15 Векторные функции нескольких переменных (Лекции Линейная алгебра и ФНП)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1215.1.

Определение векторной функцииx ∈ D(f ).(15.1)y1 = f1 (x),yi = f2 (x),...,ym = fm (x),x ∈ D(f ).На множестве F (A, Rm ) всех функций вида f : A ⊂ Rn → Rm , как и в случае скалярныхфункций, можно ввести операции сложения функций и умножения функций на действительные72ÔÍ-12Функции нескольких переменных fi , i = 1, m, называют координатными функциями векторной функции f . Для представления векторной функции наряду с матричной формой записи(15.1) используют координатную форму записиÌÃÒÓтf (x) = (f1 (x) f2 (x) .

. . fm (x)) ,ÔÍ-12Существует обобщение понятия функции нескольких переменных, когда в качестве значенийотображения используются не числа, а векторы (или точки n-мерного пространства). Такоеобобщение упрощает теоретические построения, связанные с понятиями непрерывности и дифференцируемости.В общем случае мы называем функцией многих переменных (функцией несколькихпеременных) отображение вида f : A → Rm , где A ⊂ Rn , n > 1. Если m = 1, т.е. значением отображения является действительное число (скалярная величина), отображение называютскалярной функцией нескольких переменных. Если же m > 1, то указанное отображениеназывают векторной функцией нескольких переменных (или векторной функциейвекторного аргумента).Значением векторной функции является упорядоченный набор из m чисел, который можно интерпретировать двояко: как элемент линейного арифметического пространства или какэлемент аффинного арифметического пространства.

Пример первого рода дает поле скоростейтекущей жидкости, когда в каждой точке некоторой области в пространстве задана скорость частиц жидкости, протекающих через эту точку. Пример второго рода дает перемещение частицжидкости в пространстве: каждая частица жидкости перемещается из одной точки пространства в другую и результат перемещения можно рассматривать как отображение точек старогоположения частиц жидкости в точки их нового положения.Как и в случае скалярной функции нескольких переменных, множество D(f ) = A ⊂ Rn , накотором определена функция f : A ⊂ Rn → Rm , называют областью определения (существования) функции f , а множество R(f ) = {y ∈ Rm : y = f (x), x ∈ D(f )} — областьюзначений (изменения) функции f .Поскольку элемент линейного пространства Rm при m > 1 является совокупностью mдействительных чисел, то векторную функцию нескольких переменных f : Rn → Rm можнорассматривать как совокупность m скалярных функций fi , полагая, чтоÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓВекторная ФНП (ВФНП) как отображение F : Ω → Rm (Ω ⊂ Rn ).

Координатные функцииВФНП. Геометрическая интерпретация для n, m = 2, 3. Предел ВФНП. НепрерывностьВФНП.ÔÍ-12ÔÍ-12ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 15ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓОтметим, что относительно введенных операций множество F (A, Rm ) является линейнымпространством.Определение 15.1. Графиком векторной функции нескольких переменных f : Rn →→ Rm называют подмножество Γ(f ) в Rn+m = Rn × Rm , которое задается следующим образом:Γ(f ) = (x, y) ∈ Rn+m : x ∈ D(f ), y = f (x) .Это определение обобщает понятие графика скалярной функции нескольких переменных(см.

определение 8.8), в то же время являясь частным случаем общего определения графикаотображения f : X → Y произвольного множества X в множество Y .что после переобозначения осей координат приводит к образу отображения ϕ из примера 8.4(см. рис. 8.5).На векторные функции нескольких переменных естественным образом распространяетсяпонятие предела, введенное для скалярных функций нескольких переменных. Пусть заданывекторная функция нескольких переменных f : Rn → Rm , множество A ⊂ D(f ) и предель-ÔÍ-1215.2. Предел векторной функции нескольких переменныхÌÃÒÓДля графического представления векторной функции нескольких переменных в случае небольших размерностей области определения и области значений могут использоваться поверхности уровня функции, т.е.

