Grigoriev_Energy (Материалы к лекционному курсу для студентов ЭТФ, С.В. Григорьев)

Глава 3Работа и механическая энергия§1Работа силыРассмотрим б/малое (элементарное) перемещение dl м .т. поддействием силы F :Fα2dl1Работой силы по элементарному перемещению называетсяскалярная величина:dA  F  dl  cos   F  dldA  0 если   (скалярное произведение)2(α – острый)2(α – тупой)2(α – прямой)dA  0 если   dA  0 если   Работа силы над телом, совершающим конечное перемещение1→2:2211A   dA   F  dl  cos    F  dlЕсли F   F i – равнодействующая, то222111A   F  dl    F i  dl    Fi  dl   AiРабота нескольких сил равна алгебраической сумме работ,совершаемых каждой силой в отдельности.Мощностью силы называется работа в единицу времениdAPdtdAdldA  F  dl Fdtdtdl v – мгновенная скорость м.т.dtP  F vРабота силы тяжестиОсь y (ось высоты h) – вертикально вверх.y22 h2dldymgy11h1На участке dl :dA  mg  dl  mg y dy  mgdyРабота по перемещению вдоль конечной траектории:A12  mg y  mg ( y1  y2 )A12  0 если y1 < y2 (тело опускается)A12  0 если y1 > y2 (тело поднимается)Мощность силы тяжести:P  mgv y(vy – вертикальная проекция скорости)Работа упругой силых=0ххFх = 0 – положение равновесиях > 0 – пружина растянутах < 0 – пружина сжатаFx  kxПри элементарном перемещении dx:dA  F  dl  Fx dx  kxdxdx 2 2 x  2 xdx  dx 2dx1dA  kxdx   kd ( x 2 )2При конечном перемещении х1→х2:221k(xx212)A12   k  ( x ) 22Работа упругой силы положительна если(деформация уменьшается).x1  x2Работа силы тренияСила трения покоя работы не совершает, т.к.

трущиесяповерхности остаются в состоянии относительного покоя.Сила трения скольжения всегда направлена противперемещения:Fтр  dl   Fтр dl    NdS(α = π)dS – величина вектора перемещенияЕсли N = const, то на конечном отрезкеAтр    NS(S – пройденный путь)Силы, полная работа которых всегда отрицательна, называютсядиссипативными.§2. Потенциальная энергияСила, действующая на мат. точку называется консервативной илипотенциальной, если1. Величина и направление силы зависит только от мгновенногоположения м.т.

в пространстве2. Работа силы по перемещению м.т. зависит только отположения нач. и конечной точек траектории движения и независит от ее формы.При движении по одной и той же траектории А12 = – А21:FF  dl   F  dl dl1dl 2Из условия 2 следует, что работа консервативной силы полюбой замкнутой траектории равна 0.Область действия консервативной силы образует потенциальноеполе.К потенциальным относятся гравитационное поле, в т.ч. полетяжести Земли, поле сил упругой деформации,электростатическое (кулоновское) поле.Потенциальной энергией мат.

точки в потенциальном поленазывается работа, совершаемая силами поля при перемещенииточки из заданного положения в произвольно выбранную точкунулевой потенциальной энергии.r0U (r0 )  0rU (r )r0U (r )   F  dlrU (r0 )  0Потенциальная энергия – функция координат!U ( r )  U ( x, y , z )Работа по перемещению мат.

точки из положения 1 ( r1 ) вположение 2 ( r2 ):A12 r2r F  dl(не зависит от формы траектории)1Выберем траекторию перемещения так, чтобы она проходилачерез точку r0 :r1r2r0A12 r0r2r0r2 F  dl   F  dl   F  dl  U (r )   F  dl  U (r )  U (r )1r 1r 1r012r2Работа, совершаемая консервативной силой над телом,равна убыли потенциальной энергии тела в поледействия силы.A12  U  U (r1 )  U (r2 )  U1  U 2Поле тяжестиРабота:A12  mg ( y1  y2 )Положим U = 0 при y = 0.U ( y )  A( y  0)y1  y , y2  0U ( y )  mgy  mghy или h – высота над выбранным уровнемПоле сил упругой деформацииFx   kxРаботаk ( x12  x22 )A12  A( x1  x2 ) 2х – деформацияПоложим U = 0 при х = 0 (точка равновесия).U ( x)  A( x  0)kx 2U ( x) 2Центральное полеЦентральная сила:1.

Вектор силы, приложенной к м.т. ориентирован вдоль прямой,соединяющей точку с неподвижным фиксированным центром.2. Величина силы зависит только от расстояния м/у точкой и центром.F ( Fr  0)rСF ( Fr  0)Fr – радиальная проекция силы (Fr > 0 – от центра, Fr < 0 – к центру)Fr  Fr (r )Примеры центральных полей: поле тяготения массивного космическогообъекта, электростатическое поле точечного заряда.Работа центр. силы при б/м перемещении dl :r1drFСdlr2dA  F  dl  Fr drdr – приращение расстояния до центраРабота центр. силы при конечном перемещении r1  r2 :r2A12   Fr (r )drr1Работа зависит только от расстояний м/у крайними точками ираектории ицентром.Центральное поле потенциально.Точку нулевой потенциальной энергии как правило выбирают на бесконечномудалении от центра r0 → ∞.Потенциальная энергия м.т.

