Модулированные колебания, спектральный анализ, линейная фильтрация

Ìîñêîâñêèé èçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò(ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)ÌÎÄÓËÈÎÂÀÍÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß,ÑÏÅÊÒÀËÜÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ,ËÈÍÅÉÍÀß ÔÈËÜÒÀÖÈßÓ÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèåÏðåäèñëîâèåÌîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ, ýëåìåíòû ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà, ëèíåéíàÿèëüòðàöèÿ âîïðîñû, êîòîðûå âõîäÿò â íàñòîÿùåå âðåìÿ â ïðîãðàììó îáùåãî êóðñà èçèêè è ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ðàçäåëà ¾Ýëåêòðè÷åñòâîè ìàãíåòèçì¿. Ïîñîáèå îïðåäåëÿåò êðóã èäåé, íà êîòîðûõ ñëåäóåò ñîñðåäîòî÷èòü âíèìàíèå ïðè èçó÷åíèè ýòèõ òåì íà ñåìèíàðàõ, îáðàùàÿ âíèìàíèå íåòîëüêî íà îðìàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå âûêëàäêè, íî è (â áîëüøåé ñòåïåíè)íà èçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.Ìîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ : çäåñü ïîëåçíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà ñîîòíîøåíèå âðåìåííûõ ìàñøòàáîâ: õàðàêòåðíûå âðåìåíà ìîäóëÿöèè è ïåðèîäíåñóùåãî êîëåáàíèÿ, à òàêæå íà âåêòîðíîå èçîáðàæåíèå êîëåáàíèé, ìîäóëèðîâàííûõ ïî àìïëèòóäå èëè (è) ïî àçå.Ïðè èçó÷åíèè ñïåêòðîâ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòüíà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ ñâÿçü ìåæäó øèðèíîé ñïåêòðà è äëèòåëüíîñòüþñèãíàëà ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé, à òàêæå îáðàòèòü âíèìàíèå íàâàæíîå ðàçëè÷èå ñïåêòðîâ ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ è îäèíî÷íûõ èìïóëüñîâ.Íà ïðîñòûõ ïðèìåðàõ ïîëåçíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, êàê èçìåíÿåòñÿ ñïåêòðñèãíàëà ïðè åãî ñìåùåíèè âî âðåìåíè ëèáî ïðè óìíîæåíèè íà íåñóùåå êîëåáàíèå.Íàêîíåö, íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü îñîáóþ ðîëü ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèéïî îòíîøåíèþ ê ëèíåéíûì ñòàöèîíàðíûì èëüòðàì, íà êîòîðûõ îñíîâàíñïåêòðàëüíûé àíàëèç ëèíåéíûõ ñèñòåì. ïîñîáèè ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå çàäà÷è, âêëþ÷¼ííûå â çàäàíèå, à òàêæå äîïîëíèòåëüíûå çàäà÷è.

Ïîñëåäíèé ðàçäåë ïîñîáèÿ (Äîïîëíåíèå) âûõîäèò çà ðàìêè îáÿçàòåëüíûõ òðåáîâàíèé è ïðåäíàçíà÷åí â áîëüøåéñòåïåíè äëÿ ïðåïîäàâàòåëåé, îäíàêî ìîæåò áûòü ïîëåçíûì è äëÿ ëþáîçíàòåëüíûõ ñòóäåíòîâ.Àâòîðû ïðèçíàòåëüíû ïðåïîäàâàòåëÿì êàåäðû îáùåé èçèêè ÌÔÒÈÄ.À. Àëåêñàíäðîâó, Â.Å. Áåëîíó÷êèíó, Í.Ñ. Áåðþë¼âîé, Â.Â. Ëîáà÷¼âó çàïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ, ñäåëàííûå èìè ïðè ÷òåíèè ðóêîïèñè, è ïîääåðæêó âðàáîòå.ÌÎÑÊÂÀÌÔÒÈ20093g replaements1.

