Погрешности (А.Е. Тарасов - Электронный учебно-методический комплекс по физике для РТФ (2012))

ОглавлениеВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................................... 21. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ .......................................

32. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ОДНОКРАТНЫХНАБЛЮДЕНИЯХ ......................................................................................................................................... 43. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ ........................................................................................................

44. СУММАРНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ ..................................................... 65. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ............................................................... 76. ПРИМЕР СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ................. 97. УКАЗАНИЯ К СОСТАВЛЕНИЮ ГРАФИКОВ ........................................................................... 10ПОРЯДОК РАБОТЫ В ФИЗИЧЕСКОЙ ЛАБОРАТОРИИ .......................................................... 11ФОРМА ОТЧЁТА ................................................................................................................................. 112ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ФИЗИЧЕСКИХИЗМЕРЕНИЯХ.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКАРЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙВведениеНеотъемлемой частью экспериментальных исследований, в том числе и проводимых в физическом практикуме, являются измерения физических величин. Измерения могут быть прямыми или косвенными. При прямом измерении значениеизмеряемой величины получают непосредственно в ходе измерения (например,измерения длины стержня линейкой), а при косвенном окончательный результат может быть получен только после проведения соответствующих расчетов(например, при измерении площади пластины придется воспользоваться формулой S = ab).Используемые при измерениях технические средства, прошедшие необходимыйконтроль, называются средствами измерения, а величины, получаемые с их помощью, принимаются как результат измерения.Всякое измерение сопряжено с погрешностями, поэтому в результате измеренийполучают не истинное значение искомой величины, а значение, приближённое кнему настолько, что может быть использовано как действительное значениефизической величины.

Поэтому, в конечном итоге, мы можем лишь указать интервал – интервал достоверности (доверительный интервал), в пределах которого лежит измеряемая величина. Так, измеряя длину стержня с помощьюштангенциркуля с точностью нониуса 0,1 мм, можно лишь указать, что истинноезначение длины l лежит, например, в интервале 13,4  l  13,6 мм, что и отражается в форме записи результата измерения:l  (13,5  0,1) мм.Эта запись означает, что действительное значение длины стержня l = 13,5 мм, а истинное значение этой величины лежит в интервале 13,4  13,6 мм.Под погрешностью измерения понимается отклонение результата измерения отистинного значения. При этом различают абсолютную и относительную погрешность измерения.Абсолютная погрешность – это величина, равная отклонению действительногозначения от истинного значения измеряемой величины:x  xдейств  xист .Так как истинное значение неизвестно, то на практике можно дать лишь приближённое значение абсолютной погрешности.Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины (которая, практически, заменяется еёдействительным значением)δΔх.х3Очевидно, что именно относительная погрешность характеризует качество измерения, его точность.

Эта величина безразмерна и часто выражается в процентах.1. Классификация погрешностей прямых измеренийПо характеру проявления в эксперименте различают систематическую погрешность, случайную погрешность и грубые промахи.Систематическая погрешность измерения – это составляющая погрешностиизмерения, остающаяся постоянной (по величине и знаку) при повторных измерениях. В свою очередь, по источнику появления эти погрешности можно разбитьна несколько групп.Одна из них – это систематические погрешности, природа и величина которых известны (например, сдвиг нуля измерительного прибора), эти поправки могутбыть определены до начала измерений и учтены в конечном результате.

Примером этого типа погрешностей является также методическая погрешность. Онаопределяется недостатками выбранного метода измерения или неточностью расчётных формул. Так, если взвешивать тело на аналитических весах без введенияпоправки на потерю веса груза в воздухе, то появится ошибка взвешивания, которую можно классифицировать как методическую.Другая группа систематических погрешностей – это погрешности, для которыхизвестно их предельное значение, но неизвестен знак. К ним, в частности, относится инструментальная погрешность. Она обусловлена конструкцией измерительного прибора, неточностью его изготовления.

Величина этой погрешностиопределяется классом точности прибора, но знак её неизвестен (его можно оценить, сравнивая показания данного инструмента измерения с прибором болеевысокого класса точности). Инструментальную погрешность принято записыватьсо знаком «», подчеркивая этим, что без дополнительных исследований мы незнаем знак отклонения от истинного значения.Случайная погрешность – это составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Даннаяпогрешность вызывается причинами, которые не всегда поддаются оценке: зазоры в опорах, колебания стола, электромагнитные наводки и т.