множества {x ∈ Rn : f (x) = c}, где c ∈ Rm фиксированный вектор.При m > 1 поверхность уровня функции f : Rn → Rm , соответствующая значению c == (c1 , . . . , cm ) ∈ Rm , состоит из тех точек, координаты которых являются решением системыуравнений fi (x) = ci , i = 1, m, где fi — координатные функции векторной функции f . Поэтому поверхность уровня векторной функции нескольких переменных является пересечениемсоответствующих поверхностей уровня ее координатных функций.ÔÍ-12Пример 15.1. График функции f : R → R2 , которая задана соотношениями x(t) = cos t,y(t) = sin t, t ∈ (−∞, +∞), представляет собой винтовую линию, рассмотренную в примере 8.4.Действительно, графиком этой векторной функции является множествоΓ(f ) = (x, y, z) ∈ R3 : x = t, y = cos t, z = sin t ,ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12мы можем представить введенные операции следующим образом:f1 (x) + g1 (x)λf1 (x)....f (x) + g(x) = , λf (x) = ...fm (x) + gm (x)λfm (x)ÌÃÒÓÌÃÒÓтg(x) = (g1 (x) g2 (x) .

. . gm (x)) ,ÌÃÒÓÔÍ-12тf (x) = (f1 (x) f2 (x) . . . fm (x)) ,ÔÍ-12ÌÃÒÓчисла. Суммой функций нескольких переменных f, g ∈ F (A, Rm ) называют такую функцию f + g ∈ F (A, Rm ), что для любого x ∈ A верно равенство (f + g)(x) = f (x) + g(x), в правойчасти которого стоит сумма значений векторных функций, являющихся элементами линейного пространства Rm . Аналогично произведением функции нескольких переменныхf ∈ F (A, Rm ) на действительное число λ называют такую функцию (λf ) ∈ F (A, Rm ), чтодля любого x ∈ A верно равенство (λf )(x) = λf (x), в правой части которого стоит произведениевектора f (x) ∈ Rm на действительное число λ.Записав функции f, g ∈ F (A, Rm ) в матричной формеÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ73ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15.

ВЕКТОРНЫЕФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓx→aAЕсли A = Rn , то говорят просто о пределе функции в точке a и обозначают его,опуская упоминание множества A: b = limx→a f (x). Отметим, что если множество A включаетнекоторую проколотую окрестность точки a (в частности, если точка a внутренняя для A), томожно считать, что A = Rn , поскольку такая замена не изменяет ситуацию.На векторные функции переносятся утверждения теоремы 8.3 и ее следствия 8.1 о связипределов в данной точке по различным множествам.Исследование предела векторной функции нескольких переменных можно свести к исследованию пределов ее координатных функций.Теорема 15.1.

Векторная функция нескольких переменных f : A ⊂ Rn → Rm имеет пределпри x→a, равный b тогда и только тогда, когда существуют пределы ее координатных функцийAfi (x) при x→a, равные bi , i = 1, m, гдеAf1 (x)f (x) =  ... ,fm (x)b1b =  ... .bmx→aAСогласно определению предела векторной функции нескольких переменных, для выбранного◦числа ε существует такое число δ > 0, что при x ∈ A∩ U(a, δ) выполнено неравенство |f (x)−b| << ε (это неравенство равносильно соотношению f (x) ∈ U(b, ε) ). Так какpp|fi (x) − bi | = (fi (x) − bi )2 6 (f1 (x) − b1 )2 + .

