4 (Лекции в PDF)

1й курс. 2й семестр. Лекция 41Лекция 4. Закон сохранения энергии в механике.Работа и кинетическая энергия. Консервативные силы. Работа в потенциальномполе. Потенциальная энергия тяготения и упругих деформаций. Связь между потенциальной энергией и силой. Закон сохранения энергии.Рассмотрим движение материальной точки в некоторой инерциальной системе отсчета. Второй закон Ньютона имеет видmdv=F.dtВектор скорости точки v направлен по касательной к траектории. Поэтому вектор малого перемещения точки dr = v ⋅ dt тоже направлен по касательной к траектории (dt – малый промежуток времени).

Умножаем скалярно уравнение движения на вектор малого перемещения и интегрируем вдоль пути() dv m ,dr  = ∫ F ,dr .dt ПутьПуть ∫Преобразования левой части равенства. mv 2 1d dv  dv dv vvvvm,dr=m,dt=m,dt=m,dt=d( ) 2  dt dt  dt dt  2  mv 2   mv 2  mv 2  dvm,dr=d=− .∫  dt  Путь∫  2   2  2  НАЧПуть КОНЕЧКинетической энергией материальной точки массы m, которая движетсяскоростью v, называется величина WКИНm ⋅ v2=.2Единицы измерения кинетической энергии – Дж (Джоуль). Иногда кинетическую энергию полезно выразить через импульс тела ( p = mv ): WКИН =m ⋅ v2p2=.22mЗамечание. Кинетическая энергия зависит от системы отсчета. Например, в сопутствующей системе отсчета кинетическая энергия равна нулю.Преобразование правой части равенства.Работой постоянной силы F , действующей на материальную точку, при малом перемещении dr этой точки называетFся произведениеαA = ( F, dr ) = F ⋅ dr ⋅ cosα ,drгде α - угол между вектором силы и вектором перемещения.Единицы измерения работы – Дж (Джоуль).Работу величиной в один Джоуль совершает постоянная сила в 1 Ньютон, совпадающая по направлению с перемещением длиной 1 метр.Работа переменной силыA = ∫ ( F ,dr ) = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) ,ПутьПутьгде dr = ( dx,dy,dz ) - малый вектор перемещения.Итог1й курс.

2й семестр. Лекция 42Приравняем правую и левую части равенства( dv m ,dr  = ∫ F ,drdt ПутьПуть ∫)КОНЕЧНАЧИли, с учётом приведённых преобразований: WКИН− WКИН= A.Таким образом была доказана теорема об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии материальной точки на участке пути равно работе действующих на нее сил на этом участке.Мощность силы.Средней мощностью силы F называется отношение работы этой силы к интервалу времени, за который была совершения эта работаPСР =A.∆tЕдиницы измерения мощности Вт (Ватт), мощность силы в 1 Вт соответствуетработе в 1 Дж, совершаемой силой за 1 секунду.Мгновенной мощностью силы называется мощность этой силы за малыйпромежуток времениP=( F ,dr ) =dt( F ,v) ,где v - вектор скорости точки.Следствие.

Если в каждый момент времени F ⊥ v , то работа данной силы равнанулю.Кинетическая энергия твердого тела,вращающегося вокруг неподвижной оси.В случае вращения твёрдого тела величина скорости вращения любой точкивокруг оси равна vi = ωri ⊥ , где ri ⊥ - расстояние от этой точки до оси вращения, поэтому суммарная кинетическая энергия всех точекВРАЩКИНWmi vi2mi ω2 ri 2⊥ ω2=∑=∑=222iiω2∑i m r = 2 I z ,2i i⊥где I z - момент инерции тела относительно оси вращения.Рассмотрим уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокругосиIzdω= Mz .dtПри малом угле поворота d ϕ = ωdt отсюда следуетIzdωdϕ = M zdϕdtПреобразования левой части равенства I z ω2 dωIzωdt = I z ωd ω = d .dt 2 Если рассмотреть поворот на конечный угол ∆ϕ :1й курс.

2й семестр. Лекция 4∫Iz∆ϕ3dωdϕ = ∫ M zdϕ ,dt∆ϕоткуда I z ω2  I z ω2 −= ∫ M zdϕ 2  КОН  2  НАЧ ∆ϕТак как слева стоит выражение для изменения кинетической энергии вращающегося тела, то справа стоит выражение для работы сил при повороте тела. Такимобразом, если известен момент сил M z относительно оси вращения z, то работаэтих сил при повороте тела вокруг оси вычисляется по формулеA = ∫ M zdϕ .∆ϕА мгновенная мощность силP = M zω .Замечание. Если малый угол поворота задать в векторном виде d ϕ = ω⋅ dt , то выражение для мощности и работы при вращательном движении можно записатьследующим образомA = ∫ ( M ,d ϕ ) , P = ( M , ω) .∆ϕКИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА (СИСТЕМЫ ТОЧЕК).Рассмотрим систему движущихся точек.

