8,9 (Лекции в PDF)

1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.1Лекция 8, 9. «Элементы релятивистской механики».Преобразования Галилея. Инвариантность уравнений механики относительно преобразованийГалилея. Специальная теория относительности. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Кинематические следствия из преобразований Лоренца. Релятивистский закон сложения скоростей. Интервал. Элементы релятивистской динамики. Взаимосвязь массы и энергии.Связь между импульсом и энергией релятивистской частицы.

Основное уравнение релятивистской динамики.Математическое отступление.Понадобится формула разложения в ряд Тейлора для малых xα(1 − x ) ≈ 1 − α xПринцип относительности ГалилеяЗаконы классической механики не зависят от выбора инерциальной системы отсчета.Время является абсолютным параметром, оно не зависит от систем отсчета, везде течет впередс одинаковой скоростью. Может меняться только начальный момент времени.Если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых движется равномерно прямолинейно (и поступательно) относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент в одинаковых условиях, то результат будет одинаковым.

Это приводит к требованию инвариантности уравнений классической механики относительно преобразований Галилея.При переходе от одной системы отсчета к другой радиус-векторы точек связаны соотношениемR2 = R1 + R21 ,где R21 - вектор, задающий положение одной системы отсчета относительно другой. Промежутки времени одинаковые ∆t1 = ∆t2 . Учитывая, что масштаб времени не меняется, получаемуравнения связи для скоростей и ускоренийv 2 = v1 + v 21 , a2 = a1 + a21 ,где v 21 =dR21dv, a21 = 21 - векторы скорости и ускорения второй системы отсчет относительноdtdtпервой.Все инерциальные системы отсчета могут двигаться с разными скоростями, но их относительные ускорения нулевые, поэтому при переходе от одной инерциальной системы к другойускорения точек не меняется. Так как векторы сил тоже не зависят от системы отсчета, то согласно принципу Галилея второй закон Ньютона в них выглядит одинаковоma = F .Специальная теория относительности.СТО создана Эйнштейном в 1905 г.Сигнал - это процесс, с помощью которого можно передать из одной точки в другую силовое воздействие.

Т.е. сигнал должен передавать импульс и энергию. В СТО сигналом является световой (электромагнитный) сигнал.Постулаты СТО1. Принцип постоянства скорости света: скорость света не зависит от движения источника иодинакова во всех инерциальных системах отсчета в вакууме и является предельной скоростьюпередачи сигнала. Величина скорости света в вакууме равна c ≈ 3 ⋅108 м/с.2. Принцип относительности. Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системахотсчета, следовательно, уравнения выражающие законы природы инвариантны при переходе отодной инерциальной системы отсчета к другой.Скорости точек, величина которых сравнима со скоростью света (и, конечно, обязательно меньше!) принято называть релятивистскими.1й курс.

2й семестр. Лекция 8, 9.2С помощью сигнала можно производить синхронизацию часов (согласование показаний), расположенных в различных точках пространства – из одной точки в момент времени t пособственным часам отсылается сигнал во вторую точку, находящуюся на расстоянии L. Во втоLрой точке на собственных часах выставляется время t + .cРассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К′. ПустьK′системаК′ поступательно движется вдоль оси Х системы К со скороK Z′Y′vZстью v так, что соответствующие оси обеих систем остаются паралYлельными друг другу.Так как при малых скоростях поперечные координаты тел воX′всехинерциальныхсистемах отсчета одинаковы, то это должно выXполняться и при релятивистских скоростях.

Действительно, если рассмотреть последовательность инерциальных систем отсчета, движущихся в одном направлении,значение скоростей которых возрастает на небольшую величину при переходе от одной системы к другой, то получим, что при любых попарных сравнениях всегда поперечные размеры неменяются.В системе К′ рассмотрим сигнал, пущенныйZ′вдоль оси Z′ из точки О′.

Пусть этот сигнал отразившисьZот покоящегося в этой системе отсчета зеркала вернетсяO1O2O′обратно в точку О′. Если расстояние между точкой О′ изеркалом равно S, то по собственным часам системы К′X′ v2Sпройдет промежуток времени ∆t ′ =. РасстояниеXcвдоль вертикальной оси в обеих системах одинаковое.Скорость светового сигнала тоже одинаковая.

Так как точка О′ движется относительно системыК, то в этой системе отсчета сигнал будет испущен в точке О1 и принят в точке О2. Поэтому пособственным часам системы К промежуток времени надо определить из равенства ∆t 2 S2 +v⋅  2 ∆t =. Откуда ∆t =c22S(c) − ( v)22∆t ′ 2 S=. Поэтому∆tcc2 − v2v2= 1 − 2 . Таким2Scобразом, промежутки времени в обеих системах отсчёта связаны соотношением∆t ′∆t =.v21− 2cПусть в подвижной системе отсчета К′ параллельно оси X′ расположен стержень длинойL0. При движении этого стержня со скоростью V вдоль оси Х неподвижной системы К он пройLдет неподвижные часы за время ∆t0 = .

