Лекция 4 - Устойчивостьлинейныхсистем (к экзамену), страница 3
Описание файла
Файл "Лекция 4 - Устойчивостьлинейныхсистем" внутри архива находится в следующих папках: экзамен, а здесь по делу. PDF-файл из архива "к экзамену", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "управление техническими системами (утс)" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
Точку пересечения АФЧХРис. 4.8: а – годограф вектора M ( j ) ; б –с указанным отрезком называют положисоответствующий ему годограф векторательным переходом, если пересечениеW ( j )происходит при возрастании частоты сверху вниз (т.е. в положительном направлении), и отрицательнымпереходом, если пересечение происходит снизу вверх (рис. 4.9).Если АФЧХ начинается или кончается на отрезке (, 1) , тоговорят о 1/2-переходе.Критерий Найквиста (формулировка 2).
Для того чтобы замкнутая система управления была устойчива, необходимои достаточно, чтобы разность между положительными и отРис. 4.9рицательными переходами отрезка вещественной оси (, 1)была равна l/2 (l – число правых корней характеристическогоуравнения разомкнутой системы).Например, на рис. 4.9 изображена АФЧХ разомкнутойсистемы. Разность между положительными и отрицательнымипереходами равна 1. Если разомкнутая система неустойчива иl=2, то замкнутая система будет устойчивой.M ( j ) 1 W ( j ) Рис. 4.109Случай наличия нулевых корней. Если характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет нулевые корни, т.е. ее передаточная функция может быть представленав видеkW ( p) v W0 ( p ), W0 (0) 1, v 1pто АФЧХ при 0 уходит в бесконечность (рис.
4.10). В этом случае АФЧХ дополня-ются дугой vокружности бесконечно большого радиуса (на рис. 4.10 пунктирные ли2нии). И для устойчивости замкнутой системы разность переходов дополненной АФЧХ отрезка вещественной оси (; 1) должна быть равна l 2 , где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.4.6.4. Логарифмический частотный критерий устойчивостиПри пересечении АФЧХ отрезка (; 1) (рис.
4.11) амплитудная частотная функция A( ) 1 и соответственно L( ) 0 , фазовая частотная функция ( ) (2k 1)(k=0, 1, 2,…). Поэтому на логарифмических частотных характеристиках (ЛЧХ) положительным переходам соответствуют точки пересечения логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) прямой ( ) (2k 1) (k=0, 1, 2,…) снизу вверх (в сторону возрастания ( ) ), отрицательным переходам – сверху вниз при частотах, когдаL( ) 0 (рис. 4.11, б). Поэтому на основании критерия Найквиста получаем следующийкритерий устойчивости.Рис. 4.11.
Положительные и отрицательные переходы: а – АФЧХ; б – ЛАЧХ и ЛФЧХЛогарифмический частотный критерий устойчивости. Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами ЛФЧХ разомкнутой системы прямой ( ) (2k 1) (k=0, 1, 2,…) при частотах, когда L( ) 0 (логарифмическая амплитудная частотная характеристика положительна), была равна l/2 (l – число правых корнейхарактеристического уравнения разомкнутой системы).4.6.5. Запасы устойчивости системы по модулю и фазеУстойчивость замкнутой САУ зависит от расположения годографа W ( j ) разомкнутой системы относительно критической точки с координатами (–1, j0).
Чем ближе он ккритической точке, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости.10Рис. 4.12Рис. 4.13Рис. 4.14Для устойчивых систем удаление годографа W ( j ) от критической точки (–1; j0)характеризуется запасом устойчивости по модулю и фазе (рис. 4.12). Минимальный отрезок действительной оси h, характеризующий расстояние между критической и ближайшейточкой пересечения годографа W ( j ) с действительной осью, называют запасом устойчивости по модулю.
Минимальный угол , образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа W ( j ) с окружностью единичного радиуса (с центром в началекоординат) и отрицательной частью действительной оси, называют запасом устойчивостипо фазе.Система обладает требуемым запасом устойчивости, если она, удовлетворяя условию устойчивости, имеет значения модуля характеристического вектора W ( j ) , отличающиеся от единицы не менее чем на заданное значение h (запас устойчивости по модулю), и угол поворота или фазу, отличающуюся от ( ) не менее чем на заданное значение ( запас устойчивости по фазе).
АФХ систем, обладающих запасами устойчивости недолжны входить в область I–I, II–II комплексной плоскости (рис. 4.13).В случае применения для анализа устойчивости логарифмических частотных характеристик (рис. 4.14) запасу устойчивости системы по модулю соответствует отрезокl 20 lg h при том значении частоты, при котором фазовая характеристика ( ) .Относительно ЛЧХ можно говорить и о запасах устойчивости по модулю ( l1 и l2 ), соответствующих частотам 1 и 2 .
Запасу устойчивости системы по фазе соответствуетзначение угла, превышающее значение фазовой характеристики над линией ( ) причастоте среза ср (см. рис. 4.14).4.6.6. Устойчивость систем управления с запаздываниемВ предыдущих разделах критерий устойчивости Найквиста рассматривался применительно к системам, передаточные функции которых имели дробно-рациональный вид.Однако во многих системах управления присутствует запаздывание по времени, существенно влияющее на устойчивость.
