8,9 (Лекции в PDF), страница 2

Найдем ее скорость в системе К′. Используем формулы для преобразования координат и времениvdt −  2  dx c  , dx′ = dx − vdt ⇒dt ′ =v1−  cv1−  c2v1−  c22dx( dx − vdt )−vvx − vvx − vdx′== dt=⇒ vx′ =.v′x =2vvvdxdt ′ v v1−  2 1 −  2  vx1 −  2  vx dt −  c 2  dx  1 −  c c  dtc c    Пусть точка движется в системе отсчета К вдоль оси Y со скоростью vy.

Тогда ее скорость в22dyvvdy 1 −  1−  22dtdy′vvccсистеме К′: v′y ==== v y 1 −   ⇒ v′y = v y 1 −   .dt ′  v     v  dx cc dt −  c 2  dx  1 −  c 2  dt       Релятивистский импульс.Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение двух одинаковых частиц в системе отсчета К. При этом будем считать, что частица №1 массы m налеYтает на покоящуюся частицу № 2 массы m со скоростью v, двигаm vm M uясь вдоль оси X.

Из закона сохранения импульса вдоль оси X всистеме отсчета К следует№1№2mv = Mu .XvВ классическом приближении M = 2m , u = .2В релятивистском случае массы могут зависеть от величины скорости частиц m ( v ) v = M ( u ) u .Перейдем теперь в систему отсчета К′, которая движется вдоль оси X со скоростью v. Вэтой системе частица № 1 покоится, а № 2 движется со скоростью –v. Закон сохранения импульса вдоль оси X′ имеет вид−m ( v ) v = − M ( u ) u .Но по формуле преобразования скорости при переходе от системы К к системе К′:u−v2u−u =. Откуда v =. v u2 1−  2  u1+  2 c c Рассмотрим сохранение импульса вдоль оси Y – для этого перейдем в систему отсчетаК′′, которая движется против оси Y с некоторой скоростью v0. В этой системе отсчета1й курс.

2й семестр. Лекция 8, 9.62v - скорость налетающей частицы v′′ = v′′x + v′′y , где v′′y = v0 , v′′x = v 1 −  0  , c - скорость покоящейся частицы равна v0,222v - скорость образовавшейся частицы u ′′ = u x′′2 + u ′′y 2 , где u ′′y = v0 , u ′′x = u 1 −  0  . c Закон сохранения импульса вдоль оси Y: m ( v′′ ) v′′y + m ( v′′y ) v′′y = M ( u ′′ ) u ′′y .С учетом того, что скорости всех частиц вдоль оси Y одинаковые получаемm ( v′′ ) + m ( v′′y ) = M ( u ′′ ) .Это равенство выполняется при любых скоростях вдоль оси X.

В частности, при v′′y = v0 = 0 этосоотношение переходит в равенство: m ( v ) + m ( 0 ) = M ( u ) .Подставим его в уравнение для импульса вдоль оси X: m ( v ) v = M ( u ) u и получимm ( v ) v =  m ( v ) + m ( 0 )  u ,откуда m ( v ) = m ( 0 )u.v−uВыразим скорость u из равенства v =2u: u2 1+  2 c v2 22 c±c1−2 v2  c 22242 24vu − 2uc + c v = 0 , D = 4c − 4c v = 4c 1 − 2  , u1,2 =.v c  v2 c + c 1 − 2  v2  u1 c  c Решение== 1 +  1 − 2   > 1 надо отбросить как противоречащее постуcvv c  лату о максимальности скорости света. v2 c − c 1 − 2  c Подстановка второго решения u =, приводит к зависимостиv22 v2 c 2 − c 2 1 − 2  c v,m ( v) = m (0)2vc2 − c2 1 − 2  c v−vc −c2m ( v ) = m ( 0)2 v2 1 − 2  c  v   2 2  v 2   1 − 2  c − c  1 − 2   c   c  2= m ( 0)1 v2 1 − 2  c , т.е.

m ( v ) =m ( 0) v2 1 − 2  c .1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.7Величину массы в системе отсчета, где тело покоится, будем обозначать m0 = m ( 0 ) и называтьмассой покоя. Соответственно, величину m ( v ) =m0 v2 1 − 2  c принято называть релятивистскоймассой. Поэтому выражение для релятивистского импульса будет иметь вид p =m0 v= mv .v21− 2cВ классической механике при абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Но из закона сохранения импульса следуют выражения для масс M = 2m и для скоvростей u = .2 v2 c 2 − c 2 1 − 2 v2 c В релятивистском случае u =.