д. Она проявляетсяпри повторных измерениях в виде разброса измеряемых значений, как по величине, так и по знаку. Случайная ошибка носит вероятностный характер. Её можноуменьшить за счет увеличения числа измерений и соответствующей статистической обработки результатов измерений.Грубые промахи обусловлены либо небрежным отсчётом, либо временной неисправностью прибора или внезапным сильным внешним воздействием. Эти погрешности легко исключить сравнением результатов измерений, проведённых вданной серии опытов.Окончательный результат измерения после исключения выявленных систематических погрешностей и грубых промахов необходимо представить в видеx  xизм  Δx , P Здесь xизм – действительное значение измеряемой величины, х – полная погрешность измерения, Р – коэффициент достоверности (надёжность), т.

е. вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится в интервалех. Так, если Р = 0,95, то, это, грубо говоря, будет означать, что из 100 повторных4замеров результаты 95 измерений будут лежать в пределах указанного интерваладостоверности х.2. Оценка погрешностей прямых измерений при однократных наблюденияхСистематическая погрешность измерения х в общем случае складывается из инструментальной погрешности xинс, методической погрешности и погрешностисчитывания.Так как в лаборатории не проводится дополнительное исследование используемых измерительных приборов, то инструментальную погрешность будем оценивать её предельным значением.Металлические измерительные линейки изготовлены с достаточной точностью.Их миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более 0,05 мм.

Однако,кроме этой погрешности необходимо учитывать погрешность считывания, которая, при известном навыке, может быть доведена до четверти деления, т. е.0,25 мм. Тогда предельное значение погрешности будет порядка 0,3 мм. Учитывая, что указатели в лабораторных установках отстоят от поверхности линеек нанесколько миллиметров, в качестве предельной погрешности измерения будембрать величину, равную 0,5 мм (в некоторых работах она может достигать1  2 мм).

Предельная инструментальная погрешность штангенциркуля определяется точностью нониуса. Так, если она равна 0,1 мм, то погрешность измеренияпринимается равной 0,1 мм.Погрешность термометра, барометра указывается в паспорте прибора. Так, дляртутного стеклянного термометра ТЛ-2 с пределом измерения 0  100 С при ценеделения 1С предельная инструментальная погрешность равна 2С.Предельную инструментальную погрешность стрелочных приборов (амперметры,вольтметры и т. д.) можно определить по классу точности прибораK Δx инсх max 100% ,где xmax – конечное значение шкалы, т. е. наибольшее значение измеряемой величины, указанное на шкале.Цифровые измерительные приборы представляют собой сложные электронныеустройства, поэтому при определении их погрешности необходимо руководствоваться их паспортными данными, указанными на учебных стендах.

В любом случае их предельная инструментальная погрешность не может быть ниже единицыпоследнего разряда, высвечиваемого на индикаторной шкале прибора.Для приборов, у которых указатели перемещаются скачком с одного деления надругое (например, секундомеры), предельное значение инструментальной погрешности принимается равным цене наименьшего деления его шкалы. Так, у секундомера с ценой наименьшего деления 0,2 с инструментальная погрешностьравна 0,2 с.3. Случайные погрешностиПроведя измерения одной и той же величины, одним и тем же прибором, при одном и том же методе измерения, можно обнаружить, что численные результатыбудут отличаться друг от друга на величину большую, чем инструментальная погрешность.

В этом случае говорят о случайной погрешности измерений. Каждое5численное значение, полученное в ходе такого эксперимента, будет являться случайной величиной. Случайные величины изучаются в математической статистикеи с помощью этого раздела математики можно оценить как результат измерения,так и погрешность измерений.Допустим, что мы провели большую серию из n измерений одной и той же величины x. Из-за наличия случайных погрешностей отдельные значения из этой серии х1, х2, х3, …, xn не одинаковы.

Для наглядности представления разобьем весьдиапазон измеренных значений на равные интервалы Δхi (причем Δxi  x –среднее значение x). Найдём, сколько значений измеряемой величины попали вданный интервал Δхi, и построим гистограмму (с греч. – ступенчатая кривая), высота каждой ступеньки которой пропорциональна числу таких «попаданий»(РИС. 1).Рис. 1Чем точнее проведены измерения, тем более узкой будет полученная кривая, инаоборот, при грубых измерениях кривая распределения будет более широкой,расплывчатой. Пунктирная кривая, изображенная на РИС. 1, представляет собойфункцию плотности вероятности распределения случайных величин хi.

Эта функция позволяет с заданной вероятностью определить результат измерений и величину случайной погрешности измерения.Очевидно, что в отсутствие систематической погрешности величиной, ближе всего лежащей к истинному значению, будет являться среднеарифметическое значение из всех измерений.Следовательно, в качестве действительного значения измеряемой величинынужно взять ее среднеарифметическое значение (которое в дальнейшем будемназывать просто средним значением)хх1  х2 ...  хn.nТак как среднее значение x определяется суммой случайных величин, то и онотоже является случайной величиной. Поэтому, если провести еще одну серию из nизмерений, то в общем случае можно получить несколько другое значение x .