Модулированные колебания, спектральный анализ, линейная фильтрация, страница 6

3236(ïî îïðåäåëåíèþ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè), òî îêîí÷àòåëüíîZ1H(ω)eiωt dω,h(t) =2πτ(44)çàíà ñ åãî èíåðöèîííîñòüþ τ ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåë¼ííîñòåé: ∆ω · τ ≈ 2π .Ïðèìåðû : 1) êîëåáàòåëüíûé êîíòóð∆ω ≃ δ,(43)h(t) = L[δ(t)].δ(t)(çäåñü èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè) è äàëåå, ò. ê.L eiωt = H(ω)eiωtò. å. ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå èìïóëüñíîãî îòêëèêà: h(t) ↔ H(ω).

Ñëåäîâàòåëüíî, øèðèíà ïîëîñû èëüòðà ∆ω ñâÿ8.2. Èìïóëüñíûé îòêëèê ëèíåéíîãî èëüòðà. Ñâÿçü ìåæäóh(t)τÂàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé èìïóëüñíîé ðåàêöèè ÿâëÿåòñÿ å¼ äëèòåëüíîñòü,êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè èëüòðà. Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè õàðàêòåðèçóåò èíåðöèîííîñòü èëüòðà, åãî ñïîñîáíîñòü ðåàãèðîâàòü íà áûñòðûå èçìåíåíèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà.

Ïðèìåðû èìïóëüñíûé îòêëèê êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà è RC -èëüòðà ïîêàçàíû íà ðèñ. 32.Ïðåäñòàâëÿÿ δ -èìïóëüñ ñ ïîìîùüþ îðìóëû (41), èìååìZZ11h(t) = Leiωt dω =L eiωt dω2π2πτ=1;δ∆ωτ ≃ 1;2) RC -èëüòð (ñì. çàäà÷ó 1)1|H(ω)| = p.1 + (ωRC)2√1Ïîëîñà ïðîïóñêàíèÿ (íà óðîâíå 1/ 2) ðàâíà ∆ω = RC. Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíèτ = RC . Âíîâü ïîëó÷àåì ∆ωτ ≃ 1.Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé âèäà∆ωτ ≃ 2π ñïðàâåäëèâî òîëüêî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû.8.3. Ê âûâîäó îðìóëû ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ÔóðüåtÄîìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (24) íà e−iω t è ïðîèíòåãðèðóåì ïî t âïðåäåëàõ îò −∞ äî +∞:′+∞Z−∞f (t)e−iω ′ t1dt =2π+∞Z +∞Z−∞ −∞37C(ω)ei(ω−ω′)tdωdt.Ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì +∞+∞+∞ZZZ′′1C(ω) f (t)e−iω t dt =ei(ω−ω )t dt dω.2π−∞−∞−∞Èñïîëüçóÿ (41), íàõîäèì +∞+∞+∞ZZZ′1i(ω−ω )tC(ω)edt dω =C(ω)δ(ω − ω ′ ) dω = C(ω ′ ).2π−∞−∞−∞Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ δ -óíêöèè (42).

Ìåíÿÿ äàëååîáîçíà÷åíèå ω ′ → ω , ïîëó÷àåì (25):C(ω) =+∞Zf (t)e−iωtdt.−∞Ôîðìóëà äà¼ò ïðàâèëî äëÿ íàõîæäåíèÿ ñïåêòðà çàäàííîãî ñèãíàëà f (t) (ìûïîëüçîâàëèñü åþ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ 611).8.4. Ëèíåéíàÿ èëüòðàöèÿ. Âðåìåííîé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷èëèíåéíîé èëüòðàöèèÏðåäñòàâèì ñèãíàë f (t), ïîñòóïàþùèé íà âõîä ëèíåéíîãî ñòàöèîíàðíîãîèëüòðà, ñ ïîìîùüþ (42):f (t) =+∞Zðåàêöèþ L[δ(t − t′ )] = h(t − t′ ) (â ñèëó ñòàöèîíàðíîñòè èëüòðà ñìåùåíèå ìîìåíòà âîçíèêíîâåíèÿ δ -èìïóëüñà ïðèâîäèò ê òàêîìó æå ñìåùåíèþ âî âðåìåíè èìïóëüñíîé ðåàêöèè áåç èçìåíåíèÿ å¼ óíêöèîíàëüíîãî âèäà). Èñïîëüçóÿïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå, íàõîäèìf (t′ )δ(t − t′ ) dt′ .−∞Íàéä¼ì îòêëèê èëüòðà g(t) = L[f (t)]: +∞Zf (t′ )δ(t − t′ ) dt′  .g(t) = L[f (t)] = L g(t) =g(t) =+∞Zf (t′ )L [δ(t − t′ )] dt′ .−∞f (t′ )h(t − t′ ) dt′ .(45)−∞Èíòåãðàëüíàÿ îïåðàöèÿ (45) íàçûâàåòñÿ ñâ¼ðòêîé óíêöèé f (t) è h(t).

