l1 (Курс лекций)

Лекция 1.Часть IМЕХАНИКАЭтот раздел физики рассматривает простейшую форму движения материи: перемещениеразличных тел относительно друг друга и изменение формы тела. Основные законы механики были взначительной степени выяснены Г. Галилеем (1564  1642) и окончательно сформулированы И.Ньютоном (1643  1727) .

Механика Галилея – Ньютона получила название классической. Ее законы ивыводы справедливы при одновременном выполнении двух условий:1) рассматриваемые тела – макроскопические;2)vc8 1 , где v – скорость тела, а с = 2,99810 м/с – скорость света в вакууме (универсальная,т.е. мировая постоянная).Классическая механика делится на три части: кинематику, динамику и статику.

Кинематикаизучает движение тел в пространстве и времени без рассмотрения причин, вызывающих этодвижение. Динамика изучает движение тел в связи с причинами (силами), которые обуславливаюттот или иной характер движения. Статика изучает равновесие тел и в нашем курсе нерассматривается.1. КИНЕМАТИКАВ механике широко пользуются двумя моделями: материальная точка и материальное тело.Материальная точка – это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.Любое материальное тело можно представить как совокупность материальных точек.Материальное тело может состоять из дискретных точек или быть сплошным.

Если расстояниемежду любыми двумя точками тела не изменяется, то говорят об абсолютно твердом теле.Важным вопросом в кинематике является задание положения тела в пространстве. Свободноепространство является однородным (в нем нет точек, обладающих особыми свойствами) иизотропным (в нем нетвыделенных направлений). Поэтому в свободном пространстве нельзя определить положениематериальной точки или тела. Телом отсчета называется абсолютно твердое тело, относительнокоторого можно задать положение произвольного объекта в пространстве.1.1. Система координат.

Система отсчета.Способы задания положения точки в пространствеВсе физические процессы протекают в пространстве и во времени. С телом отсчета связываютсистему координат, которая позволяет указать “адрес” материальной точки или тела, т.е. задатьположение точки или тела в пространстве. Время – мера длительности процессов. Для его отсчетатребуются часы. Тело отсчета, система координат и часы образуют систему отсчета. Мы будемиспользовать декартову прямоугольную (исключительно правую) систему координат (рис.1.1). Втакой системе координат ось OZ направлена в сторону поступательного движения правого винта,который вращается от оси ОХ к оси OY по кратчайшему углу.

Она не является единственновозможной. В нашем курсе будут использованы два способа задания положения точки впространстве: векторный и координатный.Векторный способ. Положение материальной точки М задается с помощью радиуса-вектораr , который проводится из начала координат в точку М (рис.1.2). Для того, чтобы задать радиусвектор r необходимо указать:1) начало системы координат – т.О;2) модуль r ;3) направление радиуса-вектора в пространстве, определяемое двумя независи-мыми углами.ZИспользуя векторы единичнойдлины, сонаправленные с осями  координат (орты) i , j , k , можно представить r следующимобразом:r  rx i  ry j  rz k .O(1.1)Для случая, изображенного на рис.1.2, можно записать:YXrx  x; ry  y; rz  z .ZКоординатный способ. Положение мате-риальной точки Мзадается с помощью координат x, y, z и записывается в виде:М(x, y, z).Замечание.

Минимальное число параметров, котороеполностью определяет положение физической системы впространстве, называется числом ее степеней свободы. Можносказать, что материальная точка имеет три степени свободы.1.2. Понятие траектории. Кинематический закон движенияматериальной точки.

Вектор перемещения. ПутьРис. 1.1zOryМYxЛиния, которую описывает движущаяся точка в Xпространстве, называется траекторией. Вид траектории зависит отРис. 1.2выбора системы отсчета. Рассмотрим равномерное движение точкипо радиусу равномерно вращающегося диска от центра к краю (рис. 1.3). Относительно системыкоординат ( X ,Y , Z  ), связанной с вращающимся диском, траектория точки будет прямой линией.Относительно системы координат ( X ,Y , Z ), связанной с Землей, траектория точки будет спиральюАрхимеда.В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движения.

Внашем курсе, как правило, будем рассматривать плоские траектории. Для описания движенияматериальной точки необходимо задавать кинематический закон движения, т.е. уравнение илисистему уравнений, определяющих положение тела в любой момент времени относительновыбранной системы отсчета. В случае векторного способа задания положения точки в пространстве кинематический закон ее движения имеет вид: r  r (t ) , аZZпри координатном способе он может быть записан ввиде:x  x (t ), y  y(t ), z  z(t ).О(1.2)Если из соотношений (1.2) исключить время t, тополучим уравнение, которое будет описыватьтраекторию материальной точки.Рассмотрим движение точки по траектории L(рис.

