4 (Лекции в PDF), страница 2

Она является частным случаем силы всемирного тяготения.3) Сила кулоновского взаимодействия.4) Сила упругости.Для каждой из консервативных сил можно определить потенциальную энергию.Потенциальная энергия для консервативной силы - это физическая величина, зависящая только от положения точки (тела) относительно других тел,уменьшение которой равно работе соответствующей силы, действующей наточку (тело).WΠОТЕНЦ_НАЧАЛЬНАЯ - WΠОТЕНЦ_КОНЕЧНАЯ = A(Обратите внимание на порядок индексов). Потенциальная энергия, как и работа,измеряется в Джоулях. Потенциальная энергия – это энергия, определяемая положением тела. В одном и том же положении тело будет иметь одинаковую потенциальную энергию.Замечание.

Поскольку в определении сказано о разности энергий, то энергиюможно определить несколько «произвольным образом» - к определяющим соотношениям можно прибавить любую постоянную величину С, которая при взятииразности пропадет:( WΠ_НАЧ + C ) - ( WΠ_КОН + C ) = A .1й курс. 2й семестр.

Лекция 461) Таким образом, потенциальная энергия определена с точностью до константы. Поэтому нельзя говорить об абсолютном значении потенциальной энергиибез указания «начала отсчета» - точки, где указано конкретное значение энергии.2) Работа консервативной силы не зависит от пути, вдоль которого двигалосьтело, а только от него начального и конечного положений. Следовательно, работа консервативной силы по замкнутому пути равна нулю.НАЧКОН∫ ( F ,dl ) = WПОТ − WПОТ .ПутьНАЧПОТДля замкнутого пути WКОН= WПОТ, поэтому∫ ( F ,dl ) = 0 . (Кружок в знаке интеграПутьла показывает, что путь замкнутый.)Замечание. Нельзя сказать, что если работа силы по замкнутому контуру равнанулю, то эта сила – консервативная.

Например, вектор магнитной составляющейсилы Лоренца всегда направлен перпендикулярно вектору скорости, поэтому работа этой силы по любой траектории, в том числе и по замкнутой, равна нулю. Ноэта сила не является консервативной – она относится к гироскопической.Рассмотрим две близкие точки в пространстве, смещенные друг от друга намалый вектор dr = ( dx,dy,dz ) , координаты которых ( x, y,z ) и ( x + dx, y + dy,z + dz ) .Работа консервативной силы F при перемещении между этими точкамиНАЧКОНКОННАЧA ≈ Fx dx + Fy dy + Fz dz = WПОТ− WПОТ= − (WПОТ− WПОТ).Но изменение потенциальной энергии при перемещении между точками можнозаписать в видеКОННАЧWПОТ− WПОТ≈ ( gradW ,dr ) =илиFx dx + Fy dy + Fz dz = −∂W∂W∂Wdx +dy +dz .∂x∂y∂z∂W∂W∂Wdx −dy −dz∂x∂y∂zТак как вектор dr = ( dx,dy,dz ) произвольный, то поэтому Fx = −Fz = −∂W∂W, Fy = −,∂x∂y∂W, т.е.

для консервативной силы должно выполняться равенство∂zF = − gradW .Изоэнергетической поверхностью в пространстве называется поверхностьуровня энергии, т.е. поверхность на которой величина энергии остается постоянной. Изоэнергетическая поверхность для потенциальной энергии называется также эквипотенциальной поверхностью.Таким образом, вектор консервативной силы направлен в сторону скорейшего убывания потенциальной энергии перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.Примеры потенциальной энергии.1) Найдем потенциальную энергию для силы гравитационного взаимодействияFГРАВ = Gm1m 2.R21й курс.

2й семестр. Лекция 47Пусть R – радиус-вектор в системе отсчёта, связанной с точкой m1. Тогда векторгравитационной силы, действующей на материальную точку m2, направлен противоположно R FГРАВ = -GRm1m2eR , где eR =   - единичный вектор направления для2RRвектора R . Т.к. сила гравитации – консервативная, то должно выполняться равенствоНАЧКОН∫ ( F ,dr ) = WПОТ − WПОТ .ПутьЭтот интеграл не должен зависеть от траектории, поэтому будем интегрироватьвдоль радиус-вектора dr = dR .

Векторы FГРАВ и dR направлены противоположно,поэтому( FГРАВ ,dr ) = − FГРАВ dR .()RКОНRКОНmmmmFГРАВ ,dr = ∫ ( − FГРАВ dR ) = ∫  −G 1 2 2 dR  = G 1 2∫RRПутьRНАЧRНАЧ mmmmНАЧКОНСравниваем: WПОТ− WПОТ= G 1 2 −G 1 2 .RКОНRНАЧRКОНRНАЧ=Gm1m2mm−G 1 2RКОНRНАЧСледовательно, потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек определяется выражениемWПОТ.ГРАВ = -Gm1m2+С .RОбратите внимание на знак минус! (Обычно принимают, что С=0.)2) Для силы тяжести FТ=mg потенциальная энергия WП = mghЗдесь высота h определяется выбором начала отсчета энергии.zПроверим соотношение F = − gradW .В системе отсчёта, связанной с землёй , введем систему координатmgтак, чтобы ось z была направлена вверх (против вектора силы тяy жести), тогда потенциальная энергия тела равна WП = mgz + C , где Сxопределяется началом отсчета координаты z.Эквипотенциальная поверхность – горизонтальная плоскостьz=const , поэтому вектор силы должен быть направлен ей перпендикулярно, т.е.вертикально.

