3 (Лекции в PDF)

1й курс. 2й семестр. Лекция 31Лекция 3. Закон сохранения момента импульса.Момент силы. Момент импульса материальной точки и механической системы.Уравнение моментов механической системы. Закон сохранения момента импульса механической системы.Математические сведения.Векторным произведением двух (ненулевых) векторов a = ( ax ,a y ,az ) иb = ( bx ,by ,bz ) называется вектор s = a × b , который в декартовой системе координат(с ортами ex , ey , ez ) задается соотношениемexc = axbxeyaybyezaz = ex ( a y bz − az by ) + ey ( az bx − ax bz ) + ez ( ax by − a y bx ) .bzВеличина c = a ⋅ b sin α (площадь прямоугольника на векторах a и b ).Свойства векторного произведения.1) Вектор c направлен перпендикулярно к плоскости векторов a и b .

Поэтомудля любого вектора d , лежащего в плоскости (линейно независимых) векторов aи b (т.е. d = λ1a + λ 2b ), получаем ( c ,d ) = 0 . Следовательно, если два ненулевых вектора a и b параллельны, то c = a × b = 0 .2) Производная по времени от векторного произведения – это вектор()ddadba ×b =×b + a ×.dtdtdtДействительно, (базисные векторы ex , ey , ez - постоянные)(())dda ×b =ex ( a y bz − az by ) + e y ( az bx − ax bz ) + ez ( ax by − a y bx ) =dtdt= ex aɺ y bz + a y bɺz − aɺ z by − az bɺy + ey aɺ z bx + az bɺx − aɺ x bz − ax bɺz + ez aɺ x by + ax bɺy − aɺ y bx − a y bɺx =()(()()()= ex ( aɺ y bz − aɺ z by ) + ey ( aɺ z bx − aɺ x bz ) + ez ( aɺ x by − aɺ y bx ) + ex a y bɺz − az bɺy + ey az bɺx − ax bɺz +ex+ ez a xbɺy − a y bɺx = aɺ xeyaɺ ybxby()pLROez exaɺ z + axbbɺzxeyaybɺy)ezdadbaz =×b + a ×dtdtbɺzВектор момента импульсаВектором момента импульса относительно точки О называетсявекторL = R× p ,где R - радиус-вектор из точки О, p = mv - вектор импульса точки.

Величина момента импульса - кг⋅м2/с. Вектор L направленперпендикулярно к плоскости векторов R и p . Точку О иногданазывают полюсом. Найдем производную от вектора моментаимпульса по времени1й курс. 2й семестр. Лекция 32dL dRdp=× p + R× .dtdtdtdRПервое слагаемое в правой части:× p = v × ( mv ) = 0 . Так как в инерциальной сисdtdp= F , то второетеме отсчета по второму закону Ньютона (в импульсной форме)dtdpслагаемое имеет вид R × = R × F .dtВеличина M O F = R × F называется вектором момента силы F относитель-( )но точки О.Окончательно получаем:( )dL= M O F - производная от вектора момента импульсаdtотносительно точки равна моменту действующих сил относительно этой точки.Свойства вектора момента силы.1) M O ( F ) ⊥ R и M O ( F ) ⊥ F .2) В декартовых координатахexeyMO F = xFxyFy( )ezz = ex ( yFz − zFy ) + ey ( zFx − xFz ) + ez ( xFy − yFx ) .Fzили M O = M Ox + M Oy + M Oz - вектор момента силы относительно точки равен суммемоментов силы относительно координатных осей.3) Момент суммы сил равен сумме моментов каждой из сил M O  ∑ Fi  = ∑ M O ( Fi ) .4) Сумма моментов сил относительно точки∑M (F ) = ∑ R × FOiiiiiiпри переходе кiдругой точке О1 , при котором Ri = Ri1 + R1 изменится по правилу∑ M (F ) = ∑(ROFiii1i)()()+ R1 × Fi = ∑ Ri1 × Fi + ∑ R1 × Fi = M O1 + R1 ×  ∑ Fi ii i.Следовательно, момент сил не изменится, еслиR||∑F =0.iiRR⊥O5) Пусть R = R⊥ + R|| , где R⊥ ⊥ F , R|| || F тогда( )M O F = R × F = R⊥ × F .Следовательно, если две одинаковые силы лежат на одной прямой, то их моменты одинаковые.

