l12 (Курс лекций)

7912. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХВ § 8.2 было введено понятие равновесного состояния термодинамической системы. Одно изусловий такого состояния – отсутствие в системе потоков вещества и энергии. Однако беспорядочноетепловое движение молекул газа и столкновения между ними приводят к постоянному перемешиваниючастиц и изменению их скоростей и энергий. Например, если в системе существует неоднородноераспределение плотности или температуры, то происходит самопроизвольное выравнивание этихнеоднородностей. Следовательно, при нарушении равновесного состояния системы она возвращается вэто состояние. Поведение системы при этом можно описать, рассмотрев потоки массы, импульса,энергии и т.п.

Подобные явления, происходящие при нарушении равновесного состояния систем,называются явлениями переноса. Рассмотрим некоторые из них.12.1. Столкновения молекулUпr00rU0Рис. 12.1UпU2U1r0Наличие сил взаимодействия (отталкивания и притяжения) междумолекулами приводит к появлению потенциальной энергии их взаимодействия.График зависимости потенциальной энергии от расстояния между молекуламиприведен на рис. 12.1. Существование вещества в том или ином агрегатномсостоянии при определенной температуре Т можно объяснить, сравнив глубину“потенциальной ямы” U 0 и среднюю энергию хаотического движениямолекул, которая пропорциональна kT .При выполнении неравенства U0  kT , т.е. при низких температурахвещества, молекулы располагаются близко друг от друга в строгом порядке.

Вэтом случае тепловое движение молекул – это просто малые колебания молекулотносительно положения равновесия. Вещество находится в твердом агрегатномсостоянии. При U0  kT молекулы вещества непрерывно перемещаются поrвсему его объему, однако расстояния между ними не превышают r0 . Веществонаходится в жидком агрегатном состоянии.

При U0  kT ввеществе наблюдается интенсивное хаотичное тепловое движение молекул.Молекулы удалены на значительные расстояния. Вещество находится вРис.12.2газообразном состоянии, а его молекулы непрерывно хаотично двигаются ипостоянно сталкиваются друг с другом. Однако следует иметь в виду, чтонепосредственного “контакта” молекул при столкновениях не происходит.Объясняется это существенным увеличением сил отталкивания молекул2Rпри их сближении. Поэтому столкновением молекул будем называть такоеR2Dэфф их взаимодействие, при котором изменяются направления их движения.Процесс столкновения молекул тоже можно рассмотреть с помощьюпотенциальной кривой.На график зависимости U п (r ) нанесена величина полной энергииРис. 12.3системы двух молекул U (рис.

12.2). Поскольку силы взаимодействиямолекул потенциальны, то, согласно закону сохранения механической энергии, U  const . Рассмотримсближение молекулы 2 из положения r   с молекулой 1, неподвижно находящейся в положении r  0 .Поскольку U п ()  0 , то кинетическая энергия молекулы 2 на большом удалении молекул друг от0 r2 r1друга равна полной энергии: Uк ()  U . По мере сближения молекул кинетическая энергия молекулы 2растет, а U п (r ) падает.

При расстоянии между молекулами r  r0 энергия U к достигает максимальногозначения. За счет запаса этой энергии молекула 2 “пролетает” положение r  r0 и попадает в зонупреобладания действия сил отталкивания молекул. Следовательно, при дальнейшем сближении молекул( r  r0 ) кинетическая энергия молекулы 2 падает, а потенциальная энергия U п (r ) растет.В точке r  r 1 полная энергия системы равна потенциальной: U  U п (r 1) . В этом положенииU к (r 1)  0 .

Именно это положение и соответствует наибольшему сближению молекул. Поскольку приувеличении температуры системы значение U возрастает ( U 2  U1 ), то расстояние наибольшегосближения молекул становится меньше ( d2  d1 ). Как оценить расстояние наибольшего сближениямолекул?Назовем эффективным диаметром молекулы среднее расстояние между центрами молекул, накоторое две молекулы сближаются при их столкновении (рис.

12.3). О необходимости введения такойвеличины говорилось в § 8.5. Площадь поперечного сечения “коридора”, в который должны попасть80центры соседних молекул, чтобы столкнуться с данной, называется эффективным сечениемстолкновения:2S эфф  Dэфф 4R 2 .(12.1)Рассчитаем число столкновений молекул за единицу времени. Пусть одна молекула в сосудедвигается со скоростью v , а остальные неподвижны. Тогда исследуемая молекула за 1 с испытаетсоударения со всеми частицами, находящимися в цилиндре длиной v 1 с и основанием S эфф (см. рис.12.3).

Число таких молекул, а значит и число столкновений будет равноN  n v S эфф .Поскольку все столкновения произошли за 1 с, то промежутки времени между столкновениями равны11.N n v S эффНазовем средней длиной свободного пробега молекулы расстояние, которое она пролетает междудвумя последовательными соударениями:l  v 1.nS эфф(12.2)Однако мы полагали, что все молекулы системы неподвижны, а движется только одна. Необходимоучесть движение всех молекул, т.е. рассматривая ту же задачу в системе отсчета, связанной сдвижущейся молекулой, нужно заменить скорость v на относительную скорость движения молекул.Поскольку все направления относительного движения молекул равновероятны, то угол междунаправлениями скоростей молекул лежит в диапазоне 0   , а средний угол равен.