Если предположить, что 2 << 1 , т.е.vc2 1v c 2 − c 2 1 −2 22 v 1v 2 c  = v , т.е. классическое равенство выпол1−≈1−,тополучаем≈u2 2 c2v2 c няется только при v → 0 .Рассмотрим подробнее полученное соотношение для масс m ( v ) + m ( 0 ) = M ( u ) , котороевыполняется при любых скоростях. Если перейти в систему отсчета, где М покоится после удаuра, то в ней тела 1 и 2 будут двигаться до удара с одинаковыми скоростями , но направлен2ными навстречу друг другу. Следовательно, будет справедливо равенствоm0m0u u+= M0 .m   + m  −  = M ( 0 ) или22 2u u2 1 − 2  2 1 − 2  4c  4c u2u2 Для случая 2 << 1 , т.е.

когда 1 − 2 c 4c −1 22 1 u≈ 1 −  −  2 , получаем 2  4c 1 u2 ≈ 2m0  1 +2  2 4c u2 1 − 2  4c В системе отсчета, где составная частица покоится, обе движущиеся частицы имели суммарную22u u m0   m0  2 2  +  2  = m0u , поэтому равенствоклассическую кинетическую энергию W =2242mu2m0 + 0 2 = M 04cпоказывает, что масса образовавшейся частицы больше суммарной массы покоя частиц за счетналичия кинетической энергии.

Если покоящемуся телу массы m0 приписать энергию покояW0 = m0 c 2 ,то это равенство для масс можно трактовать как закон сохранения энергии2m0M 0 c 2 = 2m0 c 2 + WКИН .1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.8Основное уравнение релятивистской динамики.dp=F.dtЭто выражение должно быть справедливым в любой инерциальной системе отсчёта, т.е. и в реdddmdvлятивистской. Запишем его в видеp = ( mv ) = v+m=F.dtdtdtdt( v, a ) −2 2 m0 ( v, a ) vm0 ( v, a )m0dm d  1cНо, поэтому+ ma = F .= = m0  −=323222 32dt dt  v 2 2  v2 vv22 1−c 1 − 2 1 − 2   c 1 − 2   c 2  c  c  c Отсюда видно, что вектор ускорения и вектор силы не совпадают по направлению.1) Если вектор скорости и ускорения перпендикулярны друг другу, то ma = F2) Если вектор скорости и ускорения параллельны друг другу, то в случае,m0 av 2если они сонаправлены ( v, a ) v = vav = vav = av 2 и+ ma = F , т.е.2 32vc 2 1 − 2  c В классической механике второй закон Ньютона имеет вид22m0m0 vm0v+ ma = F ,+ 1 a = F ,a=F22 322 322 2 v  vvv2 c 1−1 − 2 1 − 2   c 1 − c 2    c2   c  c   Но если они направлены противоположно ( v, a ) v = − vav = − vav = − av 2 , тоv2 1−2c2 m0v21 −a = F , m a =F.0322 v2  v2   c2 1 − v  2 1 − 2 1 − 2   c  c  c m ( v, a )( v, v )В общем случае для мощности силы находим, что 0+ m ( v, a ) = F , v ,2 32vc 2 1 − 2  c ( v22m0 ( v, a )( v, v )m0c++ 1( v, a ) = F , v , 22 322v v  v 1−c 2 1 − 2 1−22  c   c  c ()m0 ( v, a )()()= F, v , v2 1 − 2  c 2m0 ( v, a )m0 ( v, a )1d  m0 c =F,v,=F,v,т.е.= F, v .2 2 32dt v2   v2 vv 1− 2 1 − 2  1 − 2 1 − 2 cc   c  c По теореме об изменении кинетической энергии должно выполняться равенствоWКИН _ 2 − WКИН _1 = A()())1й курс.

