Grigoriev_TR_mech_2015 (Материалы к лекционному курсу для студентов ЭТФ, С.В. Григорьев)

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО РАЗДЕЛУ «МЕХАНИКА» ДЛЯ ЭТФ. 2009 г.1. Путь, пройденный точкой по окружности радиуса R  2 м, выражен уравнением S  at 2  bt .Найти нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки через t  0,5 с после начала движения,если a  3 м/с2 , b  1 м/с.2.

Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R  4 м, изменяется по закону an  a  bt  ct 2 . Найти тангенциальное ускорение точки, путь, пройденный точкой за время2t1  6 с после начала движения, и полное ускорение в момент времени t 2  с, если a  1 м/с2 ,3b  3 м/с3 , c  2,25 м/с4.3. Найти радиус R орбиты стационарного спутника Земли (стационарным называют спутник,период обращения которого равен 24 часам), если спутник, движущийся в плоскости экватора в сторону вращения Земли, “зависает” над определенной точкой экватора. Ответ выразить через радиус ЗемлиRЗ  6400км , угловую скорость вращения Земли ω и ускорение g силы тяжести на ее поверхности.4.

Автомобиль движется с постоянным тангенциальным ускорением аτ = 0,62 м/с2 по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиусом R  40 м. Коэффициент трения скольжения между колесами и поверхностью μ = 0,20. Какой путь пройдет автомобиль без скольжения, если в начальный момент времени его скорость равна нулю?5.

К потолку трамвайного вагона подвешен на нити шар. Вагон идет со скоростью 9 км/ч по закруглению радиусом 36,4 м. На какой угол отклонится при этом шар с нитью?6. Шоссе имеет вираж с уклоном 10º при радиусе закругления дороги 100 м. На какую скоростьрассчитан вираж?7.

Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке радиуса R. Коэффициент трения зависит только от расстояния r до центра О площадки как    0 (1  r / R) , где μ0 – постоянная. Найтирадиус окружности с центром в точке О, по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?8. Стальная проволока выдерживает натяжение до 2,94 кН. На такой проволоке подвешен грузмассой 150 кг.

На какой наибольший угол можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохождении грузом положения равновесия?9. Камень массой 0,5 кг, привязанный к веревке длиной l  50 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Натяжение веревки в низшей точке окружности T  44 Н.

На какую высоту поднимется камень, если веревка оборвется в тот момент, когда мгновенная скорость камня направлена вертикально вверх?10. Груз массой m  0,5 кг, привязанный к резиновому шнуру длиной l 0  9,5 см, отклоняют наугол α = 90º от вертикали и отпускают. Найти длину l резинового шнура в момент прохождения грузом положения равновесия. Коэффициент упругости шнура k = 10 Н/см.

Указание. Потенциальнаяэнергия груза переходит в его кинетическую энергию и в потенциальную энергию растянутого шнура.11. Тело массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v . Найти мощностьсилы тяжести как функцию времени. Найти работу силы тяжести за первую и вторую половины пути,а также полную работу силы тяжести за время полета.12. Шарик массы m  100 г, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовалапрямой угол с вертикалью, а затем отпустили.

Найти: 1) тангенциальное, нормальное и полное ускорение и натяжение нити в зависимости от угла θ отклонения нити от вертикали; 2) натяжение нити втот момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна.13. Снаряд, летящий горизонтально со скоростью 200 м/с, разорвался на две части, массы которых 30 кг и 20 кг. Скорость большего осколка после разрыва 800 м/с направлена под углом 30º к горизонту вверх.

Определить модуль и направление скорости меньшего осколка.14. Пластилиновый шарик бросают вертикально вверх со скоростью v 0 . Одновременно с высотыh бросают вертикально вниз такой же шарик с той же скоростью v 0 . На некоторой высоте происходитстолкновение шариков, в результате которого они слипаются. С какой скоростью упадет на Землюслипшийся комок пластилина?15. Два тела массами m1  1 кг и m2  2 кг движутся навстречу друг другу во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями v1  3 м/с и v2  2 м/с. В результате соударения тела слипаются. Определить какое количество теплоты выделится в результате соударения.16.