Эта прямая называется линией действиясилы F . Длина вектора R⊥ называется плечом силы относительно точки О.Момент силы относительно оси.Как следует из определения момент силы, координаты вектора моменты силы относительно координатных осей определяются формулами1й курс. 2й семестр. Лекция 3( )( )3( )M Ox F = yFz − zFy , M Oy F = zFx − xFz , M Oz F = xFy − yFx .Рассмотрим метод нахождения момента силы относительно некоторой осиz. Для этого надо рассмотреть вектор момента силы относительно некоторой точки О на этой оси и найти проекцию векторамомента силы на эту ось.MМомент вектора силы F относительно точкиО можно найти следующим образом.

ПроведёмОRплоскость π, в которой лежит вектор силы иFαR⊥точка О. Тогда вектор момента силы M будетπприложен в точке О и направлен перпендикулярно этой плоскости. Величина момента силы M O = RF sin α = R⊥ F , где R⊥ = R sin α плечо силы относительно точки О.Чтобы найти момент силы F относительно произвольной оси z, надо:zF1)найти проекцию силы F⊥ на любуюплоскость π перпендикулярную этойlπОоси и указать точку О - точку пересеF⊥ Ачения этой плоскости с осью z;Mk2)найти плечо силы F⊥ относительнооси – т.е. расстояние от линии действияпроекции силы l (в плоскости π) доточки О;3) найти величину момента силы M k = F⊥ ⋅ OA и направление по правилу правоговинта (буравчика).Правило правого винта в данном случае: вектор момента силы вдоль оси направлен так, что вектор F⊥ задает вращение в плоскости π вокруг точки О почасовой стрелке.4) Если на оси z указано положительное направление (говорят, что ось ориентирована), то указать знак проекции момента силы.Момент импульса механической системы.Рассмотрим суммарный момент импульса системы точек (тела) относительно некоторой точки О.L = ∑ Li = ∑ Ri × piiiПри переходе к другой точке О1 радиус-векторы точек системы преобразуютсяRi = R1i + R1 , поэтомуL = ∑ R1i + R1 × pi = ∑ R1i × pi + R1 × pi = ∑ R1i × pi + R1 ×  ∑ pi iii iСуммарный импульс системы равен импульсу центра масс ∑ pi = pC()()iL = L1 + R1 × pC .1й курс.

2й семестр. Лекция 34Поэтому в системе отсчета, где центр масс тела покоится pC = 0 , суммарный момент импульса не зависит от точки, относительно которой он вычисляется.Если рассматривается движение твердого тела, то возможное движение вслучае pC = 0 – это вращение вокруг центра масс. В этом смысле момент импульса описывает вращательное движение системы (тела).Найдем производную от суммарного момента импульсаdpdL= ∑ Ri × i = ∑ Ri × Fi .dtdtiiСилы, действующие на точки системы, разделим на внутренние, действующиемежду точками системы и внешние – со стороны тел, не входящих в систему:Fi = Fi ВНУТР + Fi ВНЕШ .()dL= ∑ Ri × Fi ВНУТР + Fi ВНЕШ = ∑ Ri × Fi ВНУТР + ∑ Ri × Fi ВНЕШ .dtiiiВнутренние силы подчинятся третьему закону Ньютона - они лежат на прямыхлиниях, попарно соединяющих точки,противоположны по направлению и одиzнаковы по величинеFi ВНУТР = − Fj ВНУТР .Для каждой из таких пар сил можно ввеpiсти одинаковое плечо Rij ⊥ , поэтомуri⊥∆mi∑R ×FiВНУТРi()iii.ОкончательноLiβi(αi)dL= ∑ Ri × Fi ВНЕШ = ∑ M O Fi ВНЕШ .dtiiriУравнение динамики вращательного движения системы точекO()dL= ∑ M O Fi ВНЕШ .dtiПроизводная от вектора суммарного момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему.Покоординатное равенство()((= ∑ R⊥ij × Fi ВНУТР + R⊥ij × Fj ВНУТР = ∑ R⊥ij × F)()dLydLxdLz= ∑ M Ox Fi ВНЕШ ,= ∑ M Oy Fi ВНЕШ ,= ∑ M Oz Fi ВНЕШ .dtdtdtiiiМомент импульса твердого тела.Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси z сугловой скоростью ω.

