listexp_1 (Билеты. 2020 год. ФН.)

Список теоретических вопросов1. Уравнения в частных производных. Порядок уравнения. Примеры уравнений математическойфизики.2. Нелинейные, квазилинейные и линейные уравнения. Уравнения с постоянными коэффициентами.Системы уравнений.3.

Геометрическая интерпретация решений уравнений первого порядка. Интегральные поверхности.Начальные данные. Задача Коши.4. Элементарные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Заменапеременных. Суперпозиция решений. Дифференцирование и интегрирование по параметру.5. Уравнения в частных производных для заданных семейств функций. Уравнение поверхностейвращения. Уравнения линейчатых поверхностей.

Уравнения развертывающихся поверхностей.6. Можно ли по заданному уравнению высокого порядка построить эквивалентную ему системууравнений первого порядка и наоборот? Для каких типов уравнений эта эквивалентность имеетместо.7. Определённые, недоопределённые и переопределённые системы. Примеры.8. Методы построения решений, использующие разделение переменных, представление в рядах иинтегралах. Элементарные методы обоснования.9. Конус Монжа. Уравнение конуса Монжа.10. Полный интеграл.

Связь с теорией Гамильтона-Якоби.11. Преобразование Лежандра.12. Метод характеристик для квазилинейных уравнений первого порядка. Примеры.13. Метод характеристик для нелинейных уравнений первого порядка. Характеристические полосы.Примеры.14. Аналитичность действительнозначных функций и комплекснозначных функций. Примеры гладких, но не аналитических функций15. Формальные решения. Метод пределов. Мажоранты решений.16.

Теорема о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.17. Теорема Коши-Ковалевской. Формулировка и доказательство.18. Приведение квазилинейных систем к нормальному виду.19. Характеристический определитель. Характеристические направления.20. Характеристические гиперповерхности. Уравнения характеристик.21.

Корректна ли задача Коши с начальными данными на характеристике? Ответ проиллюстрируйтепримерами.22. Классификация уравнений по типу (эллиптический, гиперболический, параболический) в окрестности заданной точки. Примеры.23. Уравнения промежуточного типа.24. Классификация линейных уравнений и систем линейных уравнений.25. Каноническая форма уравнения в точке и в области. Преобразование линейного уравнения спостоянными коэффициентами к канонической форме.26.

Приведение линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными к каноническому виду в области.27. Формулировка задачи Коши для волнового уравнения.28. Классификация задач Коши для волнового уравнения по типу краевых условий.29. Единственность решений первой, второй и третьей краевых задач.30. Непрерывная зависимость решений от начальных данных.31.

Решение Д‘Аламбера.32. Разрывные решения.33. Метод сферических средних.34. Решение Пуассона трехмерного волнового уравнения.35. Запаздывающий потенциал.36. Метод спуска. Решение двумерного волнового уравнения.37. Задача Гурса.38. Интегральные формы представления решения двумерного волнового уравнения.39. Интегральные формы представления решения трехмерного волнового уравнения.40.

Формулы Кирхгофа.41. Ортогональные семейства функций.42. Ряды Фурье.43. Сходимость рядов Фурье.44. Неравенство Бесселя.45. Равенство Парсеваля.46. Поточечная сходимость. Ядро Дирихле.47. Интеграл Фурье.48. Разделение переменных.49. Задача Штурма-Лиувилля.50. Решение волнового уравнения методом разделения переменных.51. Обоснование формального решения волнового уравнения.52. Теорема о единственности решения волнового уравнения.53. Решение уравнения теплопроводности методом разделения переменных.54. Обоснование формального решения уравнения теплопроводности.Page 255.

Теорема о единственности решения уравнения теплопроводности.56. Нестационарные осесимметричные колебания конечного цилиндра.57. Функция Грина.58. Решение задачи Дирихле для оператора Лапласа методом функции Грина.59. Метод отражений.60. Решение задачи Неймана для оператора Гельмгольца методом функции Грина.61. Интеграл Пуассона.Список задач1. Найти общее решение следующего дифференциального уравненияux + yuy = 02. Найти общее решение следующего дифференциального уравнения(1 + x2 )ux + uy = 03.

