7, 8 (Полностью все 26 лекций в пдф), страница 3

Но Eˆ 2 ( Ψ ) = Eˆ Eˆ ( Ψ ) = i  i=−,∂t  ∂t ∂t 2()7Семестр 4. Лекции 7-8.∂2Ψ= c 2 2 ∆Ψ − m02 c 4 ⋅ Ψ , которое описывает∂t 2свободные релятивистские частицы (с целым спином) и носит название уравнения ГордонаФока.Если попытаться записать линейную связь между энергией и импульсом для релятивистского случая в виде E = cσ x px + cσ y p y + cσ z pz + σ0 m0 c 2 , так, чтобы выполнялось равенствоp̂ 2 = − 2 ∆Ψ . В итоге получается уравнение 2( cσ2xpx + cσ y p y + cσ z pz + σ0 m0 c 2 ) = c 2 p 2 + m02 c 4 , то после подстановки в уравнение эволюцииволновой функции получится уравнение Дирака∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψi= σ xc+ σyc+ σzc+ σ0 m0 c 2 Ψ .∂ti ∂xi ∂yi ∂zВ этом уравнении σ0, σx, σy, σz – специальные матричные операторы (4х4), аΨ = ( Ψ1 , Ψ 2 , Ψ 3 , Ψ 4 ) - вектор-функция.Пример.

В момент времени t=0 волновая функция частицы в одномерной потенциальной яме сбесконечно высокими стенками имеет вид 3πx   πx ψ ( x ) = A ⋅ cos  sin   . 2a   2a Считая, что масса частицы равна m0, найдите среднюю кинетическую энергию частицы в данном состоянии. Укажите, суперпозицией каких состояний частицы в потенциальной яме является данное состояние.

Найдите волновую функцию Ψ(x, t).Решение. В одномерной яме с непроницаемыми стенками как стационарной задаче, волновыефункции частицы имеет видE2 2 π2 2 nπx  − i n tΨ n ( x,t ) =sin e,гдеE=n .na2ma 2 e При t=0 получаем, соответственно, Ψ n ( x, 0 ) = ψ n =2 nπx sin a a Воспользуемся формулой Эйлера eiα = cos α + i sin α , откуда cos α =sin α =e iα + e − iα,2eiα − e − iα. Тогда2i3 πxi2a3 πx−i2aπxi2aπx−i2ae +ee −eA 3πx   πx ψ ( x ) = A ⋅ cos ⋅= ⋅ sin   = A ⋅22i2 2a   2 a A   2πx  πx  = ⋅  sin  − sin   2   a  a Нормируем функцию ψ на единицу22aA a   2πx 2 πx  ∫0 ψ ( x ) dx = 4 ⋅ ∫0  sin  a  − sin  a   dx =2ei2 πxa−e−i2 πxaπx−i i πax−e − e a =2iaaA  a 2  2πx  2πx   πx 2  πx =⋅  ∫ sin  dx − 2∫ sin  sin   dx + ∫ sin   dx  = 14 0 a  a   a  a  008Семестр 4. Лекции 7-8.aaa k πx   sπx 2  k πx Теперь воспользуемся тем, что ∫ sin  sin  dx = 0 при k ≠ s и ∫ sin  dx =2 a   a  a 00aдля k > 0 .

Поэтому∫ ψ ( x)2dx =0в виде A =22a a ⋅  +  = 1 , откуда A =, т.е. множитель можно взять4 2 2aA2. В итоге получаемa 3πx   πx  1   2πx  πx  ψ ( x ) = A ⋅ cos ⋅  sin  sin   = − sin   a   a  2a   2a  a Т.к. система функций ψ n ортонормированная и функция ψ нормирована на единицу, то ищемкоэффициенты разложенияaa2 nπx  1   2πx  πx  *cn = ( ψ ,ψ n ) = ∫ ψ n ψdx = ∫sin ⋅  sin  − sin    dxa a  a   a  a 00aa2 1  nπx  2πx  nπx  πx  ⋅−sinsindxsin ∫  ⋅ sin   dx ∫a a 0 a  a  a  a  02 1 a12 1 a1откуда c1 ==, c2 = −=−, остальные cn = 0 .a a2a a 222cn =2Т.е вероятность обнаружения частицы в основном состоянии ( n = 1 ) равна p1 = c1 =1и в пер21.2EE1 2 πx  − i 1 t 1 2 2πx  − i 2 tПоэтому Ψ ( x,t ) = Ψ1 ( x,t ) + Ψ1 ( x,t ) =sin   e −sin e,2 a2 a e  e где 2 π22 2 π 2E1 =,E=.22ma 2ma 2Т.к.

энергия частицы в этом состоянии не определена однозначно, то данное состояние не является стационарным.Найдём среднюю кинетическую энергию1 2 π2 1 2 2 π2 3 2 π2EK = p1 E1 + p2 E2 = ⋅+ ⋅=.2 2ma 2 2 ma 24ma 2Найдём среднее значение кинетической энергии другим способом – прямым вычислением поформулеa 2 d 2Ψ EK = ∫ Ψ* Eˆ K ( Ψ ) dV = ∫ Ψ*  −dx =2 2mdxV02вом возбуждённом состоянии p2 = c2 =22a2 1   2πx  πx     1   2π  2πx   π  πx   = ∫⋅  sin −sin⋅sin−      sin     dx =a   a  a     2m a   a  a  a a 022 2 1 a   2π   π   3 2 π2=  −   =2m a 2   a   a   4ma 29.