Lektsia_16_dlya_studentov_ON (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Лекция 16Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.Приведение квадратичной формы к каноническому виду.Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра1. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Изменениематрицы квадратичной формы при линейной замене переменныхОпределение 1. Квадратичной формой от n переменных) видафункция (() ∑ ∑,где- вещественные коэффициенты квадратичной формы.Считаем, что в записи квадратичной формы(так какПример 1.переменных.(()Пример 2.Выпишем матрицу квадратичной формы()[‖‖:].Обращаем внимание, что ,например, слагаемое ,Отсюда[).– квадратичная форма трехОпределение 2.

Квадратная симметрическая матрица) называется матрицей квадратичной формы.Запишемназываетсямы записали в виде] -столбец переменных.Тогда справедлива формула().Запись в правой части (*) называется общим видом квадратичной формы.(*)-2Утверждение. При линейной невырожденной замене переменных X=CY) меняется по закону(det C≠0) матрица квадратичной формы (̃,где ̃ - матрица квадратичной формы в переменных.Доказательство. Пусть произведена линейная невырожденная заменапеременныхX=CY,.Отсюда()()(()̃ ,)где ̃Пример 3. Выпишем матрицу квадратичной формыновых переменных, если{Имеем:*̃для.+*+**+*+*++*то есть в новых переменных квадратичная форма имеет вид+9.Легко проверить, что тот же результат получается, если просто подставить вквадратичную форму вместоивыраженияисоответственно.2.

Канонический вид квадратичной формы.Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью формыЛагранжаПроводя замены переменных, получаем различные виды квадратичной) ∑формы. Если квадратичная форма имеет вид (, то говорят,-3что квадратичная форма приведена к каноническому виду. Матрица квадратичнойформы, приведенной к каноническому виду, имеет диагональный вид:[]Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому видуОпишем метод Лагранжа на конкретном примере.1 случай. Выражение для квадратичной формы содержит хотя бы один)квадрат (например, ) (Имеем:()=((⁄)⁄ )( )(( )){}=()дополняем выражение в скобках до квадрата ==()()-4{}2 случай.

Выражение для исходной квадратичной формы не содержит ни)одного квадрата : F(. Имеем :)F({}Далее действуем так же, как и в первом случае.3. Приведение квадратичной формы к каноническому видус помощью ортогонального преобразованияРассмотрим квадратичную форму от n переменных (матрицей‖ ‖,) сУтверждение.

Для любой квадратичной формы существуетпреобразование переменных, описываемое ортогональной матрицей,приводящее квадратичную форму к каноническому виду.Доказательство. Матрица квадратичной формы симметрическая,следовательно, существует ортогональная матрица , такая, что[]Пусть столбцы- столбцы координат ортонормированногобазиса из собственных векторов: A,. Тогда матрицаимеет вид (см. доказательство соответствующей теоремы о симметрическихматрицах)(*)-5-[]Таким образом, если мы проведем замену переменных[],, где[ ] , то матрица квадратичной формы изменится согласноформуле (*) и примет диагональный вид.

В новых переменных квадратичнаяформа будет иметь канонический вид∑.Пример. Приведем квадратичную форму () к каноническомувиду с помощью ортогонального преобразования переменных:()Решение.[].Найдем характеристические числа матрицысобственные векторы.( )1)Ортогонализуем системуи соответствующие( ).:,где()().⁄⁄ .[Нормируем систему:‖‖√]( )‖‖√()-6(2))‖‖√()- ОНБ из собственных векторов.Составляем матрицу перехода:√√√√√√√√ ][Проведем замену переменных√√√√√√√В переменных:√квадратичная форма имеет канонический вид4. Закон инерции квадратичных форм.Знакоопределенные квадратичные формы.Критерий СильвестраКанонический вид квадратичной формы не определен однозначно.

Пустьквадратичная форма приведена к каноническому виду∑.(*)( ) положительных (отрицательных)Определение 1. Числоквадратов в формуле (*) называется положительным (отрицательным)индексом инерции квадратичной формы.-7Справедлива следующая теорема.Теорема.

(Закон инерции) (без доказательства)Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формыявляются свойствами квадратичной формы, не зависящими от заменыпеременных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.(Пример. Рассмотрим квадратичную формуЕе канонический вид, следовательно,).) называетсяОпределение 2. Квадратичная форма (положительно( отрицательно) определенной, если)1) ()2) (.Пример. Квадратичная форма, является положительноопределенной.Справедлива теорема.Теорема. (без доказательства)) положительно (отрицательно)Квадратичная форма (определена, когда ее положительный (отрицательный) индекс инерциисовпадает с числом переменных n.Пусть‖ ‖ - матрица квадратичной формы.

Определители,расположенные в левом верхнем углу матрицы A||||называются главными минорами матрицы A.Теорема. (Критерий Сильвестра) (без доказательства).) положительно (отрицательно)Квадратичная форма (определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы Aположительны (чередуют знак, причем).Примеры.1. Квадратичная формаопределенной, так какявляется положительно-8-[|];|2.

Квадратичная формазнакоопределенной, так как[|не является|];||||.