6 (Лекции в PDF)

1й курс. 2й семестр. Лекция 61Лекция 6. «Колебания» (продолжение).Свободные затухающие колебания. Декремент и логарифмический декремент колебаний. Вынужденные колебания. Установившиеся вынужденные колебания.Механический резонанс.mРассмотрим движение тела в вязкой среде под действием кваХ зиупругой силы вблизи положения равновесия (например,движение поршня на невесомой пружине). Будем считать, чтосила сопротивления пропорциональна скорости тела:FСОПР = − r ⋅ v , где r – коэффициент сопротивления (Н⋅с/м)Уравнение движения поршня можно записать в виде ma = −kx − rv илиɺɺx + 2β xɺ + ω20 x = 0rkгде введены обозначения 2β = , ω02 = . Это уравнение называется уравнениемmmсвободных затухающих колебаний.

Если r = 0, то получаем уравнение свободных2πнезатухающих колебаний ɺɺx + ω02 x = 0 с периодом T0 = .ω0Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергийWМЕХ2 xɺ 2mv 2 kx 22 x =+= m  + ω0  .222 2Для затухающих колебаний механическая энергия не остаётся постоянной а убывает:dWMEX d   xɺ 2x 2  ɺɺɺ + ω02 xxɺ ) = mxɺ ( ɺɺ= m  + ω02   = m ( xxx + ω02 x ) = mxɺ ( −2β xɺ ) = − rxɺ 2 < 0 .dtdt   22  Будем искать решение уравнения свободных затухающих колебаний в видеx = e . Подставив в уравнение и, сокращая, получаем характеристическое уравнениеλ 2 + 2β ⋅ λ + ω02 = 0 .Дискриминант этого квадратного уравнения D = 4 β 2 − 4ω02 ,λt−2 β ± 4 β 2 − 4ω02значения корней λ1,2 == − β ± β 2 − ω02 .2Поэтому решение уравнения должно иметь видλ1tx = C1e + C2 eλ2t(− β +=Ce1)β 2 −ω02 t(−β −+C e2)β 2 −ω02 t(= e− β t C1et β 2 −ω02+ C2 e− t β 2 −ω02),где С1 и С2 – постоянные коэффициенты.Воспользуемся формулой Эйлера: eiωt = cos (ωt ) + i sin (ωt ) , где i = −1 .При β 2 − ω02 > 0 решение не описывает колебания.Колебания будут наблюдаться, если β 2 − ω02 < 0 .

Введем обозначение ω 2 = ω02 − β 2 .Тогда β 2 − ω02 = −ω 2 = i ⋅ ω и решение уравнения примет видx = A0 e − β t sin ( ωt + ϕ ) .1й курс. 2й семестр. Лекция 62Оно описывает свободные колебания циклической частоты ω, затухающие с течением времени. Циклическая частота затухающих колебаний ω = ω02 − β2 , периодT=2π2π=.ωω02 − β2Необходимым условием колебательного движения является неравенство β < ω0 .Величина A = A0 e−βt является амплитудой затухающих колебаний.

С течением времени амплитуда убывает – говорят, что колебания затухают. Временем затухания (временем релаксации) называется время τ, за которое амплитуда убывает в еразA (t )A (t + τ)=A0 e −βtA0 e−β( t +τ )= e , eβτ = e , откуда τ =1.βxtЧисло полных колебаний, совершаемое системой за это время N e =τ1=.T βTДекремент затухания – отношение амплитуд колебаний спустя период∆=A(t )A0 e −βt== eβ T .−β( t +T )A ( t + T ) A0 e1δЛогарифмический декремент затухания δ = ln ∆ = βT .

Поэтому N e = .πназывается добротностью колебательной системы.δkA2 kA0 2 e −2βtЭнергию колебаний в момент времени t можно определить как W ==.22−2 β t +TkA 2 e −2βt kA0 2 e ( ) kA0 2 e−2βtУбыль энергии за один период W1 − W2 = 0−=1 − e −2βT ) .(222Величина Q = πN e =Рассмотрим отношение запасенной энергии к убыли энергии за один периодколебанийW1=.W1 − W2 1 − e −2βT1й курс. 2й семестр. Лекция 63При малом логарифмическом декременте затухания δ = βT << 1 воспользуемся разложением1 − e −2βT = 1 − (1 − 2β T + ...) ≈ 2β T .

Т.к, T =2π, ω = ω02 − β2 и при малых β можно приωближенно считать ω ≈ ω0 , тоW11ωQ====.2πW1 − W2 2β T 2β2β2π 2πωДля затухающих свободных колебаний добротность характеризует скорость убывания энергии при малых затуханиях.Фазовый портрет свободных затухающих колебаний.Пусть задан закон колебательного движенияx = A0 e −βt sin ( ωt + α ) .Тогда скорость при колебанияхpxvx = xɺ = −β A0 e−βt sin ( ωt + α ) + ωA0 e −βt cos ( ωt + α ) .0Импульсpx = mvx = − mβ A0 e −βt sin ( ωt + α ) + mωA0 e−βt cos ( ωt + α ) .xТак как sin ( ωt + α ) =p + mβxxи cos ( ωt + α ) = x, то−β tA0 emωA0 e −βt22 x   px + mβ x sin ( ωt + α ) + cos ( ωt + α ) = +=1.−β t −β t  A0 e   mωA0 e 22Фазовая траектория представляет собой сужающуюся к нулевой точке спираль(т.к. с течением времени значения x и px стремятся к нулю).

