12 Геометрические приложения (Лекции Линейная алгебра и ФНП)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 12x = ϕ(t),z = χ(t)(12.1)так, чтобы значение параметра t = 0 соответствовало точке M , т.е.

чтобыψ(0) = b,χ(0) = c.Предположим, что в точке t = 0 функции ϕ(t), ψ(t), χ(t) имеют производные, не обращающиесяв нуль одновременно.При сделанных предположенияхF ϕ(t), ψ(t), χ(t) ≡ 0,(12.2)∂F (a, b, c) 0∂F (a, b, c) 0∂F (a, b, c) 0ϕ (0) +ψ (0) +χ (0) = 0.∂x∂y∂z*Детальное описание поверхностей и их свойств выходит за рамки курса. Здесь мы опираемся на интуитивноепонимание термина «поверхность».ÌÃÒÓÔÍ-1251ÔÍ-12причем сложная функция в левой части тождества дифференцируема в точке t = 0. Поэтому,дифференцируя (12.2) в точке t = 0 по правилу дифференцирования сложной функции, получаемÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓy = ψ(t),ÔÍ-12Рассмотрим некоторую поверхность* S в пространстве.

Пусть точка M принадлежит поверхности S и существует такая плоскость π, проходящая через точку M , которая содержит касательные, построенные в точке M ко всем кривым, лежащимна поверхности S и проходящим через точку M . Плоскостьπ называют касательной плоскостью к поверхности S вMточке M (рис.

12.1). Прямую L, проходящую через точку M иперпендикулярную плоскости π, называют нормалью к поSверхности S в точке М .Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностиРис. 12.1S в точке M на этой поверхности найдем в предположении, чтов пространстве задана прямоугольная система координат Oxyzи выполнены следующие четыре условия.1◦ . Поверхность S задана уравнением F (x, y, z) = 0.2◦ . Известны координаты a, b, c точки M ∈ S.3◦ . Функция F (x, y, z) дифференцируема в точке М .4◦ .

Градиент функции F (x, y, z) в точке M отличен от нуля, т.е. grad F (a, b, c) 6= 0.Рассмотрим кривую γ, лежащую на поверхности S и проходящую через точку M . Зададимэту кривую параметрическими уравнениямиÌÃÒÓÌÃÒÓ12.1. Касательная плоскость и нормальÔÍ-12ÔÍ-12Касательная плоскость и нормаль к поверхности, условия их существования и вывод уравнений. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Формула Тейлорадля ФНП (без док-ва).ϕ(0) = a,ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯÌÃÒÓFx0 (a, b, c)(x − a) + Fy0 (a, b, c)(y − b) + Fz0 (a, b, c)(z − c) = 0.(12.3)Нормаль в точке M поверхности S определяется той же точкой M и тем же векторомgrad F (a, b, c), который является направляющим вектором этой прямой.

По этим данным можнозаписать уравнения нормали к поверхности S в точке M как канонические уравнения прямой:x−ay−bz−c==.Fx0 (a, b, c)Fy0 (a, b, c)Fz0 (a, b, c)(12.4)Замечание 12.1. Уравнения (12.3), (12.4) получены в предположении, что выполненыусловия 1◦ –4◦ в отношении поверхности S и точки M ∈ S. Значит, эти условия являютсядостаточными условиями существования касательной плоскости и нормали поверхности S вточке M .Fx0 (1, −2, 2) = 2,Fy0 (1, −2, 2) = −4,Fz0 (1, −2, 2) = 4.2(x − 1) − 4(y + 2) + 4(z − 2) = 0и уравнения нормали в этой точкеy+2z−2x−1==. #2−44ÔÍ-12Находим уравнение касательной плоскости в точке MÌÃÒÓПример 12.1. Найдем уравнения касательной плоскости и нормали к сфере x2 + y 2 + z 2 = 9в точке M (1; −2; 2).Легко убедиться, что, рассмотрев функцию F = x2 + y 2 + z 2 − 9, мы обеспечим выполнениеусловий 1◦ –4◦ в данной задаче.

Значит, касательная плоскость и нормаль к сфере в точке Mсуществуют. Для построения их уравнений определяем частные производные первого порядкафункции F : Fx0 (x, y, z) = 2x, Fy0 (x, y, z) = 2y, Fz0 (x, y, z) = 2z. Вычисляем значения частныхпроизводных в точке M (1; −2; 2):ÔÍ-12Замечание 12.2. Из приведенных рассуждений вытекает важное свойство градиента функции: если функция F (x, y, z) дифференцируема в точке (x0 ; y0 ; z0 ) и grad F (x0 , y0 , z0 ) 6= 0, тоградиент ортогонален поверхности уровня F (x, y, z) = C, где C = F (x0 , y0 , z0 ).

