vector (Лекции по линейной алгебре АВТИ), страница 8

Даны векторыc  {0,  1, 0}. Найти:а) Прb а ;a  {1, 0,  3} ,б) Прc (a  b) ;b  {4,  3, 2} ,в) Прc (2a  b) .Решение. Данные в этом примере векторы имеют те же координаты, чтои векторы в примерах 2.5.2 и 2.5.3. Поэтому в процессе решения будутиспользованы полученные там результаты.а) Требуемую скалярную проекцию находим по первой из формул (24):65Прb а (a , b)1010,|b|16  9  429скалярное произведение векторов а и b было найдено в примере 2.5.2а).б) Векторную проекцию находим по второй из формул (24):Прc (а  b) (a  b)  c| c |2c a bc10c c  10 c  {0,  10, 0} .0  1 0| c |2Было использовано определение смешанного произведения векторов ирезультат его вычисления в примере 2.5.2в).

Но можно было взять и результатпримера 2.5.2б) для векторного произведения векторов а и b, а затемперемножить его скалярно с вектором с.в) Координаты вектора 2a  b были найдены в примере 2.5.3. По первойформуле (24) имеем:Прc (2а  b) (2a  b)  c 6  0  3  (1)  (8)  0 3 . ■|c|1ПРИМЕР 2.5.5. Даны векторыa  {1, 0,  3} ,b  {4,  3, 2} ,c  {0,  1, 0}.а) Найти угол между векторами а и b.б) Проверить, коллинеарны ли векторы с и a  b .в) Проверить, перпендикулярны ли векторы: 1) а и с; 2) a  b и с.В случае отрицательного ответа найти угол между указанными векторами.г) Проверить, компланарны ли векторы:1) а, b и с; 2) а, a  b и(a  b)  c . В случае отрицательного ответа указать, какую тройку ониобразуют: левую или правую.Решение.

а) Скалярное произведение векторов а и b было найдено впримере 2.5.2а). Косинус угла между векторами а и b находим по формуле (22):cos  (a , b )101010.|a ||b|291  0  9  16  9  410  2966Требуемый угол между векторами а и bб) Коллинеарностьвекторов10 .29   arccos  c  {0,  1, 0}иa  b  {9,  10, 3}(вычислен в примере 2.5.2б)) проверяем по формуле (8):01, значит, векторы с и a  b не коллинеарны.9 10в) Условие перпендикулярности векторов дается формулой (19).1) a  c  1 0  0  (1)  (  3)  0  02) a  b  c  (a, b, c)  10  0a  c;abвекторысинеперпендикулярны.

( (a, b, c ) найдено в примере 2.5.2в)).Угол между векторами a  b и с находим по формуле (22), используярезультаты примеров 2.5.2в) и 2.5.2б):cos  (a  b ) c1010,|ab||c |19190  1 10 .19  arccos г) Условие компланарности векторов дается формулой (31).1) (a, b, c)  10  0векторы а, b и с не компланарны и образуютправую тройку, т.к. (a, b, c)  0 .2) Обозначимвектор(a  b )  cбуквойт.Чтобыпроверитькомпланарность векторов а, a  b и т по формуле (31), вычислим ихсмешанное произведение (координаты векторов a  b и т уже найдены впримерах 2.5.2б) и 2.5.2г)):10 31 3(a, a  b, m )  9 10 3  10 0,3 930 9следовательно, данные векторы компланарны.

(Определитель третьего порядкабыл вычислен при помощи разложения по второму столбцу). ■67ПРИМЕР 2.5.6. ДаныточкиA(1, 0, 3), B(0, 0,  2), C (4, 3, 2) , D(0, 1,  2) .а) Лежат ли они в одной плоскости?б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах AB иAC .в) Найти площадь треугольника АВС, высоту hB этого треугольника,проведенную из вершины В, и внешний угол при вершине А.Решение. а) Если точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, то векторыAB , AC и AD компланарны. Найдем координаты этих векторов по формулам(10):AB  {1, 0,  5} ,AC  {5, 3,  1} ,AD  {1, 1,  5} .Вычислимихсмешанное произведение (определитель найдем по правилу треугольников):1 0 5( AB, AC , AD)  5 3 1  15  25  0  15  1  0  24  0 ,1 1 5значит, векторы AB , AC и AD не компланарны, следовательно, точки А, В, С,D не лежат в одной плоскости.б) Площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AC , естьмодуль их векторного произведения (см.