в центральном поле:U(r )   Fr (r )dr rПример. Поле тяготения.В центре – тяготеющая масса М.МFrтF – сила притяжения м.т. т на расстоянии r от М.Из закона тяготения:MmF (r )   2rПоскольку сила направлена к центру:MmFr (r )   2rdr 1 U(r )   Fr (r )dr    Mm  2   Mm rrrr r Потенциальная энергия массы т в поле тяготения М:U(r )   MmrПотенциальная энергия притяжения отрицательна.§3. Механическая энергия, закон сохраненияКинетическая энергия тела – это работа, которую надо совершитьдля того, чтобы разогнать тело из состояния покоя до заданнойскорости.F – равнодействующая сил, вызывающих ускорение.Мощность сил:dAP F vdtdA  Pdt  F v  dt – работа за время dtdvF  ma  mdtdvmdA  mvdt  mv  dv  d (v 2 ) – работа по приращениюdt2скорости от v до v+dvd (v 2 )  d (v v )  2v  dvРабота по ускорению v1→v2:mm 22A   (v ) v 2  v1222Если v1 = 0 , v2 =v, то А – кинетическая энергия тела,движущегося со скоростью v.mv 2 p 2Eк 22mр – модуль импульса тела.Механическая энергияИз определения – приращение кинет.

энергии тела равносуммарной работе всех сил, приложенных к телу.Eк   AEк   A(конс)A(неконс)Полная работа всехПолная работа всехконсервативных силнеконсервативных силСуммар. работа конс. сил равна убыли потен. энергии тела в полеэтих сил:A(конс) UEк  U   A(неконс)Механическая энергия тела – это сумма его кинет.

и потен.энергий:E  Eк  UE   A(неконс)Изменение механической энергии тела в процессе движенияравно полной работе неконсервативных сил, действующих натело.Если неконсервативные силы не совершают работы,механическая энергия тела сохраняется.E  0 , E  Eк  U  constЭнергия системы телРассмотрим замкнутую систему из двух взаимодействующих тел.Энергия 1-готела:m1v12E1  U 1 (r1 ,r2 )2U1 ( r1 , r2 ) – потенциальная энергия 1-го тела в поле 2-гоm 2v 22E2  U 2 (r1 ,r2 )2Энергия 2-го тела:U 2 ( r1 , r2 ) – потенциальная энергия 2-го тела в поле 1-гоИз III закона Н.:U 2  U1Энергия системы двух тел:m1v12 m 2v 22E U 12 (r1 ,r2 )22U12 ( r1 , r2 ) – потенциальная энергия взаимодействия телU12  U 21  U1  U 2– одна и та же энергия!Энергия системы взаимодействующих тел не равна суммеэнергий отдельных тел.Механическая энергия произвольной системы тел складываетсяиз:– кинетических энергий тел,– потенциальных энергий каждого тел системы во внешнемполе,– потенциальных энергий взаимодействия различных пар телвнутри системы.miv i2E  U i (ri )  U ij (ri ,r j )2iii jСумма по отдельнымтеламСумма по различным парамИзменение механической энергии системы может быть вызванотолько действием неконсервативных сил на тела системы:E   A(некон)Закон сохранения механической энергии:Механическая энергия системы сохраняется если суммарнаяработа всех неконсервативных сил (как внешних, так ивнутренних!) равна нулю.Механические системы, тела которых не испытываютвоздействия неконсервативных сил, называютсяконсервативными.Механическая энергия консервативной системы сохраняется.§4.

СтолкновенияСтолкновение (удар) – кратковременное взаимодействие двух илинескольких тел, в результате которых их импульсы заметноизменяются.Силы взаимодействия тел при ударе, как правило, намногопревышают внешние силы – суммарный импульссталкивающихся тел сохраняется.v1v1v2v 2m1v1  m 2v 2  m1v1  m 2v 2Удар называется абсолютно упругим, если суммарнаякинетическая энергия сталкивающихся тел сохраняется.В противном случае – удар неупругий.При неупругом ударе механическая энергия не сохраняетсяАбсолютно упругий ударv1v2v1v 2m1v1  m 2v 2  m1v1  m 2v 2m1v12 m 2v 22 m1v12 m 2v 222222Если одно из тел (т2 ) до удара покоилось:m1v1  m1v1  m 2v 2m1v12 m1v12 m 2v 22222Удар называется центральным (лобовым), если векторотносительной скорости двух тел направлен вдоль прямой,соединяющей их центры масс.хv1v 2v1m1v1x  m1v1x   m 2v 2 x m1v12x m1v1x2 m 2v 22x222v1x  v1  0m1 (v12  v1x2 )  m 2v 22xm1 (v1  v1x )  m 2v 2 x v1  v1x  v 2 x m1 (v1  v1x )  m 2 (v1  v1x )v1x m1  m 2v1m1  m 2Если т1> т2 v1x ′ > 0, при т1< т2 v1x ′ < 0.v 2 x 2m1v1  0m1  m 2Абсолютно неупругий удар : сталкивающиеся тела слипаются идвижутся вместе.Закон сохранения импульса:m1v1  m 2v 2  (m1  m 2 )v Общая скорость тел после удара.m1v1  m 2v 2v m1  m 2Если v2 = 0, тоv m1v1m1  m 2Изменение механической энергии:(m1  m 2 )v 2 m1v120E  E 2  E1 22Q  E – увеличение внутренней энергии телm12v12m1v12 m 2m1v12 (m1  m 2 )v 2 m1v12Q22(m1  m 2 )2 m1  m 222Относительная доля энергии, перешедшей в тепловую форму:Qm2 E1 m1  m2При т1>> т2 η<<1 – кинетич.

энергия уменьшаетсянезначительно.При т2>> т1 η≈ 1 – почти вся энергия переходит в тепловуюформу..