеристикивращательного движения вокруг неподвижной осиВсе, о чем говорилось до сих пор, относилось к материальной точке. А какописать движение твердого тела? Всякое плоское движение абсолютно твердоготела можно представить как сумму двух движений: поступательного иrdϕвращательного.Поступательным движением абсолютно твердого тела называется такое,Δϕпри котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельнойсамойсебе.

Очевидно, что при таком движении траектории всех точекодинаковы, поэтому достаточно наблюдать за движением только одной точки.Обычно в качестве такой точки выбирается так называемый центр масс. О том,как эта точка определяется, поговорим дальше.Вращательным движением абсолютно твердого тела называется такое,при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежатна одной прямой, называемой осью вращения.Рис. 1.10Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси (рис.

1.10).За бесконечно малый промежуток времени dt все точки тела повернутся набесконечно малый угол dϕ. Будем считать угол поворота вектором, который направлен по оси вращениятела в сторону, определяемую правилом правого винта (правилом буравчика). Согласно этому правилу,если правый винт вращать по направлению вращения твердого тела вокруг оси, совпадающей с осьювращения тела, то направление поступательного движения винта дает направление вектора угла поворотаrтела dϕ .rrr rr rВекторное произведение двух векторов a и b , которое обозначается a × b или a , b ,rr r rrпредставляет собой вектор с = a × b . Он по определению перпендикулярен векторам a и b и направленв ту сторону, куда будет поступательно перемещаться правый винт, если его вращать от вектораrra (первого сомножителя произведения) к вектору b (второму сомножителю произведения) пократчайшему углу (рис.

1.11). Основные свойства векторного произведения:1. Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма,∧rr rr rr r r rrпостроенного на этих векторах: с = a b sin a , b , a ⊥c , b ⊥c .rbс2. Векторное произведение не обладает коммутативностью:r rr rαa × b = −b × a .r3. Векторное произведение обладает дистрибутивностью:ar r r r r r ra × b + d = a ×b + a ×c .r rРис.

1.114. a × a = 0 .rРассмотрим поворот тела на малый угол dϕ за время dt. Угловой скоростью тела называетсяпроизводная угла поворота по времени:rr dϕω=,(1.11)dtrrпричем направление вектора ω совпадает с направлением вектора dϕ , т.е. также определяется поправилу правого винта. Размерность угловой скорости [ ω ] = рад/с.

Вращение называется равномерным,если модуль угловой скорости при вращении тела остается постоянным. В этом случае ϕ = ω t .[ ]( )()В качестве характеристик равномерного вращения используют такие: период (Т ) – время, закоторое тело совершает один оборот; частота (ν) – число оборотов за единицу времени. Между этимивеличинами существует очевидная связь:1ν= .ТПри неравномерном вращении тела вводится угловое ускорение – производная угловой скоростипо времени. Это - векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости:rr dω.ε=dtrиСравним угловые скорости ω1 в момент времени trrrrrω2ω2 = ω1 + dω в момент времени t+dt.

Из рис. 1.12 видно, что векторы ω иrrε сонаправлены при ускоренном (рис. 1.12, а) и противоположны приrω1ε замедленном вращении тела (рис. 1.12, б). Таким образом, направлениеrвектора ε определяется направлением вектора приращения угловойrабскорости d ω .Рис. 1.12Если модуль углового ускорения сохраняет постоянное значение,то вращение называется равнопеременным. В этом случае кинематический закон вращения запишемв видеrω2rεrω1r rr⎧ω = ω0 + εt,⎪rrεt 2⎨r rtϕ=ϕ+ω+,00⎪⎩2rrгде ω0 и ϕ 0 – начальные угловая скорость и угол поворота.rωЕсли твердое тело вращается относительно оси, то каждая точка телаrrrΔϕимеет определенную линейную скорость v . Найдем связь между v и ω .

ПустьrrO1твердое тело повернулось на угол dϕ (рис. 1.13). Тогда произвольная точка телаΔrrrRМсовершила перемещение dr . Напомним, что вектор dr направлен поMrrrrкасательной к траектории точки М и при малом dϕ направление Δr стремится кrdϕrнаправлению dr .Выберем на оси вращения произвольную точку О, называемую полюсом, иβпоместим в нее начало координат. Положение точки М задается радиусомrОвектором r , который в общем случае составляет с осью вращения угол β.Отметим, чтоr rrРис. 1.13d r = dϕ × r .(1.12)r rrДействительно, векторы dr , dϕ и r подчиняются правилу правого винта. Найдем модуль векторногопроизведения:dr = R dϕ = r sin β dϕ ,где R – радиус окружности, по которой движется точка М.Если продифференцировать по времени обе части равенства (1.12), то с учетом (1.3) и (1.11) можнополучитьr r rv = ω× r .(1.13)Заметим, что выбор полюса О может быть произвольным (положение точки О никак не влияетна вывод формулы).