Ñèìâîëè÷åñêè îðìóëà (45) çàïèñûâàåòñÿ â âèäåg(t) = f (t) ⊗ h(t).(46)Èòàê, âûõîäíîé ñèãíàë ëèíåéíîãî ñòàöèîíàðíîãî èëüòðà ÿâëÿåòñÿ ñâ¼ðòêîéâõîäíîãî ñèãíàëà ñ èìïóëüñíûì îòêëèêîì.Âàæíîå (è î÷åâèäíîå) ñâîéñòâî èìïóëüñíîé ðåàêöèè: óíêöèÿ h(t − t′ )ðàâíà òîæäåñòâåííî íóëþ ïðè t < t′ èìïóëüñíàÿ ðåàêöèÿ íå ìîæåò âîçíèêíóòü ïðåæäå, ÷åì ïîäåéñòâîâàë (â ìîìåíò t′ ) âõîäíîé δ -èìïóëüñ.ßñíî èç (45), ÷òî âûõîäíîé ñèãíàë â ìîìåíò âðåìåíè t çàâèñèò ëèøü îòçíà÷åíèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà â ìîìåíòû âðåìåíè t′ , ïðåäøåñòâóþùèå t, âûõîäíîé ñèãíàë íå ìîæåò âîçíèêíóòü ðàíüøå, ÷åì ïîÿâèëñÿ íà âõîäå èëüòðàâõîäíîé ñèãíàë (ïîäûíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿ â (45) òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ ïðè t < t′ ).

Ýòî ñâîéñòâî âðåìåííûõ èëüòðîâ íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîìïðè÷èííîñòè.Ôîðìà ñèãíàëà íà âûõîäå èëüòðà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿìåæäó ïîñòîÿííîé âðåìåíè èëüòðà τ è õàðàêòåðíûì âðåìåíåì τs , â òå÷åíèåêîòîðîãî âõîäíîé ñèãíàë ïðåòåðïåâàåò çàìåòíûå èçìåíåíèÿ. Åñëè çà èíòåðâàë âðåìåíè τ , ãäå èìïóëüñíûé îòêëèê çàìåòíî îòëè÷åí îò íóëÿ, âõîäíîéñèãíàë íå óñïåâàåò èçìåíèòüñÿ: f (t′ ) ≃ const ïðè |(t − t′ )| < τ (ò. å. ïðèτs ≫ τ ), òî ñîãëàñíî (45)g(t) ≃ f (t)−∞Äàëåå, ìåíÿÿ ïîðÿäîê ëèíåéíûõ îïåðàöèé, ïîëó÷àåì+∞Z+∞Zh(t − t′ ) dt′ = K · f (t),−∞ãäåK=+∞Zh(t − t′ ) dt′ = const.−∞åçóëüòàò âîçäåéñòâèÿ δ -èìïóëüñà δ(t − t′ ), âîçíèêàþùåãî íà âõîäå ëèíåéíîé ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè t = t′ , ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èìïóëüñíóþ ýòîì ñëó÷àå ñèãíàë íà âûõîäå èëüòðà ïîâòîðÿåò îðìó âõîäíîãî ñèãíàëà.