. . + (fm (x) − bm )2 = |f (x) − b|, i = 1, m,ÌÃÒÓJ Предположим, что существует предел lim f (x) = b. Выберем произвольное число ε > 0.ÔÍ-12ÔÍ-12ная точка a множества A. Точку b ∈ Rm называют пределом функции f в точке a помножеству A, если для любой ε-окрестности U(b, ε) точки b существует такая проколотая◦◦δ-окрестность U(a, δ) точки a, что f (x) ∈ U(b, ε) при x ∈ U(a, δ) ∩ A, В этом случае, как и вскалярном, записывают b = lim f (x), или f (x) → b при x→a.AÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ74ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. ВЕКТОРНЫЕФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12> 1) обозначает точку (0, 0, .

. . , 0) ∈ R ). Из теоремы 15.1 следует, что векторная функцияÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12x→aAmÔÍ-12Доказанная теорема фактически утверждает, что в случае векторной функции переход кпределу можно выполнять покоординатно (т.е. отдельно для каждой координатной функции).Если хотя бы для одной координатной функции предел не существует, то не существует предели самой векторной функции.Функцию нескольких переменных f : A ⊂ Rn → Rm называют бесконечно малой приx→a (a — предельная точка множества A), если lim f (x) = 0, где символ «0» ((в случае m >AÌÃÒÓчто означает существование предела векторной функции f (x) при x→a, равного b. IAÔÍ-12ÔÍ-12◦то для тех же x ∈ A ∩ U(a, δ) для каждого i = 1, n верно и неравенство |fi (x) − bi | < ε, илиfi (x) ∈ U(bi , ε), где U(bi , ε) — ε-окрестность точки bi на числовой прямой.

Но это и означаетсуществование предела каждой координатной функции fi (x) при x→a, равного bi .AПерейдем к доказательству обратного утверждения и предположим, что при x→a сущеAствует предел каждой координатнойфункции fi (x), равный bi , i = 1, m. Выберем произвольное√число ε > 0. Для ε0 = ε/ m и каждого i = 1, m существует такое число δi > 0, что при◦√x ∈ A ∩ U(a, δi ) выполнено неравенство |fi (x) − bi | < ε/ m.

Пусть δ = min(δ1 , . . . , δm ). Тогда◦U(a, δ) ⊂ U(a, δi ) для каждого i = 1, m. Поэтому при x ∈ A ∩ U(a, δ) одновременно выполняются◦√неравенства |fi (x) − bi | < ε/ m, i = 1, m. Следовательно, при x ∈ A ∩ U(a, δ) имеем√pp|f (x) − b| = (f1 (x) − b1 )2 + . . . + (fm (x) − bm )2 < ε2 /m + . . . + ε2 /m = ε2 = ε,ÌÃÒÓявляется бесконечно малой при x→a тогда и только тогда, когда бесконечно малыми при x→aAAявляются все ее координатные функции. Например, из двух функцийттиg(x, y) = x+1 x2 +y 4 x−yf (x, y) = x x2 +y 4 xy 3первая является бесконечно малой при (x, y) → (0, 0), а вторая — нет.

Действительно, всекоординатные функции векторной функции f (x, y) имеют предел 0 в точке (0, 0), в то времякак координатная функция g1 (x, y) = x+1 векторной функции g(x, y) имеет предел 1 (ненулевой)в точке (0, 0).Для функций нескольких переменных остается в силе теорема 8.4 о связи функции, еепредела и бесконечно малой. Доказательство этого утверждения получается дословнымповторением доказательства теоремы 8.4.Векторная функция нескольких переменных f : A ⊂ Rn → Rm ограничена намножестве A, если множество f (A) = {y ∈ Rm : y = f (x), x ∈ A} ограничено. Эта функция ограничена при x→a (локально ограничена в точке a), если существует такаяAТеорема 15.2. Пусть для функции f : A ⊂ Rn → Rm существует предел lim f (x) = b,ÌÃÒÓÌÃÒÓ◦проколотая окрестность U(a, δ) точки a, что функция ограничена на множестве A ∩ U(a, δ).Пределы векторных функций, бесконечно малые векторные функции имеют те же свойства,что и в случае скалярных функций нескольких переменных (т.е.