геометрический смысл векторногопроизведения и формулу (26)). Т.к.i j k0 51 51 0AB  AC  1 0 5  ijk 15i  24 j  3k ,3 15 15 35 3 1тоS  15i  24 j  3k  225  576  9  810  9 10 .в) Площадь треугольника АВС (рис. 31) равна половине площадипараллелограмма, построенного на векторах AB и AC , найденной в б). Такимобразом,68S ABC В19S 10 .22Чтобы найти высоту треугольникаφАВС, используем формулу для егоплощади: S ABC А1| AC | hB .2Имея координаты вектораhBСРис. 31.AC  {5, 3,  1} , вычисляем его модуль| AC |  25  9  1  35 .

Теперь можно найти требуемую высоту:hB 2S ABC 9 1029 .7| AC |35Внешний угол φ при вершине А может быть найден как   180   , гдеα – внутренний угол треугольника АВС при вершине А (рис.31). Последнийможно найти как угол между векторами AB и AC по формуле (22):cos  ТогдаAB  AC1  5  0  3  (5)  (1)| AB |  | AC |1  0  25  3510.26  3510. ■ 26  35   180  arccos ПРИМЕР 2.5.7. В условиях примера 2.5.6 найти:а) объем параллелепипеда Vпар  да , построенного на векторах AB , AC ,AD и его высоту НD , проведенную из вершины D;б) объем пирамиды АВСD ( Vпир ).Решение.

а) Т.к. точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости (чтоустановлено в примере 2.5.6а)), то на векторах AB , AC и AD как на сторонахможет быть построен параллелепипед. Объем параллелепипеда находим поформуле (29), используя значение смешанного произведения векторов AB , AC( AB, AC , AD)  | 24 |  24 .и AD , найденного в примере 2.5.6а):69Для определения высоты НD воспользуемся формулой геометрииVпар  да  S  H D , где S– площадь параллелограмма, построенного навекторах AB и AC (она вычислена в примере 2.5.6б)).

Таким образом,HD Vпар  даS24.9 10б) Объем пирамиды АВСD найдем по формуле (30):11Vпир  Vпар  да   24  4 . ■66ПРИМЕР 2.5.8. Проверить верность равенств:а) i 2  1 ; б) i  j  0 ; в) i  j  k ; г) j  i   k ; д) i  i  0 ,где i , j , k – орты правой прямоугольной декартовой системы координат.Решение. По определению ортов прямоугольной декартовой системыкоординат | i |  | j |  | k |  1, i  j, j  k , i  k .i 2  | i |2  1 .а) По формуле (20)б) По условию (19)i  j  0 в силу взаимной перпендикулярности ортов.в) Пусть i  j  a , тогда по определению векторного произведения (25)имеем:k1) a  i , a  j ;2) | a |  | i |  | j |  sin 90  1 1 1  1 ;3) тройка i , j , a – правая.Условиям 1), 2), 3) удовлетворяет вектор k  a (рис.32).ijРис.

32.г) При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак(свойство  векторного произведения). Тогда, используя результат в), получимj  i   (i  j )   k .д) Т.к. вектор i коллинеарен самому себе, то по условию (27) имеемii  0. ■70Ввиду важности равенств, рассмотренных в примере 2.5.8, выпишем ихотдельно наряду с аналогичными им равенствами:1) i 2  j 2  k 2  1;2) i  j  i  k  j  i  j  k  k  i  k  j  0;3) i  i  j  j  k  k  0;4) i  j  k , j  k  i , k  i  j;j  i   k , k  j   i , i  k   j.(33)ПРИМЕР 2.5.9. Раскрыть скобки в следующих выражениях:а) (i  2 j  3k )  k ; б) ( j  2i )  (k  i ) ; в) (i  j )  (k  i ) ; г) (i  j )  (5k  i  3 j ) ,где i , j , k – орты правой прямоугольной декартовой системы координат.Решение. а) По свойствам  и  скалярного произведения и формулам1), 2) из группы формул (33) имеем:(i  2 j  3k )  k  i  k  2( j  k )  3(k  k )  0  0  3  1  3 .б) По свойствам  и  векторного произведения и формулам 3), 4) изгруппы формул (33) имеем:( j  2i )  (k  i )  j  k  2(i  k )  ( j  i )  2(i  i )  i  2 j  k  0  i  2 j  k.в) (i  j )  (k  i )  0 , т.к.