Найти общее решение следующего дифференциального уравнения2xyux + (x2 + y 2 )uy = 04. Найти общее решение следующего дифференциального уравнения(y + u)ux + yuy = x − y5. Найти общее решение следующего дифференциального уравненияy 2 ux − xyuy = x(u − 2y)6. Найти общее решение следующего дифференциального уравненияyuy − xux = 17. Найти общее решение следующего дифференциального уравнения(y − xu)ux + (x + yu)uy = x2 + y 28. Найти общее решение следующего дифференциального уравненияux + 2xy 2 uy = 09.

Найти общее решение следующего дифференциального уравненияxu(u2 + xy)ux − yu(u2 + xy)uy = x410. Найти общее решение следующего дифференциального уравненияyux + xuy = xy(x2 − y 2 )Page 311. Решить задачу Коши3ux + 2uy = 0,u(x, 0) = sin xyux + xuy = 0,u(0, y) = e−yux + xuy = 0,u(0, y) = sin y12. Решить задачу Коши213. Решить задачу Коши14. Решить задачу Кошиux + xuy = y − 1/2x22,u(0, y) = ey15. Решить задачу Кошиu(x, y)xux + yuy = u + 1,y=x2= x216. Решить задачу Коши√xux + uuy + u2 = 0,u(x, 0) = 1,0<x<∞17. Решить задачу Кошиyux + xuy = 0,ux2 +y 2 =1= sin x18. Решить задачу Коши−xux + yuy = 1,u= 2x,0<x<yy=3x19.

Решить задачу Кошиux + 3uy = u,u= cos xy=x20. Решить задачу Коши(x + y)ux + (x − y)uy = 1,√u(1, y) = 1/ 221. Используя разделение переменных, решить уравнениеut = c2 (uxx + uyy )22. Используя разделение переменных, решить уравнениеux uy = u223. Используя разделение переменных, решить уравнениеy 2 u2x + x2 u2y = (uxy)224. Используя разделение переменных, решить уравнениеyux − xuy = 025. Используя разделение переменных, решить уравнениеu2x + u2y = 126.

Используя разделение переменных, решить уравнениеu2x + u2y = uPage 427. Используя разделение переменных, решить уравнениеu2x + uy + x2 = 028. Используя разделение переменных, решить уравнениеx2 u2x + y 2 u2y = 129. Используя разделение переменных, решить уравнениеyux + xuy = 030. Используя разделение переменных, решить уравнениеx2 u2x + y 2 u2y = u2(ln u(x, y) = f (x) + g(y))31. Определить области, в которых уравнения имеют гиперболический, эллиптический или параболический типы и преобразовать их в этих областях к каноническим формамxuxx + uyy = x232. Определить области, в которых уравнения имеют гиперболический, эллиптический или параболический типы и преобразовать их в этих областях к каноническим формамuxx + y 2 uyy = y33.

Определить области, в которых уравнения имеют гиперболический, эллиптический или параболический типы и преобразовать их в этих областях к каноническим формамuxx + yxuyy = 034. Определить области, в которых уравнения имеют гиперболический, эллиптический или параболический типы и преобразовать их в этих областях к каноническим формамx2 uxx − 2yxuxy + y 2 uyy = ex35. Определить области, в которых уравнения имеют гиперболический, эллиптический или параболический типы и преобразовать их в этих областях к каноническим формамuxx + uxy − xuyy = 036. Определить области, в которых уравнения имеют гиперболический, эллиптический или параболический типы и преобразовать их в этих областях к каноническим формам√uxx − yuxy + xuyy = cos(x2 − 2y), y ≥ 037. Определить области, в которых уравнения имеют гиперболический, эллиптический или параболический типы и преобразовать их в этих областях к каноническим формамex uxx + ey uyy = u38.

