7, 8 (Полностью все 26 лекций в пдф), страница 2

Т.к. частица находится в ограниченной области, то на границе области волновая функция частицы обязательно обращается в ноль. Если область задана интервалом a < x < b , то Ψ ( a ) = 0 и Ψ ( b ) = 0b( ˆp ( Ψ ) , Ψ ) = ∫ Ψx12ab*2⋅ ˆpx ( Ψ1 ) ⋅ dx = ∫ Ψ 2* ⋅ab ∂Ψ1∂Ψ⋅ dx = ∫ Ψ 2* ⋅ 1 ⋅ dx =i ∂xi a∂xbb ∂Ψ 2*  *∂Ψ 2* ∂Ψ 2 =  Ψ 2 ⋅ Ψ1 − ∫⋅ Ψ1 ⋅ dx  = ∫  − ⋅ Ψ1 ⋅ dx = ∫  ⋅ Ψ1 ⋅ dx = ( Ψ1 , ˆpx ( Ψ 2 ) )ai∂xi ∂x aa a  i ∂x Собственные значения оператора проекции импульса – это значения проекции импульса. Найдём собственные функции оператора проекции импульса на ось.

Для этого надо разрешить операторное уравнение p̂x ( Ψ ) = px ⋅ Ψ . С учётом определения оператора получаем обыкновенноеb*bдифференциальное уравнение первого порядка ∂Ψ= p x ⋅ Ψ , которое решаем методом раздеi ∂xpi x ⋅xpdΨления переменных= i x ⋅ dx , откуда Ψ = C ⋅ e , где С не зависит от х.ΨКоммутатор операторов проекций импульса на разные координатные оси ∂  ∂Ψ  ∂  ∂Ψ  ˆpx , ˆp y  ( Ψ ) = ˆpx ( ˆp y ( Ψ ) ) − ˆp y ( ˆpx ( Ψ ) ) =− =0.i ∂x  i ∂y  i ∂y  i ∂x Т.е. координаты импульсов могут быть измерены одновременно с произвольной точностью.Найдём коммутатор оператора координаты и проекции импульса на одну ось ∂ ∂Ψ  ∂Ψ ∂Ψ −x= Ψ.( xΨ ) − x [ ˆpx , ˆx] ( Ψ ) = ˆpx ( ˆx ( Ψ ) ) − ˆx ( ˆpx ( Ψ ) ) == Ψ+xi ∂xi ∂xi ∂x i i ∂x  iТаким образом, [ ˆpx ,xˆ ] = −i ⋅ Iˆ , где Î - единичный оператор, т.е.

Î ( Ψ ) = Ψ .С учётом того, чтоÎ = 1 для импульса вдоль оси Х и координаты х можно написать соотно-. Т.е. эти величины являются канонически сопряжёнными.2Найдём коммутатор оператора координаты и проекции импульса на разные оси ∂ ∂Ψ ( y ⋅ Ψ ) − y [ ˆpx , ˆy ] ( Ψ ) = ˆpx ( ˆy ( Ψ ) ) − ˆy ( ˆpx ( Ψ ) ) = = 0.i ∂x i ∂x Т.е. эти величины не являются канонически сопряжёнными.Оператор вектора импульсаˆp ( Ψ ) = e ˆp ( Ψ ) + e ˆp ( Ψ ) + e ˆp ( Ψ ) = ∂Ψ e + ∂Ψ e + ∂Ψ e = ∇Ψ ,x xy yz zxyzi ∂xi ∂yi ∂zi∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ где оператор «набла» в декартовых координатах задаётся в виде ∇Ψ =ex +ey +ez .∂x∂y∂zшение ∆x ⋅ ∆px ≥4Семестр 4.

Лекции 7-8.В квантовой механике вводят оператор полной энергии Ê , такой, что изменение волновой функции во времени (или как говорят эволюция) полностью определяется этим оператором:∂Ψ ˆi= E (Ψ) .∂tСобственные значения оператора полной энергии – это значения энергии системы:Ê ( Ψ ) = E ⋅ Ψ . Найдём вид собственных функций для оператора полной энергии.E− i ⋅t∂ΨdΨE= E ⋅Ψ ,= −i ⋅ dt , Ψ = ψ ⋅ e , где ψ - функция, не зависящая от времени.∂tΨЕсли энергия системы не меняется (стационарное состояние), то волновая функция имеет видiE− i ⋅tΨ = ψ ⋅e.Если по аналогии с пространственными координатами ввести оператор времениˆt ( Ψ ) = t ⋅ Ψ , то можно найти коммутатор операторов полной энергии и времениˆ ˆ  ( Ψ ) = Eˆ ( ˆt ( Ψ ) ) − ˆt Eˆ ( Ψ ) = i ∂ ( t ⋅ Ψ ) − t ⋅  i ∂Ψ  = iΨ + t ⋅  i ∂Ψ  − t ⋅  i ∂Ψ  = iΨ . E,t ∂t ∂t  ∂t  ∂t ()Т.е. эти величины являются канонически сопряжёнными и для них можно написать соотношение неопределённостей ∆E ⋅ ∆t ≥ .