В самом деле,в этом случае вектор grad F (x0 , y0 , z0 ) является нормальным вектором касательной плоскости кповерхности F (x, y, z) − C = 0 в точке (x0 ; y0 ; z0 ).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓне зависящему от выбора кривой γ.Итак, все касательные векторы в точке M ∈ S всевозможных кривых, лежащих на поверхности S и проходящих через точку M , ортогональны градиенту grad F (a, b, c) функцииF (x, y, z). Построим плоскость π, проходящую через точку M и имеющую нормальный векторgrad F (a, b, c). Тогда касательный вектор любой кривой, лежащей на поверхности S, в точкеM будет параллелен плоскости π.

Согласно определению, плоскость π является касательнойплоскостью к поверхности S в точке M .Зная координаты a, b, c точки M , через которую проходит плоскость π, и координаты нормального вектора grad F (a, b, c) этой плоскости, можем записать общее уравнение плоскости π:ÔÍ-12ÔÍ-12называемый касательным вектором к кривой γ в точке M , ортогонален векторуgrad F (a, b, c) = Fx0 (a, b, c), Fy0 (a, b, c), Fz0 (a, b, c) ,ÌÃÒÓÌÃÒÓτ = (ϕ0 (0), ψ 0 (0), χ0 (0)),ÌÃÒÓÔÍ-12Записанное равенство означает, что векторÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ52ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ПРИЛОЖЕНИЯЛЕКЦИЯ 12. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕÌÃÒÓПример 12.2. Рассмотрим поверхность z = x2 /2 + y 2 /4 (это эллиптический параболоид).Найдем точку на этой поверхности, нормаль в которой параллельна прямойx−2yz+1==,1−11и запишем уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке.В нашем случае f (x, y) = x2 /2 + y 2 /4, fx0 = x, fy0 = y/2, так что направляющий векторнормали к поверхности в произвольной точке (x, y, z) имеет вид (x, y/2, −1).

По условию нормаль в искомой точке параллельна заданной прямой. Критерием параллельности двух прямыхв пространстве является коллинеарность их направляющих векторов. В результате, записываякритерий коллинеарности двух векторов, получаем соотношенияxy/2−1==.1−11(x + 1) − (y − 2) + (z − 3/2) = 0,или 2x − 2y + 2z + 3 = 0.3(x − 1) + 3(y − 1) − (z − 3) = 0и канонические уравнения нормалиПонятие касательной плоскости позволяет дать геометрическую интерпретацию дифференциалу функции нескольких переменных. Пусть функция z = f (x, y) двух переменных дифференцируема в точке (a, b).

Тогда ее дифференциал dz в этой точке равенdz = fx0 (a, b) dx + fy0 (a, b) dy.(12.7)ÔÍ-12y−1z−3x−1==. #33−1ÌÃÒÓПример 12.3. Найдем уравнения касательной плоскости и нормали к графику функцииf (x, y) = x2 + xy + y 2 в точке (1; 1; 3).Функция f (x, y) является дифференцируемой в точке (1; 1). Поэтому в соответствующейточке графика этой функции существуют касательная плоскость и нормаль к этому графику.Уравнения касательной плоскости и нормали можно получить с помощью формул (12.5) и (12.6).С учетом равенств fx0 (1, 1) = fy0 (1, 1) = 3 получаем уравнение касательной плоскостиÔÍ-12Из этих соотношений находим координаты точки P , в которой нормаль к поверхности параллельна заданной прямой: x = −1, y = 2, z = x2 /2 + y 2 /4 = 3/2. Остается записать уравнениекасательной плоскости в найденной точке исходя из координат этой точки и нормального вектора плоскости:ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ(12.6)ÔÍ-12ÔÍ-12x−ay−bz−c= 0=.0fx (a, b)fy (a, b)−1ÌÃÒÓÌÃÒÓАналогично по формуле (12.4) находим канонические уравнения нормалиÌÃÒÓÔÍ-12Пусть поверхность S задана уравнением z = f (x, y), где функция f (x, y) дифференцируема вокрестности точки M (a; b).

Найдем уравнения касательной плоскости и нормали в точке (a; b; c),где c = f (a, b).Поверхность S следует описать уравнением вида F (x, y, z) = 0 с дифференцируемой функцией F (x, y, z). В качестве этой функции можно взять F (x, y, z) = f (x, y) − z. Тогда условия1◦ –4◦ будут выполнены, и, следовательно, в точке M существуют касательная плоскость и нормаль к поверхности S. Уравнения касательной плоскости найдем по формуле (12.3). Так какFx0 (a, b, c) = fx0 (a, b), Fy0 (a, b, c) = fy0 (a, b), Fz0 (a, b, c) = −1, то уравнение касательной плоскостиимеет видfx0 (a, b)(x − a) + fy0 (a, b)(y − b) − (z − c) = 0.(12.5)ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ53ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ПРИЛОЖЕНИЯЛЕКЦИЯ 12. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ54В то же время уравнение z = f (x, y), рассматриваемое в прямоугольной системе координатOxyz, задает поверхность в пространстве, и эта поверхность в точке (a; b; f (a, b)) имеет касательную плоскость, уравнение (12.5) которой можно записать в видеz − c = fx0 (a, b)(x − a) + fy0 (a, b)(y − b).ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ПРИЛОЖЕНИЯЛЕКЦИЯ 12.