1.4). В момент времени t точка находилась вположении 1, определяемом радиусом-YXYОXРис. 1.3вектором r1 , а в момент времени t + t вопределяемом радиусом–вектором r2 .положении 2,Вектор, проведенныйиз начального положения точки в конечное, называетсявектором перемещения r . Как видно из рис. 1.4,  r  r2  r1 , т.е. вектор перемещения равен изменению (илиприращению) радиуса-вектора. Расстояние между точками 1 и2, измеренное вдоль траектории, называется путем S .При стремлении t к нулю конечное приращениерадиуса-вектора r заменяется на бесконечно малоеприращение радиуса-вектора dr .Направление вектора drбудет совпадать понаправлению с единичным вектором  , направленным покасательной к траектории в сторону движения точки.Z1r1LrSr2O2YXРис.

1.41.3. Скорость. Нахождение пути. УскорениеРазобьем траекторию L материальной точки на бесконечно малые участки длиной dL (рис.1.5). Каждому участку траектории dL будет соответствовать перемещение dr . Разделим этоперемещение на промежуток времени dt, за который материальная точка проходит путь dS  dr .Тогда получим мгновенную скорость в данной точке траекторииdr .vr,dt(1.3)где точкой сверху будем обозначать производную по времени.Так как вектор d r направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, то ивектор мгновенной скорости v направлен туда же.Вектор мгновенной скорости может быть представлен в виде dr d x  d y  d z vij k.dt dtdtdtrТакимобразом,компонентывектораскоростиvопределяются как соответствующие производные:ZdLdrLdx .vx xdtr  dr.dy .v y ; vz  d z  z . (1.4)y;dtdtТогда модуль скорости может быть найден следующимобразом:v2  vx2  vy2  vz2 .OYXРис.

1.5Движение называется равномерным, если модульскорости остается постоянным, т.е. v  const .Определим путь, проходимый телом за время t придвижении по произвольной траектории из положения 1 в положение 2 (рис. 1.6). Разобьемтраекторию на такие малые участки (в дальнейшем называемые элементарными), чтобы можно былосчитать скорость на этих участках неизменной.

Тогда длина траектории i-го участка (путь) будетвыражаться формулойLi  vi ti ,где vi – модуль скорости на i-м участке; ti – время его прохождения.Весь путь можно найти как сумму длин всех элементарных участков. При этом значение путибудет определено тем точнее, чем меньше рассматриваемые элементарные участки Li , т.е. чемменьше промежутки времени ti :S  limSi 0t Li  lim vi  ti  v(t) d t .t0(1.5)0Важной векторной кинематической величиной являетсяускорение, которое характеризует быстроту изменения вектораскорости и определяется как производная скорости по времени:ad2 r..dv 2 r ;dt dta  dv .ZLL2В проекциях на оси координат получим следующие выражения:2d vx d x 2 ,a x dtdtd vy d 2 y 2 ,ay dtdt2 a  d vz  d z .2 zdtdt1YOXРис.

1.6(1.6)1.4. Кинематический закон движения материальной точкис постоянным ускорениемЕсли вектор ускорения остается постоянным по модулю и направлению, то такое движение называется равнопеременным.Из определения ускорения следует dv  a dt . После интегрированияэтого выражения получимv = v0  a t ,(1.7)где v0 – начальная скорость в момент времени t = 0; v – скорость в момент времени t. Воспользуемся выражением (1.3), которое запишем в виде dr  v dt . После подстановки значенияскорости из (1.7) и интегрирования при a  const получаем:  at 2r  r0  v0 t 2 ,где r0 – радиус-вектор, определяющий положение тела в момент времени t = 0.Используя (1.2), запишем законы изменения координат тела:a x t2, x  x0  v0 x t 2a y t2, y  y 0  v0 y t 22 z  z  v t  az t .00z21.5.

Нормальное и тангенциальное ускоренияВ общем случае направление вектора ускорения тела неизвестно. Для его нахождениявыберем в каждой точке траектории два единичных вектора,  и n . Вектор  направим покасательной к траектории в сторону движения точки, а вектор n – по нормали в сторону вогнутоститраектории (рис. 1.7). В конкретных задачах бывает удобно рассматривать проекции вектораускорения a на выбранные таким образом направления.Проекция a на направление n называется нормальным (центростремительным) ускорением, ана направление  тангенциальным (касательным) ускорениемa  a   an n ,(1.8)где a и an – модули тангенциального и нормального ускорений.Выясним физический смысл этих ускорений. Для этого представим скорость следующимобразом: v = v . Определим ускорениеdv d   dv da (v )  vdt dtdt dt .(1.9)Из сравнения первых слагаемых в формулах (1.8) и (1.9) видно, чтоdva dt .nТаким образом, тангенциальное ускорение характеризует скоростьРис.