 ïðîòèâíîì ñëó÷àå èëüòð óñðåäíÿåò è ñãëàæèâàåò áûñòðûå èçìåíåíèÿâõîäíîãî ñèãíàëà, ïðîèñõîäÿùèå çà âðåìÿ τs < τ .3839Ñóùåñòâóþò, òàêèì îáðàçîì, äâà ïîäõîäà ê ðåøåíèþ çàäà÷è ëèíåéíîéèëüòðàöèè. Îäèí ïîäõîä íàçûâàþò âðåìåííûì: ñîîòíîøåíèå (45) ñâÿçûâàåòìåæäó ñîáîé óíêöèè âðåìåíè âõîäíîé è âûõîäíîé ñèãíàëû f (t) è g(t),ïðè ýòîì ñâîéñòâà èëüòðà ïîëíîñòüþ îïèñûâàþòñÿ èìïóëüñíûì îòêëèêîìh(t).Äðóãîé ïîäõîä (ñïåêòðàëüíûé) ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþÎáðàçóåì âñïîìîãàòåëüíûé ñèãíàë f˜(t), ñïåêòð êîòîðîãî C̃(ω) ÿâëÿåòñÿïåðèîäè÷åñêèì ïîâòîðåíèåì C(ω) (ðèñ. 33) ñ ïåðèîäîì ω0 :B(ω) = C(ω) · H(ω),ïðè÷¼ì ω0 > 2Ω, ò.

å. îòäåëüíûå ñëàãàåìûå â ñóììå (47) íå ïåðåêðûâàþòñÿ(ðèñ. 33).Î÷åâèäíî, ÷òî ñïåêòð C(ω) ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç C̃(ω) óìíîæåíèåìïîñëåäíåãî íà åäèíè÷íî-íóëåâóþ óíêöèþ:1 ïðè |ω| 6 ω0 /2,P (ω) =0 ïðè |ω| > ω0 /2ò. å. äà¼ò ñâÿçü ìåæäó ñïåêòðàìè (ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ôóðüå) âõîäíîãî C(ω)è âûõîäíîãî B(ω) ñèãíàëîâ.

Ïðè òàêîì ïîäõîäå ñâîéñòâà ëèíåéíîãî èëüòðàîïèñûâàþòñÿ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé H(ω), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ óðüå-ïðåîáðàçîâàíèåì èìïóëüñíîãî îòêëèêà.Ìû äîêàçàëè ïîïóòíî âàæíóþ òåîðåìó óðüå-àíàëèçà: óðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ñâ¼ðòêè äâóõ óíêöèé f1 (t) è f2 (t) ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ óðüå-îáðàçîâC1 (ω) è C2 (ω) ñâîðà÷èâàåìûõ óíêöèé:f1 (t) ⊗ f2 (t) ↔ C1 (ω) · C2 (ω).( íàøåì ñëó÷àå f1 (t) = f (t) âõîäíîé ñèãíàë èëüòðà f2 (t) = h(t) åãî èìïóëüñíûé îòêëèê, C1 (ω) è C2 (ω) = H(ω) ñîîòâåòñòâåííî èõ ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå.)8.5. Òåîðåìà ÊîòåëüíèêîâàÄëÿ öåëåé îáðàáîòêè èíîðìàöèè ÷àñòî íåîáõîäèìî çàäàâàòü ñèãíàë f (t)íàáîðîì âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé f (tn ), âçÿòûõ â äèñêðåòíîé ñîâîêóïíîñòè ìîìåíòîâ âðåìåíè tn .

ßñíî, ÷òî åñëè âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ âçÿòû äîñòàòî÷íîáëèçêî äðóã ê äðóãó, òî ñèãíàë äîñòàòî÷íî òî÷íî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïóò¼ì èíòåðïîëèðîâàíèÿ ïî ýòèì çíà÷åíèÿì. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ îïðåäåë¼ííîãîêëàññà ñèãíàëîâ âîçìîæíî òî÷íîå âîññòàíîâëåíèå ñèãíàëà ïî åãî âûáîðî÷íûì çíà÷åíèÿì (ò. å.

íàáîð âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé â äèñêðåòíûå ìîìåíòûâðåìåíè tn îïðåäåëÿåò àáñîëþòíî òî÷íî çíà÷åíèÿ ñèãíàëà â ëþáîé ïðîìåg replaementsæóòî÷íûé ìîìåíò âðåìåíè). Ýòî êëàññ ñèãíàëîâ ñ èíèòíûì ñïåêòðîì.Èòàê, ïóñòü èìååòñÿ ñèãíàë f (t), ñïåêòð êîòîðîãî C(ω) îòëè÷åí îò íóëÿ ëèøü â èíòåðâàëå ÷àñòîò |ω| 6 Ω (ñèãíàë ñ èíèòíûì ñïåêòðîì), ò. å.C(ω) ≡ 0 ïðè |ω| > Ω (Ω = ωmax ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòîòà â ñïåêòðå C(ω)).P (ω)ω0C(ω)02Ωω0èñ. 3340∞Xn=−∞(47)C(ω − nω0 ),(óíêöèÿ P (ω) ïðÿìîóãîëüíèê øèðèíû ω0 , ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå ïóíêòèðîì):C(ω) = P (ω) · C̃(ω).(48)Ïóñòü íà âõîä ëèíåéíîãî èëüòðà ñ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé H(ω) = P (ω)ïîñòóïàåò ñèãíàë f˜(t), ñïåêòð êîòîðîãî C̃(ω). Ôèëüòð ñ òàêîé õàðàêòåðèñòèêîé ïðîïóñêàåò áåç èñêàæåíèÿ ãàðìîíèêè ñ ÷àñòîòàìè |ω| 6 ω0 /2 è îáðåçàåòâñå ãàðìîíèêè âõîäíîãî ñèãíàëà ïðè |ω| > ω0 /2.

