Вопросы к РК №1

Программа по теории рубежного контроля по модулю №1по Аналитической геометрии, тема: «Векторы, прямые и плоскости»Для факультетов ИБМ, МТ, РК, групп СМ -13, Э-51. Дать определение определителя второго и третьего порядка, сформулироватьсвойства определителя произвольного порядка. Описать методы вычисленияопределителя третьего и произвольного порядка.2. Формулы Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений.Условия их применимости.3. Определение равенства векторов, свободного вектора. Дать определение исформулировать свойства арифметических операций над векторами (сложение,умножение на число). Определение коллинеарной и компланарной совокупностивекторов.4. Дать определения (а) линейно зависимой и (б) линейно независимой системвекторов.

Сформулировать: (а) общий критерий линейной зависимости векторов и егоследствия (заведомая линейная зависимость в случае наличия нулевого вектора илипропорциональных векторов); (б) критерий линейной зависимости: (1°) двух, (2°) трех,(3°) четырех геометрических векторов.5. Дать определение базиса (на плоскости, в пространстве) и координат вектора вбазисе. Количество способов разложения вектора по базису. Записать формулу длякоординат суммы двух векторов и координат вектора, умноженного на число.Ортонормированный базис {i; j ; k} .6.

Дать определение проекции вектора на направление (другого вектора), написать еёсвойства, указать связь со скалярным произведением, написать формулу длявычисления. Определение направляющих углов вектора, написать свойство ихкосинусов.7. Определение скалярного произведения векторов. Сформулировать алгебраическиесвойства скалярного произведения, связь с проекций вектора на направления. Формуладля косинуса угла между векторами.

Формулы для вычисления скалярногопроизведения и длины вектора через координаты в ортонормированном базисе.8. Определение правой и левой тройки векторов. Определение векторногопроизведения векторов. Сформулировать алгебраические свойства векторногопроизведения, критерий равенства нулю, написать формулу для вычисления черезкоординаты векторов в ортонормированном базисе. Приложения векторногопроизведения (площадь параллелограмма и треугольника, связь линейной и угловойскорости при вращении, момент силы).9.

Определение смешанного произведения векторов. Сформулировать алгебраическиесвойства смешанного произведения, критерий равенства нулю, написать формулу длявычисления через координаты векторов в ортонормированном базисе. Приложениясмешанного произведения (объем параллелепипеда и тетраэдра, проверка правой илевой тройки).10. Система координат на плоскости и в пространстве, определение координат точки,связь координат вектора с координатами его концов. Написать формулы для: (а)Аналитическая геометрия. Программа теории рубежного контроля №1 Векторы, прямые и плоскости. 2013расстояния между двумя точками; (б) координат точки М, делящей отрезок АВ вданном отношении AM : MB   :  .11.

Перечислить и записать виды уравнений прямой на плоскости ((а) с угловымкоэффициентом; (б) общее; (в) параметрические; (г) канонические, (д) «в отрезках»,(е) нормальное), указать геометрический смысл их коэффициентов. Взаимноерасположение двух прямых на плоскости, заданных общими уравнениями. Написатьформулу для расстояния от точки до прямой на плоскости.12. Записать (а) уравнение плоскости, проходящей через данную точкуперпендикулярно заданному вектору, (б) общее уравнение плоскости, указатьгеометрический смысл равенства нулю одного из его коэффициентов; (в) уравнениеплоскости проходящей через три точки; (г) уравнение плоскости в отрезках. Написатьформулу расстояния от точки до плоскости.13.

Записать общие, параметрические и канонические уравнения прямой впространстве, геометрический смысл коэффициентов двух последних. Уравненияпрямой, проходящей через две заданные точки. Написать формулу для расстояния отточки до прямой в пространстве. Пучок плоскостей.14. Написать необходимые и достаточные условия, при которых две плоскости,заданные общими уравнениями: (а) совпадают); (б) параллельны; (в) пересекаются.Написать формулы для: (а) расстояния между параллельными плоскостями; (б) угламежду пересекающимися плоскостями.15.

Сформулировать необходимые и достаточные условия, при которых прямая впространстве, заданная каноническими уравнениями: (а) лежит в плоскости (заданнойобщим уравнением); (б) параллельна этой плоскости; (в) пересекает эту плоскость;(г) перпендикулярна этой плоскости. Написать формулу для угла между прямой иплоскостью.16. Написать необходимые и достаточные условия, при которых две прямые впространстве, заданные каноническими уравнениями: (а) совпадают; (б) параллельны;(в) пересекаются; (б) скрещиваются.

Написать формулу для расстояния между:(а) параллельными; (б) скрещивающимися прямыми. Написать формулу для угламежду двумя произвольными прямыми.2.