Если в качество полюса выбрать точку О1, то из (1.13) следует, чтоv = ωR .Последнее равенство связывает модули угловой и линейной скоростей точки твердого тела срадиусом окружности, по которой движется рассматриваемая точка.Найдем ускорение точки М, для чего продифференцируем выражение (1.13) по времени:rrr d r r dω r r d r r r r r(1.14)a = [ω, r ] =× r + ω×= ε × r + ω× v .dtdtdtПервое слагаемое в (1.14) – это вектор, направленный по касательной к траектории точки М, т.е.тангенциальное ускорение:rr r raτ = aτ τ = ε × r ,(1.15)его модуль aτ = ε r sin β = εR .Второе слагаемое в (1.14) – это вектор, направленный к центру окружности, по которой движетсяточка М, т.е.

нормальное ускорение:rr r ran = an n = ω × v ,(1.16)2его модуль an = ω v sinπv2=ω R =.2RРассматривая вращательное движение твердого тела, состоящего из совокупности материальныхточек, необходимо сделать важные замечания, которые свидетельствуют о сложности использованияранее полученных динамических уравнений для описания движения тела. Во-первых, для описаниявращательного движения совокупности материальных точек весьма сложно использовать системууравнений второго закона Ньютона, записанных в виде (2.2).

При вращении точек вокруг какой-либо осиускорения всех точек тела отличаются и по направлению, и по модулю. Во-вторых, в этом случае сложноиспользовать и систему динамических уравнений в виде (2.10), т.е. второй закон Ньютона, записанный втерминологии “импульсов”.

При вращении точек твердого тела вокруг оси даже с постоянной угловойскоростью линейные скорости точек, а значит и импульсы, отличаются и по модулю, и по направлению.Введем новые физические величины, характеризующие вращение твердого тела.4.1. Момент импульса точки относительно полюсаrωrvРассмотрим вращение материальной точки массой т вокругrнекоторой оси по окружности радиусом R под действием силы F (рис.

4.1).rrRF Положение точки определяется радиусом-вектором r , проведенным изmпроизвольного полюса О, лежащего на оси вращения.rrr||Запишем для данной точки выражение второго закона Ньютона:rrdv rOm=F.dtrРис. 4.1Умножим обе части этого уравнения векторно на r :rrdv r r(4.1)r ×m= r×F .dtЛевую часть полученного выражения можно представить в видеrrdv d r r= [r , mv ] .r ×mdt dtВекторное произведение радиуса-вектора материальной точки, проведенного из полюса, на импульсэтой точки называется моментом импульса материальной точки относительно полюса:rr rlO = [r , mv ] .(4.2)Таким образом левая часть выражения (4.1) определяет скорость изменения момента импульсаматериальной точки относительно полюса.Чтобы проанализировать модуль и направление вектора момента импульса, учтем соотношениеr(1.13).

Разложим вектор r на два взаимно перпендикулярных вектора, один из которых сонаправлен сrrосью вращения (обозначим его r|| ), а другой – перпендикулярен ей (обозначим его r⊥ ) (см. рис. 4.1).Тогдаrr⊥r r r rr r r r r rv = ω × r = ω × (r|| + r⊥ ) = ω × r|| + ω × r⊥ .rrПоскольку векторы ω и r|| параллельны, то их векторное произведение равно нулю. Таким образом,r r rv = ω × r⊥ .Получаем выражение для момента импульса точки в видеrr rr rr r r rlO = [r , mv ] = m[r , v ] = m[(r⊥ + r|| ), [ω, r⊥ ]].Поскольку векторное произведение обладает дистрибутивностью, тоrr r r rr r rr r rlO = m[(r⊥ + r|| ),[ω, r⊥ ]] = m[r⊥ , [ω, r⊥ ]] + m[r|| , [ω, r⊥ ]] .(4.3)Полученные в правой части уравнения слагаемые в математике называются двойным векторнымпроизведением.

В курсе векторной алгебры доказывается, что результат двойного векторногопроизведения – это вектор, определяемый по следующему правилу:r r r r r rr r r[a , [b , c ]] = b (a , c ) − c (a , b ) .Первое слагаемое выражения (4.3) перепишем в таком виде:r r rr r rr r rm[r⊥ , [ω, r⊥ ]] = m(ω(r⊥ , r⊥ ) − r⊥ (r⊥ , ω)) .Напомним, что скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату модуля вектора:rrr r(r⊥ , r⊥ ) = r⊥2 . Направления векторов r⊥ и ω указаны на рис. 4.1, эти векторы перпендикулярны другr rдругу, поэтому скалярное произведение (r⊥ , ω) равно нулю. Окончательноrr r rm[r⊥ , [ω, r⊥ ]] = mr⊥2 ω .Из полученного выражения следует, что одна составляющая вектора момента импульса материальнойточки относительно произвольного полюса, лежащего на оси вращения, сонаправлена с векторомrугловой скорости вращения этой точки вокруг оси, обозначим ее lO|| :rrlO|| = mr⊥2 ω .(4.4)Рассмотрим другую составляющую – второе слагаемое выражения (4.3):r r rr r rr r rm[r|| , [ω, r⊥ ]] = m(ω(r|| , r⊥ ) − r⊥ (r|| , ω)) .r rr rr r rrПоскольку r|| ⊥ r⊥ , то (r⊥ , r|| ) = 0 , а поэтому m[r|| , [ω, r⊥ ]] = −mr|| ωr⊥ .