Ëèíåéíûå èëüòðû. àðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêàÂî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ðåàëüíûå ýëåêòðè÷åñêèå ñèñòåìû (íàïðèìåð, ïîêàçàííûå íà ðèñ. 1) âåäóò ñåáÿ êàê ëèíåéíûå èëüòðû.f (t)RCCg(t) f (t) Rà)á)g(t)f (t)RCLg(t) f (t)â)RLg(t)ã)èñ. 1Íàïîìíèì, èëüòð íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè èìååò ìåñòî ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè: îòêëèê èëüòðà íà ñóììó âíåøíèõ âîçäåéñòâèé ðàâåí ñóììåîòêëèêîâ íà êàæäîå âîçäåéñòâèå.Íàïðèìåð, çàêîí Êèðõãîà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà (ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèé íà âñåõ ó÷àñòêàõ çàìêíóòîãî êîíòóðà ðàâíàñóììå ÝÄÑ, ðèñ.

1â) èìååò âèäLq̈ + q̇R +q= f (t),Cãäå q(t) çàðÿä êîíäåíñàòîðà, f (t) âíåøíÿÿ ÝÄÑ, âîçáóæäàþùàÿ êîëåáàíèÿ â êîíòóðå. Äëÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà (íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå g(t) == q/C ) ïîëó÷àåì óðàâíåíèåg̈ + 2δ ġ + ω02 g = ω02 f (t),ãäå δ = R/2L, ω02 = 1/LC .Ïóñòü g1 (t) âûõîäíîé ñèãíàë êîíòóðà ïðè âõîäíîì ñèãíàëå (âíåøíåéÝÄÑ) f1 (t), òîãäàg̈1 + 2δ ġ1 + ω02 g1 = ω02 f1 (t).Ïðè âíåøíåé ÝÄÑ f2 (t) âûõîäíîé ñèãíàë åñòü g2 (t)g̈2 + 2δ ġ2 + ω02 g2 = ω02 f2 (t).Ïóñòü òåïåðü âíåøíÿÿ ÝÄÑ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ñóïåðïîçèöèåé âîçäåéñòâèé f1 (t) è f2 (t), ò. å.f (t) = c1 f1 (t) + c2 f2 (t),Äîìíîæèâ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé äëÿ g1 (t) è g2 (t) íà c1 è c2 ñîîòâåòñòâåííî è ñëîæèâ èõ, ïîëó÷èì, ÷òî ñèãíàë g(t) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíâ âèäåg(t) = c1 g1 (t) + c2 g2 (t),ò.

å. ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè ñïðàâåäëèâ.Äîêàæèòå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ïîëàãàÿ ñïðàâåäëèâûì çàêîí Êèðõãîà,÷òî âñå èçîáðàæ¼ííûå íà ðèñ. 1 èëüòðû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè: îíè îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, è ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè äëÿ íèõ âûïîëíÿåòñÿ.Îáîáùàÿ ñêàçàííîå, èçîáðàçèì ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ ñèñòåìó (èëüòð)ñ ïîìîùüþ áëîê-ñõåìû:f (t) → L → g(t),ãäå f (t) âíåøíåå âîçäåéñòâèå (âõîäíîé ñèãíàë èëüòðà), íàïðèìåð, âíåøíÿÿ ÝÄÑ, äåéñòâóþùàÿ íà êîëåáàòåëüíûé êîíòóð, g(t) âûõîäíîé ñèãíàë(îòêëèê èëüòðà), íàïðèìåð, íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå êîíòóðà.àâåíñòâî g(t) = L[f (t)] îçíà÷àåò, ÷òî âûõîäíîé ñèãíàë g(t) åñòü ðåçóëüòàòäåéñòâèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû íà âõîäíîé ñèãíàë f (t).

Òîãäà ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè (ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè) ìîæíî ñèìâîëè÷åñêè çàïèñàòü â âèäå ðàâåíñòâàL[c1 f1 (t) + c2 f2 (t)] = c1 L[f1 (t)] + c2 L[f2 (t)].Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äàëåå ëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå èëüòðû, ò. å. ëèíåéíûå èëüòðû ñ ïîñòîÿííûìè, íå çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè ïàðàìåòðàìè L,C , R. Òàêèå èëüòðû îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè ñ ïîñòîÿííûìèêîýèöèåíòàìè.Èç ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ñëåäóåò ïðîñòîå ïðàâèëî äëÿ íàõîæäåíèÿ îòêëèêà èëüòðà íà ïðîèçâîëüíîå âíåøíåå âîçäåéñòâèå f (t): íåîáõîäèìî ïðåäñòàâèòü ýòî âîçäåéñòâèå â âèäå ñóïåðïîçèöèè íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ñëàãàåìûõ, à çàòåì íàéòè îòêëèê íà êàæäîå ñëàãàåìîå. Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàòïîëó÷àåòñÿ ñóììèðîâàíèåì îòêëèêîâ.  ýòîì ñîñòîèò ñóòü ñïåêòðàëüíîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ çàäà÷è ëèíåéíîé èëüòðàöèè.Âûáîð áàçèñà (ýëåìåíòàðíûõ ñëàãàåìûõ) íåîäíîçíà÷åí.

