16 (Лекции в PDF), страница 2

Интенсивность броуновского движения не зависит отвремени, но возрастает с увеличением температуры, уменьшениемвязкости и размеров частиц (независимо от их химической природы.)Теория броуновского движения была построена независимодруг от друга Эйнштейном и Смолуховским в 1905-1906 гг. Причинойброуновского движения является тепловое движение молекул среды,проявляющееся в некомпенсированных ударах молекул о частицу, т.е.в флуктуациях давления. Эти удары приводят частицу в беспорядочное движение. Если отмечать положения частицы через равные небольшие промежутки времени, то траектория окажется сложной и запутанной.Как показывают опытные данные, квадрат смещения частицы из начального положенияв проекции на любую ось x 2 за время наблюдения τ, в отсутствие внешних сил определяетсявыражением x 2 = 2 Dτ , где коэффициент диффузии броуновской (сферической) частицыkT, a – радиус частицы, η - коэффициент вязкости.6πηaПри описании броуновского движения частицы в одномерном случае можно считать, чтона частицу действует сила случайная сила, среднее значение которой равно нулюD=1й курс.

2й семестр. Лекция 1651 tFx = lim  ∫ Fx dt  = 0 и сила сопротивления FC = r ⋅ vx , где r – коэффициент вязкого тренияt →∞ t 0броуновской частицы в жидкости. Уравнение движения max = Fx − Fc при подстановке выражения для силы примет видmxɺɺ + rxɺ = Fx .d ( xxɺ ) 2Умножим это уравнение на x и используем равенство xxɺɺ =− xɺdtd ( xxɺ )m− mxɺ 2 + rxxɺ = xFx .dtПроведём усреднение по времениd ( xxɺ )− m xɺ 2 + r xxɺ = xFx .mdttt 1 t1 t 1 ɺ  = 0 .

Для одномерного движенияТогда xFx = lim  ∫ x ⋅ Fx dt  = lim  x ⋅ ∫ Fx dt − ⋅ ∫  ∫ Fx dt  xdtt →∞ tt 00 0 t →∞  t 0 m xɺ 2kTпо теореме о распределении энергии по степеням свободы=.22d ( xxɺ )d xxɺd xxɺЗаменяем=и получаем уравнение m+ r xxɺ = kT , откудаdtdtdtxxɺ =kTrm− t r1−e.2d x2kT1 d (x )kTДля установившегося движения xxɺ =. Так как xxɺ =, то=2. Поr2 dtdtrkTсле интегрирования по времени получаем x 2 = 2t . Для сферической броуновской частицы,rkTрадиус которой равен a: r = 6πηa , поэтому D =.6πηaПолученные выше формулы были экспериментально проверены в 1908 году Перреном,который измерял с помощью микроскопа перемещения броуновских частиц за одинаковыепромежутки времени.

Ему удалось на основании своих опытов с помощью этих формул определить постоянную Больцмана k и вычислить значение постоянной Авогадро NA, совпадающиепо величине с их значениями, полученными другими методами.Замечание. Теория броуновского движения нашла широкое применение не только дляописания случайного движения частицы в жидкости, но и для решения целого ряда прикладныхзадач.

Этой теории подчиняются случайные тепловые колебания высокоточных механических иэлектрических измерительных устройств, таких, например, как крутильные весы и гальванометры. Кинетические уравнения, полученные в теории броуновского движения, используютсядля анализа точности работы различных систем управления. Они позволяют рассчитать случайные ошибки, возникающие при управлении техническими устройствами и провести оптимизацию их параметров.Производство энтропии в необратимых процессах.При протекании необратимых термодинамических процессов энтропия возрастает. Производство энтропии в единичном объёме в случае протекания N различных процессов определяется выражениемNσ S = ∑ X i jii =11й курс.

2й семестр. Лекция 166где: Xi - термодинамические силы, ji - соответствующие им плотности термодинамических потоков. Соответственно, производство энтропии внутри выделенного объема среды V определяdSется формулой=σ S dV .dt ∫∫∫VПолучим, например, выражения, позволяющие рассчитывать производство энтропии припротекании необратимых процессов в газах - переноса теплоты (теплопроводности) и переносаимпульса (вязкости). В соответствие с ранее полученными выражениями, плотности термодинамических потоков в указанных процессах имеют вид:dTdujQ = −æи j p = −η .dxdxгде: æ и η - коэффициенты теплопроводности и вязкости, T и u - температура и скорость течения газа соответственно.NВ линейной модели необратимых процессов используется приближение ji = ∑ Lik X k ,k =1где коэффициенты Lik «показывают» влияние i-го процесса на k-й процесс.

По принципу Онсагера Lik = Lki , т.е. это влияние равноправное.Если не учитывать взаимное влияние различных процессов друг на друга, то Lik = Lki = 0и соотношение между термодинамическими силами и потоками примет видjQ = LQQ X Q , j p = L pp X p .Расчёты приводят к следующим выражениям LQQ = æT 2 , L pp = ηT .ОткудаdTdu−æ−ηjQj1dTpdx = −dx = − 1 du .XQ ==, Xp ==22æTηTLQQT dxLppT dxПоэтому1 dT dT  1 du  du  æ  dT  η  du σ S = X Q jQ + X p j p = − 2 −æ− −η  = 2  +   ≥0T dx dx  T dx dx  T  dx  T  dx Видим, что при протекании необратимых процессов теплопроводности и вязкости производство энтропии является положительной величиной.Если газ находится в равновесном состоянии, которое характеризуется постоянством параметров состояния T=const, u=const, то в такой среде будут отсутствовать термодинамическиепотоки и производство энтропии станет равным нулю.22.