Тело массы 300 г соскальзывает с высоты 2 м по вогнутому желобу, переходящему в горизонтальную плоскость, и сталкивается с неподвижным телом массы 500 г. Определить скорость обоих телпосле столкновения в случаях абсолютно неупругого и абсолютно упругого центральных ударов. Работа сил трения при движении первого тела по желобу равна 3,2 Дж.17. Тележка массой 100 кг движется по рельсам со скоростью 1 м/с. Человек массой 60 кг догоняет тележку и вскакивает на нее под углом 30º к направлению ее движения.

Скорость человека 3м/с.Определить изменение суммарной кинетической энергии тележки и человека.18. Горизонтально летящая пуля массой 10 г попадает в деревянный куб массой 1 кг, лежащий наполу, и пробивает его насквозь. Куб при этом перемещается по полу на расстояние 10 см. Коэффициент трения куба о пол 0,03. Определить, какая часть энергии пули перешла в тепло, если начальнаяскорость пули 500 м/с, а траектория пули проходит через центр куба.19. Гимнаст падает с высоты Н= 12 м в упругую сетку. Во сколько раз максимальная сила Fmax ,действующая на гимнаста со стороны сетки, больше его веса, если прогиб сетки под действием весагимнаста равен х0 = 1 м ?20. Капля с начальной массой М падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется,теряя ежесекундно массу, равную μ.

Какова работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? Сопротивлением воздуха пренебречь.21. Блок массой M, имеющий форму однородного цилиндра радиусом R, может без трения вращаться вокруг своей оси. На блок плотно намотана нить, к концу которой прикреплен небольшой грузмассы m. Груз приподнимают так, что нить оказывается не натянутой, и затем отпускают. В результате падения груза в определенный момент нить натягивается и приводит во вращение блок. Определить угловую скорость вращения блока в момент натяжения нити, если высота свободного падениягруза равна h.22. Однородный стержень длиной 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси,проходящей на расстоянии 25 см от его конца.

Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловое ускорение стержня в начальный момент и в момент, когда стержень отклонится на угол 60º от горизонтали. Чему равны линейные скорости концов стержня при прохождении вертикального положения?23. Однородный стержень массы m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень приводят в положение неустойчивого равновесия и отпускают без толчка.

Определить максимальное значение силы давления стержня на ось.24. Однородный кубик массы m, длина ребра которогоравна l, перемещают горизонтально, действуя на него силойF. Коэффициент трения кубика о горизонтальную поверхностьравен μ. Найти плечо равнодействующей сил нормального давления на кубик относительно центра кубика. При каких значениях силы F кубик будет скользить не опрокидываясь?F25. Горизонтально расположенный тонкий стержень массы m подвешен за концы на двух вертикальных нитях. Найти силу натяжения одной из нитей сразу после пережигания другой.26. Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости ω и осторожно положили на горизонтальную поверхность.

Сколько времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен μ?27. Однородный диск радиуса R и массы m лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Набоковую поверхность диска намотана нить, к свободному концу К которой приложили постояннуюгоризонтальную силу F. После начала движения диска точка К переместилась на расстояние l. Найтиугловую скорость диска к этому моменту.28.

Однородный стержень длины l расположен под углом α к гладкой горизонтальной поверхности, на которую он опирается своим нижним концом. Стержень без толчка отпустили. Найти линейнуюскорость верхнего конца стержня непосредственно перед падением его на плоскость.29. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m1 , а на ней однородный шар массы m2 . К доске приложили горизонтальную силу F. С какими ускорениями будут двигаться доска ицентр шара в отсутствие скольжения между ними?30. Однородный стержень, падавший в горизонтальном положении с высоты h, упруго ударилсяодним концом о край массивной плиты. Найти скорость центра стержня сразу после удара.Распределение задач среди студентов группы по номеру в журналеРаспределение задачт.р.№№ задачпо жур11 11 2122 12 2233 13 2344 14 2455 15 2566 16 2677 17 2788 18 2899 19 291010 20 30111 12 23122 13 24133 14 25144 15 26155 16 27166 17 28177 18 29188 19 30199 20 212010 11 22211 13 25222 14 26233 15 27244 16 28255 17 29266 18 30277 19 21288 20 22299 11 233010 12 24.