Åñòåñòâåííî ïîïûòàòüñÿ ðàçëîæèòü âíåøíåå âîçäåéñòâèå íà òàêèå ñëàãàåìûå, îòêëèê íà êîòîðûå íàõîäèòñÿ íàèáîëåå ïðîñòûì îáðàçîì. Òàêèìè ñëàãàåìûìè ÿâëÿþòñÿòàê íàçûâàåìûå ñîáñòâåííûå óíêöèè èëüòðà, ò. å. óíêöèè Ψn (t), óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâóL[Ψn (t)] = Hn Ψn (t).g̈ + 2δ ġ + ω02 g = ω02 [c1 f1 (t) + c2 f2 (t)].Ýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âíåøíåå âîçäåéñòâèå îïèñûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé óíêöèåé, òî îòêëèê îïèñûâàåòñÿ òîé æå óíêöèåé (ñ íåêîòîðûì ìíîæèòåëåì Hn , êîòîðûé ìàòåìàòèêè íàçûâàþò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì).45òîãäà âûõîäíîé ñèãíàë èëüòðà g(t) ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþÄëÿ ëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ èëüòðîâ òàêèìè ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìèÿâëÿþòñÿ óíêöèè eiωt ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, çàïèñàííûå â êîìïëåêñíîé îðìå:L eiωt = H(ω)eiωt ,ïðè÷¼ì êàæäîé ÷àñòîòå ω ñîîòâåòñòâóåò ñâî¼ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå (ò.

å. ìíîæèòåëü H ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé ÷àñòîòû ω : H = H(ω)). Ýòó â îáùåì ñëó÷àåêîìïëåêñíóþ óíêöèþ H(ω) = A(ω)eiϕ(ω) íàçûâàþò â èçèêå ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (èëè ïåðåäàòî÷íîé óíêöèåé) èëüòðà.Ôóíêöèþ A(ω) = |H(ω)| íàçûâàþò àìïëèòóäíîé õàðàêòåðèñòèêîé èëüòðà (àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé â óíêöèè ÷àñòîòû ω ), à óíêöèþϕ(ω) = arg H(ω) íàçûâàþò àçîâîé õàðàêòåðèñòèêîé (ñäâèã ïî àçå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îòíîñèòåëüíî âíåøíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ eiωt ).Íàéòè ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè H(ω) èëüòðîâ, èçîáðàæ¼ííûõíà ðèñ. 1. Ïîêàçàòü, ÷òî óíêöèè eiωt ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìèýòèõ èëüòðîâ.×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà îïðåäåëÿåò îòêëèê íà âõîäíîé ãàðìîíè÷åñêèéñèãíàë åäèíè÷íîé àìïëèòóäû âíåøíþþ ÝÄÑ eiωt .1.

RC -èëüòð (ðèñ. 1à). Çàêîí Êèðõãîà èìååò âèäÄëÿ ðèñ. 1á âûõîäíîé ñèãíàë íàïðÿæåíèå íà ñîïðîòèâëåíèè g(t) = q̇R.Ïîñêîëüêó íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó H(ω)eiωt , òîçàðÿä íà êîíäåíñàòîðå: q(t) = CH(ω)eiωt è âûõîäíîé ñèãíàë: g(t) = q̇R == iωRCH(ω)eiωt . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì2.HR (ω) =3.iωRC,1 + iωRCÊîëåáàòåëüíûé êîíòóð (ðèñ. 1â). Çàêîí Êèðõãîà:Qqreplaementsq̇R + + Lq̈ = eiωtPSfrag.CÄëÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà g(t) =Çàäà÷à 1.qq̇R += eiωt .Cġ +ω01RC= H(ω)(iω)eiωt11 iωtg=e .RCRC0èñ.