Тогда модуль2относительной скорости движения молекул в соответствии с (1.18) определится какэтого замечания и формулы (12.1) можно записать выражение (12.2) в виде11.l 2nS эфф 4 2nR 22 v . С учетом(12.3)Как известно, в идеальном газе справедливо уравнение состояния в виде соотношения (8.10).Тогда (12.3) перепишем следующим образом:l 12nS эффkT4 2 pR 2.(12.4)Оценим величину средней длины свободного пробега молекулы азота при температуре Т  300 К идавлении5p  10 Па. Принимая во внимание, чтоR  1А  10 10 м, получаем, согласно (12.4)l  2 10 7 м.l отдавления газа р при постоянной температуре изображен на рис.12.4.

При егоLпостроении учтено, что если давление газа снижается ниже давления предельнодостижимого вакуума рпр, то значение l соответствует характерному размерусосуда L, т.е. молекулы будут пролетать весь сосуд без соударения друг сдругом.pпрp0В соответствии с (12.4) величина l не должна зависеть оттемпературы газа Т. Однако экспериментально подтверждено, что средняяРис. 12.4длина свободного пробега слабо растет с увеличением температуры.Происходит это из-за того, что с ростом температуры уменьшается значение R. На рис.

12.2 показано,что расстояние наибольшего сближения молекул уменьшается с увеличением запаса полной энергиисистемы молекул, т.е. с увеличением температуры r2  r1 .lГрафик зависимости средней длины свободного пробега12.2. ДиффузияРассмотрим неравновесное состояние системы молекул, вызванное нарушением равномерного81распределения концентрации молекул по объему системы. При этом система может состоять как измолекул одного вещества (одинаковые молекулы), так и из молекул разных веществ (смесь разныхмолекул). Опыт показывает, что в однофазной системе молекул при постоянной температуре иотсутствии внешних сил происходит выравнивание концентрации каждого компонента по всему объемусистемы.

Неравновесный процесс, вызываемый молекулярным тепловым движением и приводящий кустановлению равновесного распределения концентраций путем взаимопроникновения иперемешивания молекул, называется диффузией. Диффузия – один из процессов переноса. Посколькув этом процессе рассматривается перемещение молекул по объему системы, то диффузия – это переносмассы. Диффундировать могут и молекулы примесей (компонентов смеси), и молекулыоднокомпонентной системы.

Диффузия – необратимый процесс, один из источников диссипации(рассеяния) энергии в системе.Выведем уравнение, позволяющее количественно описать процессдиффузии. Пусть в направлении оси ОХ установилось неравномерноеv  t v  tраспределение концентрации молекул (рис.12.5). Выделим при х  х 0 элементповерхности S, слева от которого концентрация молекул п1, а справа – п2.SПодсчитаем поток частиц, т.е. количество молекул, проходящее в единицуп1п2времени через этот элемент поверхности. Если средняя скорость движениямолекул v направлена вдоль оси ОХ, то за время t все молекулы,ОХх0находящиеся слева от этого сечения, из объема S v t уйдут вправо. Числотаких молекул n1S v t . Аналогично из такого же объема, находящегосяРис.

12.5справа от сечения, за время t все молекулы уйдут влево. Число таких молекул n2S v t . Назовемплотностью потока молекул их число, проходящее через единичное сечение, расположенноеперпендикулярно вектору скорости, за единицу времени:NФ.(12.5)S tТогда поток частиц слева направо N1  n1 v S , а поток частиц справа налево N 2  n2 v S . Посколькуэти потоки частиц идут в разных направлениях, то общий поток в положительном направлении оси ОХбудет определяться их разностью.Необходимо учесть, что движение молекул вдоль выбранного направления можно рассматриватьпрямолинейным, если за время  t скорость молекул не меняет своего направления.

Это возможно, еслимолекулы пересекают сечение S без столкновений. Следовательно, мы должны учитывать движениетолько тех молекул, которые удалены от х 0 на расстояние, не превышающее l . Пусть при такомрассмотрении концентрация молекул изменяется от n x  l до n x  l . Тогда суммарная плотность потока00частиц через выбранное сечение будетФ  Ф 1 Ф 2  v n x0l nxПреобразуем это выражение:l.0nx  l  nx  l2ldn00= 2 l v.Ф   v nx  l  nx  l   v nx  l  nx  l 2 l v00002l2ldxВ положительном направлении выбранной оси ОХ движется только1часть всех молекул системы,6поэтому окончательноФdn1l v.3dxПервые три сомножителя полученного выражения определяют коэффициент диффузии:1D l v .3(12.6)(12.7)Окончательно (12.6) можно записать следующим образом:Ф  Ddn.dx(12.8)82Это формула закона диффузии, который был выведен А. Фикомв 1855 г.: плотностьдиффузионного потока частиц пропорциональна градиенту концентрации частиц.