В системе К′ эти же часы пролетят стержень за времяVL∆t = 0 . Так как часы движутся со скоростью V, то их показания в неподвижной системе отсчеV∆t0та связаны с показаниями в подвижной системе ∆t =. Откуда получаемv21− 2cL ∆t0v2== 1 − 2 илиL0 ∆tc1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.3v2.c2Таким образом, понятие длины является относительным. Однако, уменьшение длины – это кинематический эффект, поэтому в теле не возникает никаких деформаций.L = L0 1 −O′x′vtxOЗакон преобразования координатТак как координата – это расстояние вдоль координатной оси от нулевой точки, то координате x′ вvX′движущейся системе К′ соответствует отрезок O′x′,длина которого x′.

Поэтому в системе К ему соотXv2ветствует длина x′ 1 − 2 . В системе К координаcv2та точки O′ равна vt, поэтому x′ 1 − 2 = x − vt . В координатной записи справедливо равенстcv2во x = x′ 1 − 2 + vt илиcx′ =x − vt.v21− 2cНо системы отсчета К и К′ равноправны. Поэтому можно считать, что система К движется отx′ + vt ′носительно К′ в противоположном направлении оси X′ со скоростью -v.

Поэтому x =.v21− 2cИспользуя эти формулы, найдем формулы преобразования для времениx′ + vt ′− vtv2v21− 2x′ + vt ′ − vt 1 − 222x − vtcc , x′ 1 − v  = x′ + vt ′ − vt 1 − v ,x′ ===2 v2c2v2v2 c 1−1− 21− 2c2ccv2v2′vt 1 − 2 = x 2 + vt ′ , откудаccvx′ + t ′2ct=.v21− 2cАналогично,vx2ct′ =v21− 2cОкончательно формулы преобразования координат и времени при переходе от одной системыотсчета к другой в данном случае движения имеют вид:t−41й курс.

2й семестр. Лекция 8, 9. vt − 2  x c  , x′ = x − vtt′ =22vv ,1−  1−  ccy′ = y,z ′ = z.Таким образом, в СТО время является координатой. Т.е. положение точки задается 4-мякоординатами ( t ,x, y,z ) . Это 4х мерное пространство называется мировым пространством.Каждая точка мирового пространства называется мировой точкой. Траектория точки в мировомпространстве называется мировой линией.

Например, если точка покоится в обычном 3х мерномпространстве, то её мировой линией является прямая, параллельная оси t.Интервалом между двумя событиями (мировыми точками) в СТО называется величина,квадрат которой определяется соотношением2222s 2 = c 2 ( t2 − t1 ) − ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )  .Найдем квадрат интервал между двумя событиями в системе К′:2222s′2 = c 2 ( t2′ − t1′ ) − ( x2′ − x1′ ) + ( y2′ − y1′ ) + ( z2′ − z1′ ) 22  t2 − t1 −  v  ( x2 − x1 )  2xxvtt−−−()22c21 s′2 = c 2 −  2 1+ ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) 22vv 11−−cc  ( c + v )( t2 − t1 ) − 1 +  v   ( x2 − x1 )  ( c − v )( t2 − t1 ) + 1 −  v   ( x2 − x1 ) 22  c   c s′2 =  − ( y2 − y1 ) − ( z2 − z1 )22vv1−  1−  cc  2222s′2 = c 2 ( t2 − t1 ) − ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )  = s 2Получается, что величина интервала не зависит от системы отсчета.

Как принято говорить, интервал является инвариантной величиной s′2 = inv .При преобразованиях Галилея время абсолютно, поэтому инвариантность интервала эквивалентна сохранению расстояния между двумя точками в обычном трехмерном пространствепри переходе от одной системы отсчета к другой. Поэтому интервал в СТО является аналогомрасстояния между двумя мировыми точками.Интервал называется времениподобным, если s 2 > 0 и пространственноподобным, еслиs 2 < 0 . Для светового луча всегда s 2 = 0 , что равносильно уравнению2222c 2 ( t2 − t1 ) − ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )  = 0 ,определяющую в обычном трехмерном пространстве расширяющуюся с течением времени сфе2222ру ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) = R 2 , квадрат радиуса которой R 2 = c 2 ( t2 − t1 ) .Поверхность в мировом пространстве, для которой s 2 = 0 называется световым конусом.Световой конус можно задать для любой точки пространства.

Если два события как две мировые точки связаны времениподобным интервалом, то одна из этих точек лежит внутри светового конуса другой точки и существует такая трехмерная система отсчета, в которой два события,соответствующие этим мировым точкам, произошли в одном месте, но в разное время.1й курс. 2й семестр. Лекция 8, 9.5И наоборот, если два события как две мировые точки связаны пространственноподобным интервалом, т.е.

ни одна из этих точек не лежит внутри светового конуса другой точки, тосуществует такая трехмерная система отсчета, в которой эти два события произошли одновременно, но в разных точках.Если между двумя событиями можно установить причинно-следственную связь, то естьможно сказать, что одно событие является причиной другого, тогда мировые точки, соответствующие этим событиям должны быть связаны времениподобным интервалом.Преобразование скорости.Пусть точка движется в системе отсчета К вдоль оси Х со скоростью vx.