Íà âûõîäå èëüòðà ìû ïîëó÷àåì ñîãëàñíî (48) ñèãíàë f (t) ñî ñïåêòðîì C(ω).Ôóíêöèþ C̃(ω), êàê è ëþáóþ ïåðèîäè÷åñêóþ óíêöèþ (å¼ ïåðèîä ðàâåíω0 ), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà Ôóðüå (21):∞XC̃(ω) =2πcn ein ω0 ω ,(49)n=−∞ãäå êîýèöèåíòû cn íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ (22):ω021cn =ω0Zω− 20C̃(ω)e2πω−in ω01dω =ω0ZΩ2πC(ω)e−in ω0 ω dω(50)−ΩC̃(ω)ω−ω0C̃(ω) =ω02ω0(íà èíòåðâàëå [− ω20 , ω20 ] óíêöèÿ C̃(ω) îòëè÷íà îò íóëÿ ëèøü ïðè |ω| < Ωè ñîâïàäàåò íà ýòîì èíòåðâàëå ñ C(ω)).

Ñðàâíèâàÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ñîðìóëîé (24), äàþùåé ðàçëîæåíèå óíêöèè f (t) â èíòåãðàë Ôóðüå, ïîëó÷àåì2π2πcn =f nω0ω041è, ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ cn â (49), èìååì∞2π2π2π Xf n· ein ω0 ω ,C̃(ω) =ω0 n=−∞ω0f (t)(51)ò. å. êîýèöèåíòû ðÿäà Ôóðüå (49) îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè óíêöèè f (t)â îòñ÷¼òíûõ òî÷êàõ tn = 2πω0 n. Èñïîëüçóÿ îðìóëó (51) äëÿ C̃(ω), íàõîäèì èç(48):∞X2π2πin 2π ωC(ω) =(52)e ω0 .P (ω) ·f nω0ω0n=−∞Íàéäåííîå âûðàæåíèå äëÿ ñïåêòðà C(ω) èñïîëüçóåì äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííî ñèãíàëà f (t) (îðìóëà (24)):#Z"∞X2π2π2π1in ωωe 0 e−iωt dω,P (ω)f nf (t) =2πω0ω0n=−∞èëèf (t) =Z∞2π1 X2πf nP (ω)ein ω0 ω e−iωt dω.ω0 n=−∞ω0Èíòåãðàë â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå∞Z−∞ω02P (ω)e2π−iω(t−n ω0)Zdω =−e2π−iω(t−n ω)ω020dω = 2sin ω20 (t − n 2πω0 )t − n 2πω0(ñì.

çàäà÷ó 6 íà ñ. 19).Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì îðìóëó, âûðàæàþùóþ ñîäåðæàíèå òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà:∞ω2πX2π sin 20 (t − n ω0 )f (t) =f n(53).ω02πω02 (t − n ω0 )n=−∞PSfrag replaementst0tmèñ. 34íàçûâàþòñÿ óíêöèÿìè îòñ÷¼òîâ. Îíè îáëàäàþò çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì: âìîìåíò âðåìåíè tm = m ω2π0 â ñóììå (53) îêàçûâàåòñÿ îòëè÷íûì îò íóëÿ òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå ñ n = m, ò. å. ¾âêëþ÷àåòñÿ¿ îäíà èç óíêöèé îòñ÷¼òîâ,âñå ïðî÷èå ñëàãàåìûå (ñ n 6= m) îáðàùàþòñÿ â ýòîò ìîìåíò â íóëü. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè t = tm = m ω2π0 óíêöèÿ αm (t) = 1, ïðè ýòîì âñå αn (tm ) = 0 ïðèn 6= m.