Величина энергии увеличивается вверх, поэтому вектор силы должен быть направлен вниз. Действительно, Fx = −Fz = −∂W∂W= 0 , Fy = −= 0,∂x∂y∂W= − mg . Т.е. вектор силы F = ( 0 , 0 , − mg ) в этой системе координат действи∂zтельно направлен вертикально вниз.3) Для силы кулоновского взаимодействия: FКУЛ = kWПОТ.КУЛ = k| q1q 2 |потенциальная энергия:R2q1q 2+C.R(Обычно С=0. В случае если заряды разного знака, то потенциальная энергия отрицательна.)1й курс. 2й семестр. Лекция 484) Для силы упругости FУ = kx потенциальная энергия: WПОТ.УПР = kx2+C2(Обычно С=0.)Потенциальная энергия для обобщенного закона Гука( εl ) = kl ε2 SlklИз соотношений x = εl , E = , получаем WПОТ.УПР = kS2S 2Учитывая, что объем деформируемого тела V = Sl , находим энергию при возник2новении относительной деформации величиной ε:Eε 2WПОТ.УПР =V.2ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ.Определение.

Полной механической энергией тела (системы) называетсяэнергия, определяемая движением и положением тела относительно других тел,т.е. сумма потенциальной и кинетической энергийWМЕХАН = WКИН +WПОТ.Рассмотрим тело, на которое действуют только консервативные силы. Изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе действующих на неесил:WKИН_КОНЕЧ - WKИН_НАЧ = A .Но, так как в системе действуют только консервативные силы, то для них можноввести потенциальную энергию и выразить работу через уменьшение потенциальной энергии:A = WПОТ_НАЧ - WПОТ_КОНЕЧ .Следовательно, WKИН_КОНЕЧ - WKИН_НАЧ = A = WПОТ_НАЧ - WПОТ_КОНЕЧили WKИН_КОНЕЧ + WПОТ_КОНЕЧ = WПОТ_НАЧ + WKИН_НАЧ .

Т.е. WМЕХ_КОНЕЧ = WМЕХ_НАЧ .Формулировка закона сохранения механической энергии. Если на тело или в системе тел действуют только консервативные силы, то механическая энергия тела или системы тел остается постоянной.Пример. Найти величину второй космической скорости для Земли. (Второй космической скоростью называется наименьшая скорость старта тела с поверхностипланеты, при которой тело может улететь от планеты «навсегда» – т.е. уйти набесконечно большое расстояние, так что сила притяжения к планете обратится вноль.)Решение. Когда тело массой m стартует со скоростью V с Земли, полная механическая энергия системы тело-Земля равна WМЕХ_НАЧ = -GmM З mV 2+. (Здесь принято,RЗ2что постоянная С=0). Предположим, что тело улетело от Земли на бесконечнобольшое расстояние и там остановилось.

Тогда полная механическая энергиядолжна быть равна нулю. Гравитационная сила является консервативной, поэтому1й курс. 2й семестр. Лекция 49в системе планета-тело выполняется закон сохранения механической энергии:WМЕХ_КОНЕЧ = WМЕХ_НАЧ или -GmM З mV 2+= 0 , откуда V =RЗ22GM ЗRЗС учетом выражения для ускорения свободного падения близи поверхности Земли: g =GM З, получаем V = 2gR З . Видим, что эта скорость больше первой космиR З2ческой в 2 .♣Таким образом, консервативные силы сохраняют механическую энергию.

Поэтому они так и называются. (Название «консервативные» – переводитсякак «сохраняющие»).Помимо консервативных сил в механике вводятся также диссипативныесилы - силы «рассеивающие» механическую энергию. Диссипация – это переводэнергии упорядоченных процессов в энергию неупорядоченных процессов (в конце концов – в тепло).К диссипативным силам относятся, в частности, сила трения скольжения и силасопротивления движению тела в жидкости или газе.Во всех системах тел, независимо от типа действующих сил, всегда выполняется основной закон природы – закон сохранения энергии. Энергия замкнутойсистемы не убывает и не увеличивается – она только переходит из одной формыв другую.Пусть в системе действуют консервативные и неконсервативные силы.

ТогдаКОННАЧWКИН− WКИН= AКОНС + AНЕКОНСНАЧКОНДля консервативных сил AКОНС = WПОТ− WПОТ. ПоэтомуКОННАЧНАЧКОНКОНКОННАЧНАЧWКИН − WКИН = WПОТ − WПОТ + AНЕКОНС или WКИН + WПОТ− (WКИН+ WПОТ) = AНЕКОНС , т.е.КОННАЧWМЕХ− WМЕХ= AНЕКОНС .Изменение механической энергии системы равно работе неконсервативных сил.Пример. Диск массы m и радиуса R скатывается безпроскальзывания с горки высотой H. Найти скоростьHдиска в конце спуска. (Силой сопротивления воздухаv пренебречь).Решение. В данном случае в системе есть сила трения, которая заставляет вращаться диск. Но т.к. дисккатится без скольжения, то скорость в точке касания равна нулю. Поэтому мощность силы трения равна нулю, следовательно, и её работа равна нулю.