2й семестр. Лекция 8, 9.9Следовательно, можно принять в качестве кинетической энергии выражениеm0 c 2WКИН =+ C . Значения постоянной С определим из условия равенства нулю кинетичеv21− 2cской энергии при нулевой скорости 0 = m0 c 2 + C , откуда C = −m0 c 2 . ИтакWКИН =m0 c 21−С учетом выражения m =m01−v2При малых скоростях 2 << 1 ,c2vc22vc2− m0 c 2 ., можно записать WКИН = ( m − m0 ) c 2 . v2 = 1 − 2 v2  c 1− 2c1−122 1v≈ 1 −  −  2 , поэтому получаем классиче 2 cm0 v 2v2 2скую формулу для кинетической энергии WКИН ≈ m0 c 1 + 2  − m0 c =.2 2c 2m 2c 4m 2 v2Рассмотрим подробнее выражения (WКИН + m0 c 2 ) = 0 2 и p 2 c 2 = 0 2 .vv1− 21− 2cc2 42m cm 2 v2Они связаны очевидным соотношением (WКИН + m0 c 2 ) − p 2 c 2 = 0 2 − 0 2 = m0 2 c 4 .vv1− 2 1− 2ccЕсли ввести энергию покоя тела W0 = m0 c 2 , то полная энергия тела будет определяться формулойm0 c 22222W = WКИН + W0 = ( m − m0 ) c + m0 c = mc или W = mc =v21− 2c22 22 4Так как правая часть выражения W − p c = m0 c не зависит от системы отсчета, то соотношение между полной энергией и импульсом – является инвариантом при любых преобразованияхинерциальных систем отсчетаW 2 − p 2 c 2 = inv .Преобразование импульса и энергииm0uПусть в системе отсчета К импульс тела направлен вдоль оси Х: p = px =.

Соотu21− 2c2m0 cветственно, полная энергия тела W =. В системе отсчета К′, которая движется вдольu21− 2cm0u ′m0 c 2, а энергия W =оси X со скоростью v, импульс тела будет равен p′ = px′ =.u ′2u ′21− 21− 2cc21й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.10Но скорости связаны соотношением u =Тогда px =u′ + v.vu ′1+ 2cu′ + v, px =2v 1 + 2 u′c1  u′ + v 1− 2 c  1 + v u′  c2 m0u′ +u ′21− 2cp =m0m0 ( u ′ + v ) vu ′  ( u ′ + v )1 + 2  −c c222, px =m0 ( u ′ + v ) u ′2   v 2  1 − 2  1 − 2 c   c ,m0 c 2v2u ′2 cW′1− 2p x′ + 2 vcc,=x2vv21− 21− 2ccv v m0 c 2  1 + 2 u ′ m0 c 2 1 + 2 u ′ 22m0 cm0 c c  c  ,W==,W==2222u u ′2   v 2 v  ( u′ + v )1− 21 − 2  1 − 2 1 + 2 u′  −2cc   c 1  u′ + v cc1− 2 c  v  1 +  c 2  u′    m0 c 2m0u ′+v u ′2  u ′2 1 − 2 1 − 2 c c W ′ + p′x vW==. v2  v2 1 − 2 1 − 2  c  c Теперь сравним формулы преобразования импульса, энергии и координатvW′W′ p x′ +  2  v+ p′x 22 cW   c c px ==2 22c v v 1− 21 − 2 c c x′ + vt ′vx′ + t ′2cv2t=1− 2v2c1− 2cЕсли установить парное соответствие – энергия (деленная на с2) + время, проекция импульса +координата, то можно увидеть, что их формулы преобразования этих пар идентичны.x=Преобразование частоты.Рассмотрим монохроматическую световую волну, распространяющуюся вдоль оси X.Фаза волны Φ = ωt − kx + α .

Количество длин волн, которое пройдет между двумя точками x1 иω ( t2 − t1 ) − k ( x2 − x1 )x2 за промежуток времени от t1 до t2 определяется как N =. Эта величина2πне меняется при переходе к другой системе отсчета. Следовательно, не должна меняться фаза1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.11волны – т.е. максимуму волны в одной системе отсчета должен соответствовать максимум в2πνдругой системе.