В данном случае ∆t – это минимальный интервал времени2между измерениями энергии системы.Построение операторов квантовой механикиДля построения оператора квантовой механики, соответствующей некоторой динамической переменной в классической механике, следует сначала записать классическое выражениеэтой величины через импульс и координаты, а затем заменить импульс и координату соответствующими операторами.Оператор момента импульса.В классической физике вектор момента импульса относительно некоторой точки определяетсяex ey ez выражением L = R × p = xyz = ex ( ypz − zp y ) + ey ( zpx − xpz ) + ez ( xp y − yp x ) ,px p y pz где ex , ey , ez - орты декартовой системы координат.Тогда вектор-оператор момента импульса должен принять видˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ − ˆˆˆ ).L = R × ˆp = e ( ˆyp− zp ) + e ( ˆzpxp ) + e ( ˆˆxp − ˆypxzyyxzzyxОператоры проекций моментов импульса на осиˆ z − ˆzpˆ y , Lˆ y = ˆzpˆ x − xpˆˆ z , Lˆ z = xpˆˆ y − ˆypˆx.Lˆ x = ˆypЗамечание.

Т.к. операторы проекции импульса на ось и координаты на другую ось коммутируютдруг с другом, то в последних трёх равенствах их порядок не влияет на результат.Рассмотрим, например, коммутаторˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆˆˆ Lx ,Ly  ( Ψ ) = Lx Ly ( Ψ ) − Ly Lx ( Ψ ) = ( ypz − ˆzp y ) ( ˆzpx − xpz )( Ψ ) − ( ˆzpx − xpz ) ( ypz − ˆzp y ) ( Ψ ) =()() ∂ ∂   ∂Ψ ∂Ψ   ∂ ∂   ∂Ψ ∂Ψ =y−z−x−x−z z=− z yi ∂y   i ∂xi ∂z   i ∂xi ∂z   i ∂zi ∂y  i ∂z22222222 ∂Ψ2 ∂ Ψ2 ∂ Ψ2 2 ∂ Ψ2 ∂ Ψ2 ∂ Ψ2 ∂ Ψ2 ∂ Ψ= − y− yz + yx+z − zx+ zy− zz − xy∂x∂z∂x∂z 2∂y∂x∂y∂z∂x∂z∂x∂y∂z 2+ x 2∂Ψ∂2Ψ ∂Ψ ∂Ψ  ∂Ψ ∂Ψ  ˆ x − ˆˆxp y ) ( Ψ ) = − Lˆ z ( Ψ )+ zx 2=y−x= y−x = ( ˆypi i ∂xi i ∂y i  i ∂xi ∂y  ii∂y∂z∂y5Семестр 4.

Лекции 7-8.Т.е. проекции импульса на разные оси не могут быть измерены одновременно с произвольной точностью.Запишем оператор проекции момента импульса на ось z, т.е. L̂z , в цилиндрической сисyтеме координат ( r ,ϕ,z ) : x = r cos ϕ , y = r sin ϕ . Откуда r = x 2 + y 2 , ϕ = arctg .x∂rx∂ry== cos ϕ ,== sin ϕ ,∂x∂yx2 + y2x2 + y 2∂ϕ=−∂xysin ϕ ∂ϕ11 cos ϕ=−,==.22∂yrr y x y x1+  1+  x xВыразим производные∂Ψ ∂Ψ ∂r ∂Ψ ∂ϕ∂Ψ sin ϕ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂r ∂Ψ ∂ϕ∂Ψ cos ϕ ∂Ψ=+= cos ϕ−,=+= sin ϕ+.r ∂ϕ ∂yr ∂ϕ∂x∂r ∂x ∂ϕ ∂x∂r∂r ∂y ∂ϕ ∂y∂r12 ∂Ψ  ∂Ψ Lˆ z ( Ψ ) = ˆx ( ˆp y ( Ψ ) ) − ˆy ( ˆpx ( Ψ ) ) = x − y= i ∂x  i ∂y =∂Ψ cos ϕ ∂Ψ ∂Ψ sin ϕ ∂Ψ   ∂Ψ+−r cos ϕ  sin ϕ − r sin ϕ  cos ϕ =∂r∂rir ∂ϕ r ∂ϕ   i ∂ϕЕсли ввести оператор угловой координаты поворота вокруг оси z: ϕ̂ ( Ψ ) = ϕ⋅ Ψ , то можно рас ∂Ψ  ∂ˆ  ( Ψ ) = Lˆ z ( ϕˆ ( Ψ )) − ϕˆ Lˆ z ( Ψ ) =смотреть коммутатор  Lˆ z ,ϕϕ⋅Ψ−ϕ⋅() = −iΨ , т.е.i ∂ϕ i ∂ϕ  Lˆ z ,ϕˆ  = −i ⋅ Iˆ .

