lektsia_11_variant_dlya_studenta_ON_PDF (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Лекция 11Линейные пространства. Базис в линейном пространстве.Размерность линейного пространства1. Определение линейного пространства. ПримерыОпределение. Непустое множество L элементов любой природыназывается вещественным пространством, если на нем заданы операциисложения элементов и умножения элемента на вещественное число( обозначаемые x  y и  x,x  L,  R) , не выводящие за пределы данногомножества:1) x  L, y  Lx  yL,2) x  L,   R x  L,и подчинѐнные восьми аксиомам линейного пространства:1) x  y  y  xx, y  L ( аксиома коммутативности ),2) x  ( y  z)  ( x  y)  zx, y, z  L ( аксиома ассоциативности ),3) (   ) x   x   xx  L,  ,   R ( аксиома дистрибутивностиотносительно сложения чисел),4)  ( x  y)   x   yдистрибутивностиx, y  L,   R (аксиомаотносительно сложения элементов),5)  (  x)  (  p) xx  L,  ,   R ,6) 0  L : x  0  xx  L(0 называется нулевым элементом),7) x  Lx '  L :x  x '  0 ( x ' называется элементом, противоположным к х),8) 1  x  xx  LЗамечания1.Дано определение линейного пространства над полем вещественных чисел.Аналогично можно ввести понятие линейного пространства над полемкомплексных чисел.2.

Линейное пространство называют векторным пространством, а его элементыназывают векторами.Определение. Разностью элементов x и y ( х, y  L) называется элементz  L (обозначается z  x  y ) : x  z  y .Утверждение 1.Нулевой элемент единственен.Доказательство. Пусть существуют два нулевых элемента 0102 ,следовательно, x  L выполнены равенства x  01  x , x  02  x . Отсюдаполучаем: 01  01  02  02 .Утверждение 2. Противоположный элемент единственен.-2-Доказательство. Пусть существуют два элемента, противоположных кэлементу x: x1 ' , x2 ' : x  x1 '  0 ,x  x2 '  0 .Имеем: x1 '  x1 ' 0  x1 ' ( x  x2 ')  ( x1 ' x)  x2 '  x2 ' .Утверждение 3.

0  x  0x  L .Доказательство. x  0 x  (1  0) x  1 x  x .Приведем примеры линейных пространств.1.Геометрические пространства направленных отрезков на прямой, наплоскости, в пространстве , операции сложения векторов и умножения начисло были определены ранее. Нулевым элементом является нулевой вектор.2.Пространство вещественных матриц порядка m  n, операции сложенияи умножения на число вводятся обычным образом. Аксиомы линейногопространства выполнены.

Нулевым элементом является нулевая матрицапорядка m  n.3.Пространство многочленов степени не выше n с вещественнымикоэффициентами, операции сложения многочленов и умножения навещественное число определены обычным образом. Нулевым элементомявляется многочлен , все коэффициенты которого равны 0.4.Множество функций, непрерывных на отрезке [a,b]: С[a,b]. Операциисложения элементов и умножения на вещественное число вводятся обычнымобразом, нулевым элементом является функция, тождественно равная 0 наотрезке [a,b].Замечание.В дальнейшем для упрощения записей будем использовать символы «+,  »вместо символов « , » , если использование символов « , » не являетсяпринципиально необходимым.2.Линейно зависимые и независимые системы векторов.Базис.

Координаты вектораОпределение 1. Выражение вида 1a1  ...  nan называется линейнойкомбинацией векторов a1,..., an . Вещественные числа 1,..., n называютсякоэффициентами линейной комбинации.Определение 2. Система a1,..., an называется линейно зависимой системой(ЛЗС), если существуют вещественные числа 1,..., n(12  ...  n 2  0) :1a1  ...  n an  0 .Если же 1a1  ...  nan  0 только при 1  ...

 n  0 , то система a1,..., an называетсялинейно независимой системой (ЛНС).Утверждение 1.(Доказать самостоятельно)Система векторов a1,..., an является линейно зависимой системой тогда и толькотогда, когда хотя бы один из векторов a1,..., an можно записать в виде линейнойкомбинации других векторов.Утверждение 2. (Доказать самостоятельно)Если система векторов a1,..., an содержит нулевой элемент 0 , то эта системаявляется ЛЗС.Утверждение 3. (Доказать самостоятельно)Если система векторов a1,..., an содержит линейно зависимую подсистему, то и всясистема a1,..., an является ЛЗС.Замечание. При доказательстве утверждений 1-3 можно использоватьдоказательство аналогичных утверждений, сформулированных для системстолбцов (строк).Определение 3.Система векторов e1 ,..., en называется базисом в линейномпространстве L, если1.Система векторов e1 ,..., en является ЛНС;1 ,..., n  R :2.

x  Lx  1e1  ...  nen()Правая часть равенства () называется разложением вектора x по базису e1 ,..., en ;числа 1,..., n называются координатами вектора x в базисе e1 ,..., en .Утверждение 4.Разложение по базису единственно.Доказательство. Пусть существуют два разложения вектора x по базисуe1 ,..., en :x  1e1  ...   n enx  1e1  ...   n en .Вычтем второе равенство из первого, получим-4-0  (1  1 )e1  ...  (n  n )en .Но система e1 ,..., en является базисом, следовательно, она является ЛНС.Следовательно, последнее равенство возможно лишь при 1  1,..., n  n .Утверждение 5. (Доказать самостоятельно)При сложении векторов их координаты складываются. При умножении векторана число все его координаты умножаются на это число.Замечание.

