Лекция 4 - Устойчивостьлинейныхсистем (к экзамену), страница 2

Критерий ГурвицаИз коэффициентов характеристического полиномаQ( )  a0n  a1n 1    anсоставляется определитель n-го порядкаa1 a3 a5  0a0 a2 a4  0 n  0 a1 a3  0 ,(4.9)    0 0   anкоторый строится следующим образом. На главной диагонали выписываются элементыa1 , a2 , , an . Затем при движении от этих элементов вверх размещаются коэффициенты впорядке возрастания индексов, при движении вниз – в порядке убывания.

Например, припостроении i-го столбца, двигаясь от элемента ai вверх, записывают коэффициентыai 1 , ai  2 ,  , двигаясь вниз, записывают коэффициенты ai 1 , ai  2 ,  . При этом, если индекс превышает n или принимает отрицательное значение, соответствующий коэффициент принимают равным нулю.Главные миноры определителя  na11  a1 ,  2 a0a1a3, 3  a0a20a3a2a1a5a4 , … ,a3включая сам определитель  n , называют определителями Гурвица.Критерий Гурвица (Hurwitz, 1895). Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определители Гурвица, составленные из коэффициентов ее характеристического уравнения, при a0  0 были больше нуля:a0  0,1  0, 2  0,, n  0.4.5.3. Критерий Льенара-ШипараКак отмечалось выше, при исследовании устойчивости с помощью алгебраическихкритериев нужно прежде всего проверить необходимое условие устойчивости.

Если необходимое условие устойчивости выполняется, то оказывается, что для определения устойчивости, нет необходимости вычислять все определители Гурвица.Критерий Льенара-Шипара (Lienard, Chipard, 1914). При выполнении необходимого условия устойчивости ( a0  0, a1  0, , an  0 ) для устойчивости системыуправления необходимо и достаточно, чтобы все ее определители Гурвица с четнымииндексами или все ее определители Гурвица с нечетными индексами были положительными: 2  0,  4  0,  6  0, (4.10а)или3  0, 5  0,  7  0, (4.10б)Для уменьшения вычислений целесообразно при нечетном n использовать условие(4.10а), а при четном n – условие (4.11б).54.5.4.

Критерий РаусаДля формулировки этого критерия составляется так называемая таблица Рауса. Почислу перемен знаков элементов первого столбца этой таблицы определяется количестволевых и правых корней рассматриваемого полинома. Таблица Рауса составляется следующим образом.Таблица РаусаВ первой строке выписываются коэффициенты характеристического полинома счетными индексами, а во второй строке – коэффициенты с нечетными индексами в порядке их возрастания. Элементы последующих строк вычисляются по формулеcckl  ck  2,l 1  rk ck 1,l 1 , rk  k  2,1 , k  3,4,; l  1,2,(4.11)ck 1,1Здесь rk равен отношению элементов предыдущих двух (т.е.

(k-2)-й и (k-1)-й) строкпервого столбца. Элемент c kl равен разности элементов предыдущих двух (т.е. (k-2)-й и(k-1)-й) строк следующего, (l+1)-го столбца. При этом последний элемент (т. е. вычитаемое) умножается на rk .Критерий Рауса (Routh, 1877). Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса при a0  0 были положительны:ck1  0, k  1, 2, , n  1 .Таблица Рауса содержит (n+1)строку. Число столбцов по мере роста номера строкиубывает. Элементы второго и последующих столбцов следует вычислять по мере надобности при вычислении элементов первого столбца.

При этом вычисление можно прекратить, как только какой-либо элемент первого столбца принимает нулевое или отрицательное значение.4.6. Частотные критерии устойчивостиЧастотные критерии в большинстве случаев используют в качестве графоаналитических критериев – они отличаются наглядностью при выполнении инженерных расчетов.В основе частотных методов лежит принцип аргумента - следствие из теоремы теориифункций комплексного переменного, а именно теоремы Коши, относительно числа нулейи полюсов функции, аналитической в заданной области.4.6.1. Принцип аргументаРассмотрим алгебраическое уравнение n-й степени с действительными коэффициентами:Q( )  a0 n  a1n1    a n1  a n  0 .(4.12)6Если через 1 ,  2 ,  n обозначить корни этого уравнения, то многочлен Q( )можно представить в виде произведения простых сомножителей:Q( )  a0 (  1 )(  2 )(  n ) .Геометрически на комплексной плоскости каждый корень i изображается в видевектора, проведенного из начала координат к точке i (рис.

4.3). Длина этого вектора равна модулю комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, – аргументу или фазе комплексного числа. Векторы   i ,входящие множителями в Q( ) , проведены из точек i к точке  . Каждый из этих векторов является разностью двух векторов, соответствующих  и i (рис. 4.4). Если принятьв Q( )   j , тоQ( j )  a0 ( j  1 )( j  2 )( j  n )где  - круговая частота.Концы элементарных векторов будут находиться на мнимой оси в точке   j(рис.