Запаздывание по времени – это промежуток временимежду моментом, когда в каком-то месте системы произойдет некоторое событие, и моментом, когда это событие проявит себя в другом месте.Подобное запаздывание свойственно системам,в которых имеет место перемещение материалов, когдамежду точкой, где произошло какое-то изменение некоторой переменной, и точкой, где проявляется соответствующий эффект, проходит определенное (конечное) время.В качестве примера приведем систему управлеРис. 4.15.ния прокатом стальной полосы, изображенную на рис.114.15. Электродвигатель управляет скоростью валков таким образом, чтобы минимизировать ошибку в толщине полосы. В данном случае запаздывание между точкой измененияскорости валков и точкой измерения толщины полосы равноvdКритерий Найквиста обладает тем преимуществом, что он позволяет учесть влияние этого запаздывания на устойчивость системы.Идеальное запаздывание по времени можно охарактеризовать передаточной функциейWз ( s ) e sгде – время запаздывания.
Критерий Найквиста остается в силе и для систем с запазды sванием, поскольку множитель eне приводит к появлению дополнительных полюсовили нулей в передаточной функции разомкнутой системы.Вся система с элементом запаздывания будет иметь структурную схему, показанную на рис.4.16. Передаточной функции разомкнутого контура этой системыРис. 4.16W ( s ) W0 ( s )e s(4.15)соответствует амплитудно-фазовая частотная характеристикаW ( j ) W0 ( j )e j mod W0 ( j )e j (arg W0 ( j ) )(4.16)При 0 система называется предельной по отношению к системе с запаздыванием. Из соотношения (4.16) следует, что амплитудно-фазовая частотная характеристикасистемы с запаздыванием получается смещением по часовой стрелке точек амплитуднофазовой частотной характеристики предельной системы W0 ( j ) на дополнительный угол .
С увеличением значение возрастает, а модуль W0 ( j ) обычно убывает, поэтому амплитудно-фазовая частотная характеристика системы с запаздыванием «закручивается» около начала координат.Для того чтобы замкнутая система, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид (4.15), была устойчива, необходимо и достаточно,чтобы разность между положительными и отрицательными переходами АФХ разомкнутой системы отрезка действительной оси (; 1) была равна l / 2 , где l –число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.Система с запаздыванием может иметь критическое время запаздывания кр , прикотором она будет находиться на границе устойчивости.
При кр амплитудно-фазоваяхарактеристика разомкнутого контура системы проходит через точку (-1, j0). Следовательно, при некоторой критической частоте кр :mod W0 ( j кр ) 1 ,(4.17)arg W0 ( j кр ) кр кр (4.18)Уравнения (4.17), (4.18) позволяют вычислить кр и кр , которых в общем случаеможет быть несколько.Пример. Определить критическое запаздывание и критическую частоту для системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии W ( s ) 2 se .s 1Решение.
Предельная система (без запаздывания) устойчива. Условия (4.17), (4.18)принимают вид122 кр 2 (1 j кр ) 2 modmodj22 1 (1 j кр )(1 j кр ) 1кркр222 2 кр 2 1,21 2 1 2 1кркр кр 2кр кр кр arctgкр кр кр .arctg2Из первого уравнения получаем кр 1 . Подставив это значение частотыво второе уравнение, получим:34 кр arctg1 .При кр годограф разомкнутой системы имеет вид, показанный нарис. 4.17.Рис. 4.174.7. Робастная устойчивостьПараметры стационарных систем с течением времени в силу старения или другихпричин могут меняться. Кроме того, при разработке регуляторов параметры объекта могутбыть точно не известны. В подобных случаях возникает необходимость построения систем управления таким образом, чтобы она была устойчива не при одних фиксированныхзначениях параметров, а при всех возможных их значениях.
В последнем случае говорят,что система робастно устойчива. Более строго робастная устойчивость определяетсяследующим образом.Рассмотрим характеристический полиномQ( ) a0 n a1n1 an1 an .(4.19)Будем называть полином устойчивым, если все его нули являются левыми.Введем в рассмотрение (n+1)-мерный вектор a (a0 , a1 , , an1 , an ) .
Пусть в (n+1)-мерном пространстве коэффициентов задано множество A ( A R n1 ) .Полином (4.19) называется робастно устойчивым в А, если он является устойчивым при любых значениях коэффициентов ai (i 0,1, n) из множества A (a A) .Система называется робастно устойчивой на множестве А, если ее характеристический полином является робастно устойчивым полиномом в А.4.7.1. Полиномы Харитонова. Теорема ХаритоноваПусть множество А является гиперпараллелепипедом:A {a : ai ai ai , i 0,1, n}(4.20)Здесь ai и ai – минимальное и максимальное значения коэффициента ai .Введем в рассмотрение четыре полинома, называемые полиномами Харитонова:Q1 ( ) an an1 an22 an33 an44 an55 (4.21а)Q2 ( ) an an 1 an 22 an 33 an 44 an 55 (4.21б)Q3 ( ) an an1 an22 an33 an44 an55 (4.21в)Q4 ( ) an an1 an22 an33 an44 an55 (4.21г)13Теорема Харитонова.