Lektsia_14_dlya_studentov_ON (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Лекция 14.Спектральные свойства линейного оператора.Оператор простой структуры. Евклидовы пространства.Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы1. Спектральные свойства линейного оператора.Оператор простой структурыРассмотрим линейноемерное пространство L, в котором определѐнлинейный оператор, переводящий элементы линейного пространства L вэлементы этого же линейного пространства. Пусть– собственные числалинейного оператора , то есть числаявляются вещественными корнямихарактеристического уравнения.Определение 1.

Спектром линейного оператораназывается множествовсех его собственных значений, причѐм каждое собственное значение беретсястолько раз, какова кратность соответствующего корня характеристическогоуравнения.Утверждение 1. Собственные векторыоператора , отвечающиеразличным собственным значениям, образуют линейно независимую систему.Доказательство. Применим метод математической индукции.

Дляутверждение верно, так как собственный вектор оператора не может бытьнулевым по определению.Пусть утверждение верно для системы из собственных векторов.Докажем, что тогда утверждение верно и для системы извекторов. Предположим противное, системаявляется линейнозависимой, то есть существуют числа(:⃗(*)Применим оператор:к обеим частям последнего равенства, учтѐм, что⃗Вычтем из обеих частей последнего равенства равенство (*), умноженное наПолучим:⃗.Мы предположили, что– различные собственные значения, векторыобразуют линейно независимую систему. Но тогда последнее равенствоможет быть верно только в случаеи равенство (*) переходит вравенство⃗⃗ , следовательно,Но.

Отсюда получаем, что равенство (*) можетбыть выполнено только в случае,если. Это и означает, чтосистема векторовявляется линейно независимой.▲-2-Утверждение 2. Пусть– собственные векторы линейного оператора ,отвечающие собственному значению . Тогда векторыи(тожеявляются собственными векторами, отвечающими собственному значению .Доказательство. Имеем:.Тогда:▲{} {⃗ } является линейнымСледствие.

Множествопространством.Определение 2. Линейное пространствоназывается собственнымподпространством оператора , отвечающим собственному значению λ.Определение 3. Оператор, действующий в n-мерном пространстве,обладает простым спектром, если он имеет различных собственных чисел.Следствие утверждения 2. Если операторобладает простым спектром,то в линейном пространстве L существует базис из собственных векторовоператора .Определение 4. Линейный операторназывается оператором простойструктуры, если в пространстве L существует базис из собственных векторовоператора .Следствие утверждения 2. В n-мерном пространстве L линейный оператор, имеющий различных собственных значений, является оператором простойструктуры.

В базисе из собственных векторов матрица оператора простойструктуры является диагональной:[]Замечание. Обратное не верно. Тождественный оператор являетсяоператором простой структуры ( так как все векторы, в том числе и базисные,являются его собственными векторами, отвечающими собственному значениюλ=1). Но спектр тождественного оператора не является простым; он имеет вид.⏟-3-2. Линейные операторы в евклидовых пространствах.Основные определенияРассмотрим E – линейное пространство.Определение 1. Пустьпо некоторому закону ставится всоответствие вещественное число, называемое скалярным произведение векторов(обозначается (), причѐм скалярное произведение удовлетворяетследующим аксиомам:, α R1) (2)3)⃗.4)тогда и только тогда, когдаТогда линейное пространство E называется евклидовым пространством.Пример 1.

Ранее в геометрическом пространстве векторов – направленных̂| | |⃗ |отрезков было введено скалярное произведение ( ⃗(⃗⃗⃗ ⃗ ). Онообладает свойствами 1) – 4).Пример 2. Рассмотрим пространство строк длины . Введѐм скалярное∑произведение(здесь),).] скалярное произведение функцийПример 3. В пространстве [можно ввести так:∫Справедливость аксиом 1) - 4) следует из свойств определѐнного интеграла.Замечания.1) Любое конечномерное линейное пространство можно сделатьевклидовым, если ввести скалярное произведение следующим образом:∑.Здесь(– координаты векторовв некотором базисе.2)(⃗Определение 2.

Длиной векторавеличину | |в евклидовом пространстве E назовѐм| | √.Очевидно, что верно равенство | | | | | |Теорема (неравенство Коши-Буняковского).-4-||| | | |(*)⃗ или⃗ справедливость неравенства (*)Доказательство. Для случая(которое называется неравенством Коши-Буняковского) очевидна.⃗,⃗ . Пусть – произвольное вещественноеБудем считать, чточисло. В силу свойств скалярного произведения:⇕⏟Отсюда дискриминант квадратного трѐхчлена в левой части должен бытьнеотрицателен:⇓||⇓||√√⇓||| | | |▲Замечание. Неравенство Коши-Буняковского обращается в равенство тогдаи только тогда, когдаВ пространстве векторов – направленных отрезковусловие имеет простой геометрический смысл – коллинеарность векторов.⃗ , то⃗ , тоДействительно, если. Если же||| | | |⇓Квадратный трѐхчленимеет дискриминант, равный⇓∃α R:.Следствие неравенства Коши-Буняковского (неравенствотреугольника).|| | | | |Доказательство.|| √| | | |.√ | | | |Определение 3.