4.5). Модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов иa0 :Q( j )  a0 j  1 j  2  j  nРис. 4.3.Рис. 4.4. Элементарный векторРис. 4.5. Элементарныевекторыа аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементарных векторов:arg Q( j )  arg( j  1 )  arg( j  2 )    arg( j  n ) .Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за положительное. Тогда при изменении  от   до   каждый элементарный вектор( j  i ) повернется на угол   , если его начало (корень i ) находится в левой частикомплексной плоскости, и на угол   , если его начало (кореньi ) находится в правой части комплексной плоскости (рис.

4.6).Если уравнение Q( )  0 имеет l корней в правой части комплексной плоскости и, следовательно, n-l корней – в левой частикомплексной плоскости, то при возрастании  от   до  изменение аргумента вектора Q( j ) или угол поворота вектора Q( j ) (равный сумме изменений аргументов элементарныхвекторов), будет: arg Q( j )  (n  l )  l  (n  2l )(4.13)Рис. 4.6  или arg Q( j )  (n  2l )0 72Принцип аргумента.

Изменение аргумента Q( j ) при возрастании  от   до  равно разности (n-l) корней уравнения Q( )  0 , лежащих в левой части плоскости, ичислом l корней уравнения, лежащих в правой части плоскости, умноженной на π.4.6.2. Критерий устойчивости МихайловаГодограф характеристического вектора, т.е. кривую, которую описывает характеристический вектор при изменении частоты от 0 до   , называют кривой Михайлова.При an  0 кривая Михайлова начинается на положительной вещественной полуоси.Из принципа аргумента следует, что если все нули характеристического полиномаnлевые, то приращение аргумента характеристического вектора есть  arg Q( j ) .20 Отсюда вытекает следующий критерий устойчивости.Критерий Михайлова.

Для того чтобы система была устойчива, необходимо идостаточно, чтобы при a0  0 ее криваяМихайлова, начинаясь с положительнойвещественной полуоси, последовательнообходила n квадрантов в положительномнаправлении (против часовой стрелки).Кривые Михайлова устойчивыхсистем не пересекают начало координат иуходят в бесконечность в n-м квадранте.На рис.

4.7, а приведены годографы устойа)б)чивых систем разных порядков, а на рис.Рис. 4.74.7, б годограф неустойчивой системы.4.6.3. Критерий НайквистаПри использовании алгебраических критериев и критерия Михайлова было неважно, устойчивость каких систем – разомкнутых или замкнутых – исследуется. КритерийНайквиста используется для исследования устойчивости замкнутых систем. Он позволяетпо амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы судить об устойчивостизамкнутой системы.Критерий Найквиста (формулировка 1). Для того чтобы замкнутая система сотрицательной обратной связью была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы охватывала точку (-1, j0) в положительном направлении l/2 раз, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.Здесь предполагается, что у характеристического уравнения разомкнутой системы lкорней являются правыми, а остальные n–l корней – левыми.

Случай, когда имеются нейтральные корни, рассматривается отдельно.Когда разомкнутая система устойчива, l = 0 , и критерий Найквиста формулируетсяследующим образом.Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системыс отрицательной обратной связью необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0).Доказательство.ПустьпередаточнаяфункцияразомкнутойсистемыW ( p)  R( p) / S ( p) , где степень числителя m, а степень знаменателя n, причем n  m .Очевидно,степеньхарактеристическогополиномазамкнутойсистемыQ( p)  R( p)  S ( p) равна n.Рассмотрим функцию8R( j )  S ( j )(4.14)S ( j )Здесь в правой части в числителе стоит характеристический вектор замкнутой системы, а в знаменателе – характеристический вектор разомкнутой системы.

Из принципааргумента следует, что для устойчивости замкнутой системы (т.е. l=0) необходимо и достаточно, чтобы arg R( j )  S ( j )  n20 Так как по условию характеристический полином разомкнутой системы S ( ) имеет l правых нулей и n–l левых нулей, то из принципа аргумента получаем arg S ( j )  (n  2l )20 Следовательно, если замкнутая система устойчива, приращение аргумента функMции ( j ) при изменении  от 0 до   естьl arg M ( j )   arg R( j )  S ( j )   arg S ( j )  n  (n  2l )  l  (2 )2220 0 0 Отсюда следует, что для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф функции M ( j ) охватывал начало координат l / 2 раз в положительном направлении.Из (4.14) получаем W ( j )  M ( j )  1 .

Поэтому если сместить годограф M ( j )влево на единицу, то получится годограф частотной передаточной функции W ( j ) разомкнутой системы (рис. 4.8). Следовательно, если годограф M ( j ) охватывает началокоординат l / 2 раз, то годограф W ( j ) охватывает l / 2 раз точку (-1, j0). Критерий доказан.В сложных случаях удобно воспользоваться другой формулировкой критерия Найквиста, которую мы сейчас ирассмотрим.Если АФЧХ охватывает точку (-1,j0), то она пересекает отрезок (,  1) веа)б)щественной оси.