i  j  0 .г) (i  j )  (5k  i  3 j )  k  (5k  i  3 j )  5k 2  k  i  3k  j  5 1  0  3  0  5 . ■ПРИМЕР 2.5.10. Дано| a | 3, | b | 4,   (a, b)  2 / 3 .Вычислитьследующие выражения, предварительно раскрыв скобки там, где этонеобходимо:а) (3a  2b)  (a  2b) ; б) (a  b)2 ; в) (a  b)  (a  b) ; г) | (a  b)  (a  b) | .Решение. а) Используясвойстваполучаем:71-скалярногопроизведения,(3a  2b)  (a  2b)  3a  a  2b  a  3a  2b  2b  2b  3a 2  2(a b)  6(a b)  4b 2  3 | a |2 4(a b)  4 | b |2  3 | a |2 4 | a |  | b | cos   4 | b |2  3  9  4  3  4  cos(2 / 3)  4  16  27  48  (1/ 2)  64  61,где использована формула (20) и определение скалярного произведения.б) Аналогично имеем:(a  b)2  (a  b)  (a  b)  a 2  b a  a b  b 2  a 2  2a b  b 2  | a |2 2 | a |  | b |  cos   | b |2  9  2  3  4  (1/ 2)  16  37.в) Вектор a  b коллинеарен самому себе, поэтому по формуле (27)(a  b)  (a  b)  0 .Полученный результат может быть найден и при помощи определения исвойств - векторного умножения:(a  b)  (a  b)  a  a  b  a  a  b  b  b  0  b  a  b  a  0  0 .г) Раскрывая скобки и учитывая свойства векторного произведения,получим:(a  b)  (a  b)  a  a  b  a  a  b  b  b  0  b  a  b  a  0  2b  a .Тогда модуль| (a  b)  (a  b) |  | 2b  a |  2 | b  a |  2 | b |  | a |  sin   2  4  3  sin(2 / 3)  24  3 / 2  12 3 .

■Замечание 8. Формулысокращенногоумноженияизалгебры,например, (a  b)2  a 2  2ab  b2 или a 2  b2  (a  b)(a  b) , установленныедля чисел (скаляров), оказываются верными и для векторов в случае скалярногоумножения (см. подчеркнутые выражения в решении примера 2.5.10б)). Вслучае же векторного умножения ни одна из упомянутых формул не верна (см.решение примера 2.5.10 в),г)).72ПРИМЕР 2.5.11. Какому условию должны удовлетворять векторы р и q,чтобы вектор р + q был: а) перпендикулярен вектору р – q; б) коллинеаренвектору р – q?Решение. а) Векторыпараллелограммапараллелограмма,р+qсложенияипостроенногор–qиестьвычитания(согласновекторов)правилудиагоналинавекторах р и q с указанными на рис.

3390ºqр+qнаправлениями.Пустьусловиюp  q  p  q.(19)Тогдапор–q( p  q)  ( p  q)  0 .рРаскрывая скобки в последнем равенствес учетом Замечания 8, получим:Рис. 33.( p  q)  ( p  q)  p2  q 2  | p |2  | q |2  0| p |  | q |.Из элементарной геометрии известно, что параллелограмм, у которого всестороны равны, есть ромб.Верно и обратное утвреждение: если | p |  | q | , то векторы р + q и р – qперпендикулярны. Действительно, при условии | p |  | q | изображенный нарис.33 параллелограмм является ромбом, а в ромбе диагонали взаимноперпендикулярны (теорема элементарной геометрии), следовательно, векторыр + q и р – q перпендикулярны.б) Если векторы р + qир – q коллинеарны, то их векторноепроизведение есть нуль-вектор по свойству  векторного произведения:( p  q)  ( p  q)  0 .Раскрывая скобки в последнем равенстве и используя свойствавекторного произведения, получим:( p  q)  ( p  q)  p  p  p  q  q  p  q  q  2q  p  0 ,откуда следует, что векторы р и q коллинеарны.73Верно и обратное утверждение: если векторы р и q коллинеарны, товекторы р + q ир – q тоже коллинеарны (докажите самостоятельно!).