Доказать последнее утверждение можно аналогично тому, какэто было сделано для доказательства такого же утверждении относительнопространства векторов (направленных отрезков).3.Размерность линейного пространстваТеорема 1.Пусть в линейном пространстве L существует базис e1,..., en .

Тогда любаясистема из m векторов (m>n) является линейно зависимой системой.Доказательство. Пусть f1,..., f m - некоторая система из m векторов (m>n).Надо доказать, что k1,..., km (k12  ...  km2  0) :k1 f1  ...  km f m  0 .Запишем разложения векторов f1,..., f m по базису e1,..., en :f1  a11e1  ...  a1n enf m  am1e1  ...

 amnen .Рассмотрим линейную комбинацию векторов f1,..., f m и выясним, можно ли такподобрать коэффициенты линейной комбинации, чтобы она стала равнойнулевому вектору:k1 f1  ...  km f m  k1 (a11e1  ...  a1n en )  ...  km (am1e1  ...  amn en )  e1 (k1a11  ...  kmam1 )  ...

 en (k1a1n  ...  kmamn )  0-5-Но система e1 ,..., en является базисом, следовательно, является линейнонезависимой системой. Следовательно, линейная комбинация векторов f1,..., f mравна нулевому вектору 0 тогда и только тогда, когдаa11k1  ...  am1km  0.a k  ...

 a k  0mn m 1n 1Выписана система из n линейных однородных уравнений относительно mнеизвестных k1,..., km (m  n) . Однородная система, в которой число уравненийменьше числа неизвестных, всегда имеет нетривиальное решение.Следовательно, существуют вещественные числа k1, , km (k12   km2  0) :k1 f1  ...  km f m  0.Отсюда следует, что система векторов f1,..., f m является ЛЗС.Следствие.Пусть e1 ,..., en - базис в линейном пространстве L. Тогда любой базис в Lсостоит из n векторов.Доказательство. Пусть f1,..., f m - некоторый другой базис в L.

Надодоказать, что m=n. Предположим, что m<n. В силу теоремы система f1,..., f mдолжна быть ЛЗС, но это противоречит тому, что f1,..., f m - базис.Следовательно, неравенство m<n не может быть верным.Аналогично доказывается, что не может быть выполнено m>n.Получаем, что единственно возможен случай m=n.Определение 1. Размерностью линейного пространства называется числовекторов в базисе.

Обозначение: dim L.Определение 2. Линейное пространство называется бесконечномерным,если n  N существует линейно независимая система из n векторов.Утверждение 1.В n-мерном пространстве любая система из m векторов, m>n, является ЛЗС.Утверждение 2.В n-мерном пространстве любая линейно независимая система из n векторовявляется базисом.Справедливость утверждений 1 и 2 следует из теоремы 1.Примеры.1. Пространство направленных отрезков на прямой является одномерным,на плоскости - двумерным, в общем случае - трехмерным. Базисамиявляются соответственно1)любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой;2) любая пара неколлинеарных векторов, параллельных даннойплоскости;3)любая тройка некомпланарных векторов.-6-2. Пространство строк длины n является n-мерным; базисом являетсясистема e1  (1,0,...,0),...,en  (0,...,0,1).3. Пространство матриц порядка m  n является mn-мерным.

Базис:1 00 0E1  0 0000 10 00 000 00,E2  ,...,Emn  000 00 0Система E1,..., Emn образует базис, так как0011)является ЛНС,2)любая матрица A || aij || порядка m  n может быть записана в виде линейнойкомбинации матриц E1,..., Emn :A  a11E 1 ...  amn Emn .4. Пространство многочленов степени не выше n является (n+1)-мерным; вкачестве базиса можно взять систему многочленов e1  1,e2  t,..., en1  t n .Докажем, что система e1,..., en1 образует базис. Очевидно, что любой многочленстепени не выше n может быть записан в виде линейной комбинации векторовe1 ,..., en1.

Более того, система e1 ,..., en1 является ЛНС. Действительно,рассмотрим произвольную линейную комбинацию векторов e1,..., en1 ипопытаемся еѐ сделать равной нулевому элементу (т.е. многочлену, всекоэффициенты которого равны 0):1e1  ...   n 1en 1  0.1  1  ...   n 1  t  0nНо многочлен степени n имеет не более n корней, следовательно, последнееравенство возможно лишь при 1  ...  n1  0.5.Рассмотрим пространство функций, непрерывных на отрезке [a, b] : С [a, b] .Фиксируем произвольное n  N .

Система e1  1,..., en  t n1 является ЛНС подоказанному выше. Отсюда делаем вывод, что пространство С [a, b] являетсябесконечномерным..