Кинетическая энергия системы это суммарная энергия всех точек:m ( v ,v )mi vi2WΣ = ∑ Wi = ∑=∑ i i i .22iiiСкорость каждой точки можно представить в виде vi = vC + vi _ ОТН ,где vC - скорость центра масс системы (одинаковая для всех точек системы),vi _ ОТН - относительная скорость точки (в системе отсчета, где центр масс покоится).WΣ = ∑mi ( vC + vi _ ОТН , vC + vi _ ОТН )2i=∑mi ( vC , vC ) + 2mi ( vC , vi _ ОТН ) + mi ( vi _ ОТН , vi _ ОТН )2i.В правой части равенстваmi ( vC , vC ) ( vC , vC )mvC2=m=∑i∑i i 2 - кинетическая энергия центра масс системы;22∑imi ( vi _ ОТН , vi _ ОТН )2=∑imi vi2_ ОТН2ОТН= WКИН- кинетическая энергия относительного дви-жения точек ;∑i2mi ( vC , vi _ ОТН )2=  vC , ∑ mi vi _ ОТН  , ноi∑m vii _ ОТН= mvC _ ОТН , где vC _ ОТН - относительнаяiскорость центра масс в системе отсчета, где центр масс покоится.

ОчевидноvC _ ОТН = 0 , поэтому1й курс. 2й семестр. Лекция 4∑i2mi ( vC , vi _ ОТН )24=  vC , ∑ mi vi _ ОТН  = 0 .iОкончательно исходное равенство примет видWСИСТЕМЫmС vС2ОТН=+ WКИН.2Полная кинетическая энергия тела (системы точек) равна сумме кинетическойэнергии движения центра масс и кинетической энергии движения относительноцентра масс.(Это утверждение принято называть теоремой Кёнига)Пример. Определить кинетическую энергию диска массой m и радиуса R, катящегося без проскальзывания со скоростью V.Решение. Так как диск катится без проскальзывания, то скорость центра масс равна V и величина скорости вращения точек края диска относительно центра масстоже равна V. Следовательно, полная кинетическая энергия:WK =mv C2+ WK.

ВРАЩ .2При вращении диска вокруг центра масс угловая скорость всех точек равна ω =v,RI zC ω2. Момент инерции диска2mR 2относительно оси вращения, проходящей через центр масс равен I zC =. Тогда2m ⋅ V2кинетическая энергия центра масс равна WKC =. Следовательно2поэтому кинетическая энергия вращения WK. ВРАЩ =m ⋅ v 2 1 mR 2  v 3 2+  = mv .♣22 2 R42WK = WKC + WK. ВРАЩ =Математическое отступлениеПусть задана функция от нескольких аргументов, являющаяся непрерывнодифференцируемой по каждому из них f ( x, y,z ) .

Производная такой функции поодному из аргументов (например, по x) при условии, что остальные не меняются,называется частной производной по данному аргументу и обозначается∂f.∂xТогда для функции f в окрестности точки можно написатьf ( t ,x, y,z ) = f ( t, x0 , y, z ) +∂f( x − x0 ) + ...∂xРассмотрим значения этой функции в двух соседних точках пространства,отстоящих друг от друга на малый вектор dr = ( dx,dy,dz ) :f1 = f ( x, y,z ) и f 2 = f ( x + dx, y + dy,z + dz ) .Тогда разложение в ряд Тейлора для функции f вблизи точки ( x, y,z ) имеет вид:f 2 = f1 +∂f∂f∂fdx + dy + dz + ...∂x∂y∂z1й курс. 2й семестр.

Лекция 4 ∂f ∂f ∂f 5Если ввести вектор gradf =  , ,  , который называется градиентом функции ∂x ∂y ∂z f, и отбросить остальные слагаемые в разложении (которые обозначены точками),то для изменения значений f можно записатьδf = f 2 − f1 ≈ ( gradf ,dr ) = gradf ⋅ dr ⋅ cos α ,где α - угол между векторами gradf и dr .Свойства градиента функции1) В каком направлении нужно двигаться, чтобы увеличение функции было максимальным? Видно, что при постоянных величинах gradf и dr значение δf будет максимальным при cos α = 1 ( α = 0 ), т.е. вектор dr должен быть сонаправлен свектором gradf .

Следовательно, вектор градиента функции gradf направлен всторону максимального роста функции f.2) Поверхностью уровня функции f называется поверхность в пространстве, накоторой значение функции является постоянным f ( x, y,z ) = const . Если сместитьсявдоль поверхности уровня на малый вектор dr , то значение функции не изменится, поэтому δf = 0 . Это означает, что ( gradf ,dr ) = 0 , т.е.

векторы gradf и dr перпендикулярны. Следовательно, вектор градиента функции направлен перпендикулярно к поверхности уровня функции в каждой её точке.ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ.В механике силы принято делить на консервативные и неконсервативные.Рассмотрим силы между телами, которые зависят только от их взаимногоположения. Такие силы называются консервативными.Консервативными силами являются:1) Сила всемирного тяготения. Она зависит только от расстояния между телами.2) Сила тяжести.