Вращение происходитпо часовой стрелке.Вынужденные колебания.Рассмотрим движение тела в вязкой среде вблизи положения равновесияпод действием квазиупругой силы и некоторой периодической силыF ( t ) = F0 cos ( Ωt + α ) .Второй закон Ньютона ma = −kx − rv + F ( t ) перепишем в видеɺɺx + 2βxɺ + ω02 x = f 0 cos ( Ωt + α )где введены обозначения 2β =Frk, ω02 = , f 0 = 0 .

Это уравнение называется уравmmmнением вынужденных колебаний. Решением этого обыкновенного дифференциального уравнения является сумма решений однородного и частного решения неоднородного уравнений.Однородное уравнениеɺɺx + 2β xɺ + ω20 x = 0является уравнением свободных затухающих колебаний.Частное решение неоднородного уравненияɺɺx + 2βxɺ + ω02 x = f 0 cos ( Ωt + α )1й курс. 2й семестр.

Лекция 64будем искать в виде xB = AB cos ( ωB t + α B ) . Изобразим это уравнение на амплитудновекторной диаграмме, на которой величинеYf0 Ωt+αω02 xB = ω02 AB cos ( ωB t + α B ) соответствует вектор AB1 , такойчто AB1 = ω02 AB .AB2ABπωBt+αB Так как xɺB = −ωB AB sin ( ωB t + α B ) = ωB AB cos  ωB t + α B +  , то0XAB32πвеличине 2βxɺB = 2βωB AB cos  ωB t + α B +  соответствует2вектор AB 2 , повернутый относительно вектора AB1 на уголπ, длина которого2AB 2 = 2βωB AB .Величине ɺɺxB = −ωB 2 AB cos ( ωB t + α B ) = ωB 2 AB cos ( ωB t + α B + π ) соответствует вектор AB 3 ,повернутый на угол π относительно вектора AB1 и AB 3 = ωB 2 AB .В правой части уравнения величине f 0 cos ( Ωt + α ) соответствует вектор f0 .Уравнению ɺɺx + 2βxɺ + ω02 x = f 0 cos ( Ωt + α ) будет соответствовать векторная суммаAB1 + AB 2 + AB 3 = f 0 .Так как длины векторов не меняются, то это равенствоYвозможно только для случая ωB = Ω .

Таким образом,AB3 AB2вынужденные колебания происходят с частотой выθнуждающей силы.f0ABИз диаграммы следует, что при этом должно выполΩt+αωBt+αB няться равенство f 02 = ( AB1 − AB 3 )2 + AB2 2 , поэтому получаем0f 02 = ( ω20 AB − Ω 2 AB ) + ( 2βΩAB ) .2X2Откуда находим амплитуду вынужденных колебаний:AB =f0(ω20−Ω)2 2+ 4β Ω2.2Обозначим θ = α − α B - разность фаз вынуждающей силы и вынужденных колебаний.Из диаграммы следует, что tg θ =AB 22βωB AB2βΩ, т.е.

tg θ = 2= 2.2AB1 − AB 3ω0 AB − ωB AB ω0 − Ω 2Таким образом, при ω0 > Ω получаем, что θ>0 – вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, а при ω0 < Ω - вынужденные колебанияопережают по фазе вынуждающую силу.Следствие. Под действием периодической силы тело совершает два вида колебаний - свободные затухающие с собственной частотой ω, и вынужденные – с частотой вынуждающей силы Ω. Затухающие колебания с течением времени прекратятся и останутся только вынужденные колебания – их называют установившимися.1й курс.

2й семестр. Лекция 65Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды установившихся колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной резонанснойчастоте системы.Найдем, при какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденныхколебаний будет иметь максимальное значение. Для этого найдем экстремум амплитуды:∂AB= 0,∂Ω()222∂AB1 f 0 2 ( −2Ω ) ( ω0 − Ω ) + 8β Ω=−=32∂Ω222 22 2( ω0 − Ω ) + 4β Ω)(f 0 Ω ( ω02 − Ω 2 − 2β2 )((ω − Ω ) + 4β Ω )2 220232=0.2Первое решение Ω=0 соответствует постоянной сдвигающей силе и отсутствиювынужденных колебаний.Второе (ограниченное) решение Ω REZ = ω02 − 2β2 называется резонансной частотой системы.

Отсюда вытекает условие возникновения резонанса β <ω02.Амплитуда колебаний при резонансеAB _ REZ =f0(ω20− ω + 2β20)2 2+ 4β ( ω − 2β2202)=f04β ω − 4β2204=f02β ω02 − 2β2.Предельное значение амплитуды вынужденных колебаний при постоянной(сдвигающей) силе (когда Ω=0) – это статическое отклонение на величинуA0 B =f0.ω20AB1=.A0 B2 22 Ω β2  Ω 1 −    + 4 2    ω0  ω0  ω0 A1При резонансе оно примет вид B _ REZ =.A0 Bββ221− 2 2ω0ω0ΩОбозначим x =и построим графики зависимости амплитуды от частоты дляω0Рассмотрим отношениеразличных значений параметров.

(График зависимости амплитуды вынужденныхколебаний от частоты называется резонансной кривой.).Зависимость резонансной частоты и резонансной амплитуды от параметразатухания0,040,070,10,20,30,4β/ω00,998398710,995088 0,989949 0,959166 0,905539 0,824621Ω/ω08AB _ REZ12,52004817,178117 5,050763 2,60643 1,840525 1,515848A0 B31й курс.