3Ïîäñòàâëÿÿ â (2), èìååì (ïîñêîëüêó ġ(t) = iωH(ω)eiωt , g̈ = (iω)2 H(ω)eiωt ):Îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì :4.îòêóäàω02,ω02 − ω 2 + i2δωω02|H(ω)| = p 2(ðèñ. 3),(ω0 − ω 2 )2 + 4δ 2 ω 2Èùåì ðåøåíèå â âèäå I = HI (ω)eiωt . Ïîäñòàâëÿÿ â (3), ïîëó÷àåìRHI (ω)eiωt + LiωHI(ω)eiωt = eiωt ,HI (ω) =1Àìïëèòóäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà RC -èëüòðà ïîêàçàíà íà ðèñ. 2.2δω.ω02 − ω 2RI + LI˙ = eiωt .ñëåäîâàòåëüíî:|H(ω)| = p, ϕ(ω) = arctg(ωRC).1 + (ωRC)2ϕ(ω) = − arctgRL-èëüòð (ðèñ. 1ã). Çàêîí Êèðõãîà:11H(ω) =,RCRC6ωω0g(t) = H(ω)eiωt .(1)Ïîäñòàâëÿÿ â (1), ïîëó÷àåì (ïîñêîëüêó ġ =) ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà eiωt :1,H(ω) =1 + iωRC(2)Èùåì ðåøåíèå (2) â âèäåH(ω) =g(t) = H(ω)eiωt .H(ω)(iω) +2δïîëó÷àåì óðàâíåíèåg̈ + 2δ ġ + ω02 g = ω02 eiωt .Èùåì ðåøåíèå (1) â âèäåèñ. 2qC|H(ω)|−ω 2 H(ω) + 2δ(iω)H(ω) + ω02 H(ω) = ω02 .Äëÿ ðèñ. 1à âûõîäíîé ñèãíàë íàïðÿæåíèå íàêîíäåíñàòîðå g(t) = Cq , ïîýòîìó èìååìplaements |H(ω)|1ωRC1|HR (ω)| = p., ϕ(ω) = arctg2ωRC1 + (ωRC)Èòàê,I=1.R + iωL1eiωt .R + iωL7(3)Âûõîäíîé ñèãíàëiωLg(t) = LI˙ =eiωt ,R + iωLRiωL1, ϕ(ω) = arctgH(ω) =, |H(ω)| = q.R + iωLωLR 21 + ( ωL )plaements2.

Âåêòîðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèéÍàïîìíèì, ÷òî ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèåS0plaementsaϕ0xf (t) = a cos(ωt + ϕ0 )èñ. 4âåñü òðåóãîëüíèê âåêòîðîâ âðàùàåòñÿ êàê îäíî öåëîå. Ïðè÷¼ì î÷åâèäíî, ÷òîïðîåêöèÿ ñóììàðíîãî âåêòîðà S íà îñü x â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè tðàâíà ñóììå ïðîåêöèé âåêòîðîâ S 1 è S 2 :a cos(ωt + ϕ) = a1 cos(ωt + ϕ1 ) + a2 cos(ωt + ϕ2 ),çäåñü a äëèíà âåêòîðà S , à ϕ åãî óãîë íàêëîíà ïðè t = 0.Èòàê, ñóììà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé ÷àñòîòû ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì êîëåáàíèåì òîé æå ÷àñòîòû. Àìïëèòóäà a ñóììàðíîãî êîëåáàíèÿìîæåò áûòü íàéäåíà èç òðåóãîëüíèêà âåêòîðîâ ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ:a2 = a21 + a22 + 2a1 a2 cos(ϕ2 − ϕ1 ).(4)èçîáðàæàþò âåêòîðîì S , äëèíà êîòîðîãî ðàâíà àìïëèòóäå êîëåáàíèÿ a, à óãîë ìåæäó âåêòîðîì è ãîðèçîíòàëüíîé îñüþ x íà÷àëüíîé3.