Определить области, в которых уравнения имеют гиперболический, эллиптический или параболический типы и преобразовать их в этих областях к каноническим формамuxx − yuxy + xux + yuy + u = 0Page 539. Определить области, в которых уравнения имеют гиперболический, эллиптический или параболический типы и преобразовать их в этих областях к каноническим формамsin2 xuxx + sin 2xuxy + cos2 xuyy = x40. Определить области, в которых уравнения имеют гиперболический, эллиптический или параболический типы и преобразовать их в этих областях к каноническим формамx2 uxx − y 2 uyy − ux = 1 + 2y 241.

Найти общее решение уравненияx2 uxx + 2yxuxy + y 2 uyy + yxux + y 2 uy = 042. Найти общее решение уравнения4ux + 12uxy + 9uyy − 9u = 943. Найти общее решение уравненияuxx + uxy − 2uyy − 3ux − 6uy = 9(2x − y)44. Найти общее решение уравненияyux + 3yuxy + 3ux = 0,y 6= 045. Найти общее решение уравненияuxx − 2uxy + uyy = 046.

Найти общее решение уравненияuxx + 4uxy + 4uyy = 047. Найти общее решение уравнения3uxx + 4uxy − 3/4uyy = 048. Найти общее решение уравненияuxxxx + 2uxxyy + uyyyy = 049. Найти общее решение уравненияuxx + 10uxy + 9uyy = y50. Найти общее решение уравненияux x − 3uxy + 2uyy = 051. Найти характеристические координаты и преобразовать к канонической формеuxx + 2uxy + 3uyy + 4ux + 5uy + u = ex52. Найти характеристические координаты и преобразовать к канонической форме2uxx − 4uxy + 2uyy + 3u = 0Page 653. Найти характеристические координаты и преобразовать к канонической формеuxx + 5uxy + 4uyy + 7uyy + 7uy = sin x54.

Найти характеристические координаты и преобразовать к канонической формеuxx + uyy + 2ux + 8uy + u = 055. Найти характеристические координаты и преобразовать к канонической формеuxy + 2uyy + 9ux + uy = 256. Найти характеристические координаты и преобразовать к канонической форме6uxx − uxy + u = y 257. Найти характеристические координаты и преобразовать к канонической формеuxy + ux + uy = 3x58.

Найти характеристические координаты и преобразовать к канонической формеuyy − 9ux + 7uy = cos y59. Найти характеристические координаты и преобразовать к канонической формеx2 uxx − y 2 uyy − ux = 1 + 2y 260. Найти характеристические координаты и преобразовать к канонической формеuxx + yuyy + 1/2uy + 4yux = 061. Решить начальную задачу для волнового уравненияutt − c2 uxx = 0,ux,0 = 0,ut (x, 0) = 162. Решить начальную задачу для волнового уравненияutt − c2 uxx = 0,u(x, 0) = sin x,ut (x, 0) = x263. Решить начальную задачу для волнового уравненияutt − c2 uxx = 0,u(x, 0) = x3 ,ut (x, 0) = x64. Решить начальную задачу для волнового уравненияutt − c2 uxx = 0,u(x, 0) = cos x,ut (x, 0) = 1/e65. Решить начальную задачу для волнового уравненияutt − c2 uxx = 0,u(x, 0) = ln(1 + x2 ),ut (x, 0) = 266.

Решить начальную задачу для волнового уравненияutt − c2 uxx = x,u(x, 0) = 0,Page 7ut (x, 0) = 367. Решить начальную задачу для волнового уравненияutt − c2 uxx = x + ct,u(x, 0) = x,ut (x, 0) = sin x68. Решить начальную задачу для волнового уравненияutt − c2 uxx = ex ,u(x, 0) = 5,ut (x, 0) = x269. Решить начальную задачу для волнового уравненияutt − c2 uxx = xet ,u(x, 0) = sin x,ut (x, 0) = 070. Решить начальную задачу для волнового уравненияutt − c2 uxx = 2,u(x, 0) = x2 ,ut (x, 0) = cos x71.