Выделим в теле малую частицу массой ∆mi. Найдем моментимпульса этой частицы относительно некоторой точки О на оси вращения. Еслирадиус-вектор частицы ri , вектор импульса pi , то вектор момента импульса час-1й курс. 2й семестр. Лекция 35тицы Li = ri × pi приложен к точке О и направлен перпендикулярно к векторам ri иpi , т.е. под некоторым углом βi к оси z. Траекторией частицы ∆mi является окружность, поэтому вектор импульса pi направлен по касательной к этой окружности.

Следовательно, угол между векторами ri и pi равен 900 (как угол между образующей и направляющей конуса). Тогда величина момента импульса частицыLi = ri pi .Пусть ri ⊥ - радиус окружности – траектории частицы. Тогдаpi = ∆mi v i = ∆mi ⋅ ri ⊥ ω . Рассмотрим проекцию вектора момента импульса на ось z:Liz = Li cos βi .Учитывая, что cos βi = sin αi , получаем: Liz = ri pi cos βi = ri ∆mi ⋅ ri ⊥ ω sin αi .Но ri ⊥ = ri sin αi . ТогдаLiz = ∆mi ⋅ ri ⊥ 2 ωДля всего тела Lz = ∑ Liz = ∑ ∆mi ⋅ ri ⊥ 2 ω = ω∑ ∆mi ⋅ ri ⊥ 2 .iiiВ это выражение входят параметры движения частиц, которые не зависят отположения точки О. Поэтому величина момента импульса вдоль оси z не зависитот положения точки на оси, для которой она вычисляется. В этом выражении величинаI z = ∑ ∆mi ⋅ ri ⊥ 2iназывается моментом инерции твердого тела относительно оси z (единица измерения кг⋅м2).

Для сплошных тел суммирование можно заменить интегралом помассе телаI z = ∫∫∫ r⊥ 2 dm .mУравнение динамики вращательного движениятвердого тела вокруг неподвижной оси.Момент импульса твердого тела при вращательном движении вокруг оси zвычисляется какLz = I z ω .Тогда уравнение динамики вращательного движения примет вид:dLz d= ( I z ω) .dtdtЕсли тело твердое, то I z = const , поэтому, с учетом того, чтоdω= ε (угловое ускоdtрение), получаем выражениеI z ε = M zВНЕШЭто уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:угловое ускорение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижнойоси прямо пропорционально величине момента внешних сил относительно этойоси.1й курс.

2й семестр. Лекция 36Замечание. По аналогии со вторым законом Ньютона, в котором ускорение определяется силой, уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела даетсвязь между угловым ускорением и моментом силы. В этом смысле момент инерции тела играет роль меры инертности при вращательном движении.Примеры вычисления моментов инерции.1) Момент инерции тонкого кольца (прямого тонкостенногоцилиндра) массы m и радиуса R относительно оси z, перпендикулярной плоскости кольца, проходящей через центр кольцаI z = ∑ ∆mi ⋅ ri ⊥ 2 = R 2 ∑ ∆mi = mR 2 .zi2) Момент инерции диска (сплошного цилиндра) массы m и радиуса R относительно оси z, перпендикулярной к плоскостидиска, проходящей через центр диска (сплошного цилиндра).Выделим тонкий цилиндр радиусом r и толщиной dr.rmm2πrdr = 2 2rdr , r⊥ = r .2πRRRRm2m2m R 4 mR 2Поэтому I z = ∫ r 2 2 2rdr = 2 ∫ r 3dr = 2=2RR 0R 40Масса этого цилиндра dm =drzXxidx3) Момент инерции тонкого стержня относительно оси z,являющейся срединным перпендикуляром.