Поэтому угловая координата поворота вокруг оси z и проекция момента импульса на эту ось являются канонически сопряжёнными величинами ∆Lz ⋅ ∆ϕ ≥ .2Собственные значения оператора проекции импульса на ось – это величины проекциимомента импульса L̂z ( Ψ ) = Lz ⋅ Ψ . Найдем вид собственных функций, отвечающих этим собст-()Li z ⋅ϕ ∂Ψвенным значениям:= Lz ⋅ Ψ , откуда Ψ = C ⋅ e (где С – функция, не зависящая от ϕ).i ∂ϕУчитывая, что при повороте вокруг оси z на угол 2πm (m - целое число) вид функции не меняLется, получаем равенство z = m , т.е.

проекция момента импульса на ось z может приниматьзначения, кратные приведённой постоянноё Планка ħ: Lz = m ⋅ . В этом смысле постояннуюПланка иногда называют квантом действия.Оператор потенциальной энергииВ классической механике потенциальная энергия зависит от взаимного положения тел.kx 2Выражение для потенциальной энергии квазиупругой силы (вдоль оси Х) U =в опе2kxˆ 2kkkx 2ˆˆраторном виде будет выглядеть так же Uˆ ( Ψ ) =Ψ=xxΨ=x⋅x⋅Ψ=⋅Ψ .( )( ( )) 22226Семестр 4. Лекции 7-8.Выражение для потенциальной энергии кулоновского взаимодействия двух точечных заq ⋅ q  ˆ1 1 q1 ⋅ q1перейдет в оператор такого же вида Û ( Ψ ) = 1 1   ( Ψ ) , где операторрядов U =4πε 0 R4πε 0  R  ˆ1  1̂ 1являетсяобратнымкоператоруR̂Ψ=R⋅Ψ.Очевидно,что()   ( Ψ ) = ⋅ Ψ , поэтомуRRRq ⋅qÛ ( Ψ ) = 1 1 ⋅ Ψ4πε 0 RОператор кинетической энергии.В классической механике кинетическая энергия тела определяется выражениемmv 2 p 2EK ==.

Поэтому оператор кинетической энергии имеет вид22mp̂ 211  2 22Eˆ K ( Ψ ) =∇  ∇ (Ψ) = −∇ (Ψ) = −∆Ψ .( Ψ ) = ˆp ( ˆp ( Ψ ) ) =2m2m2m i  i2m2mНайдём собственные значения оператора кинетической энергии для одномерного случая2 d 2ΨÊK ( Ψ ) = EK ⋅ Ψ или −= EK ⋅ Ψ . Получаем уравнение, с котором уже встречались в за2m dx 2d 2 Ψ 2mдаче об одномерной яме с непроницаемыми стенками+ 2 EK ⋅ Ψ = 0 .dx 2 2mEK Откуда Ψ = C sin x.Оператор Гамильтона.В классической механике механическая энергия тела, записанная как функция импульсаp2и координат, называется функцией Гамильтона H = EK + U =+U .2mВ квантовой механике соответствующий оператор называется оператором Гамильтона(или гамильтонианом)p̂ 22Hˆ ( Ψ ) =( Ψ ) + Uˆ ( Ψ ) = − ∆Ψ + U ⋅ Ψ .2m2mУравнение Шрёдингера.Если рассматривать нерелятивистские частицы, то их полную энергию можно опредеp2лять формулой H = EK + U =+ U .

Поэтому оператор полной энергии в нерелятивистском2mˆ ( Ψ ) . Поставляя это равенство в уравнеслучае совпадает с оператором Гамильтона Eˆ ( Ψ ) = H∂Ψ ˆ= E ( Ψ ) , получаем временное уравнение Шрёдингера∂t∂Ψ2i=−∆Ψ + U ⋅ Ψ .∂t2mТаким образом, временное уравнение Шрёдингера описывает нерелятивистские частицы.Замечание. Если рассматривать релятивистские частицы, то их полная энергия связана симпульсом соотношением E 2 = c 2 p 2 + m02 c 4 . Поэтому соответствующее операторное равенствоние эволюции волновой функции i2∂  ∂Ψ 2 ∂ Ψпримет вид Eˆ 2 ( Ψ ) = c 2 ˆp 2 ( Ψ ) + m02 c 4 ⋅ Ψ .