Углом между элементамиевклидова пространства Еназовѐм угол φ:| || |.-5-3. Ортонормированные базисы. Их свойстваРассмотрим конечномерное евклидово пространство,Определение 1. Векторыевклидова пространства E, называютсяортогональными, еслиЗамечания.1) Из определения и свойства 4 скалярного произведения следует, чтотолько нулевой вектор ⃗ , и только он ортогонален любому вектору2)пространства.Из определения следует, что⃗⃗*̂Определение 2. Система векторов.⁄называется ортогональной,еслиСистемагдепри.()называется ортонормированной, если,()– символ Кронекера:{.Утверждение 1.

Пусть– ортогональная система, не содержащаянулевого элемента. Тогда системаявляется линейно независимойсистемой.Доказательство. Пусть– ортогональная система. Рассмотримлинейную комбинацию этих векторов и выясним, можно ли так подобратькоэффициенты линейной комбинации, чтобы она стала равна нулевому вектору:⃗.-6-, учтѐм, что (Умножим скалярно обе части последнего равенства наприПолучим:)⃗ , отсюда получаемНо по предположению.Следовательно, линейная комбинация векторовможет быть равнойнулевому вектору только приЭто и означает, что системаявляется ЛНС.▲Определение 3.

Базисназывается ортонормированным, еслисистемаявляется ортонормированной.Обозначать ортонормированные базисы будем ОНБ.Утверждение 2. Базисв евклидовом пространстве E является ОНБтогда и только тогда, когдакоординаты вектора в базисе вычисляютсяпо формулам:.Доказательство.1) Пусть– ОНБ. Рассмотримразложим по базису :. Умножим скалярно обе части последнего равенствана , учтѐм, что (:.2) Пустьвыполнено. Тогда и для базисных векторов верноаналогичное равенство.Но,то есть все координаты вектора , кроме i-той, которая равна 1, равны 0.Это и означает, что (, то естьявляется ОНБ.▲Утверждение 3.

Система векторовявляется ОНБ тогда и толькотогда, когдаверно равенство∑(здесьиДоказательство.1) Необходимость. Пустьследовательно,∑∑– координаты векторов∑- ОНБ. Пусть∑ ∑().)∑ ∑∑,∑-7-2) Достаточность. Пусть, но тогда (выполнено)[∑. Возьмѐм. Следовательно,является ОНБ.▲Следствие. Пусть– координаты векторав ОНБ.Тогда| |√√∑4. Ортогональные матрицыОпределение. Матрица ℂягℂℂ .Зя.1) Условие ортогональности матрицы можно записать как ℂ ℂℂ ℂ.2) Только квадратная матрица может быть ортогональной.3) Если ℂ-ортогональная матрица, то матрица ℂℂ тоже являетсяортогональной.Свойство 1. Определитель ортогональной матрицы равен +1 или -1.Доказательство. Пусть ℂ-ортогональная матрица.

Тогда ℂ ℂ.Возьмѐм определитель от левой и правой частей последнего равенства:ℂ ℂ⇕ℂℂ⇕ℂℂ.▲Свойство 2. Произведение ортогональных матриц является тожеортогональной матрицей.Доказательство. Пусть ℂ, D – ортогональные матрицы, т.е.ℂ ℂℂ ℂ,.Тогда(ℂℂℂℂℂ ℂ.-8-▲Свойство 3. Матрица ℂявляется ортогональной тогда и толькотогда, когда еѐ строки составляют ОНБ в евклидовом пространстве строк длины(или когда еѐ столбцы составляют ОНБ в евклидовом пространстве столбцоввысоты ).Доказательство. Пусть ℂ - ортогональная матрица. Следовательно,ℂ ℂ, отсюда() ()()⇕∑⇕()⇕строки матрицы ℂ составляют ОНБ в пространстве строк длины .▲Пример.

Матрица оператора поворота на плоскости являетсяортогональной:[].Еѐ ортогональность можно проверить, используя свойство 3.Теорема. Пустьи– базисы в евклидовом пространстве E,ℂ - матрица перехода от базиса к базису .Пусть базисявляется ОНБ. Тогда базисявляется ОНБтогда и только тогда, когда матрица ℂ является ортогональной.Доказательство.Пусть– ОНБ. Докажем, что матрица перехода является ортогональной.Заметим, что j-й столбец матрицы ℂ состоит из координат вектора в базисе :∑Имеем по условию, отсюда()(∑∑∑∑)∑∑∑В силу свойства 3 матрица ℂ является ортогональной.-9-Докажем обратное утверждение.

Пусть матрица перехода ℂ являетсяортогональной. Докажем, что тогда базисявляется ОНБ. Имеем, с учѐтомтого, что– ОНБ:()(∑∑)∑∑∑Но матрица ℂ является ортогональной, следовательно, она обладает свойством 3:.()Следовательно, базисявляется ОНБ.▲.