3, 4 (Полностью все 26 лекций в пдф), страница 2

Принцип суперпозиции требует, чтобы этот оператор был линейможно записать так ÂΨ = Ψˆ (c Ψ + c Ψ ) = c Aˆˆным, т.е. A1 1221 Ψ1 + c2 AΨ 2Допустим, что при измерении некоторой физической величины в состоянии с волновойфункцией Ψ1 получается одно значение А1, а в состоянии с Ψ2 – другое А2. Какое значение получится при измерении в состоянии, являющимся суперпозицией этих состоянийΨ3=с1Ψ1+с2Ψ2?Процесс измерения любой физической величины носит вероятностный характер. Т.е.

тотили иной результат измерения можно получить с какой-то определённой вероятностью. Это означает, что при однократных измерениях мы будем получать значения А1 или А2 с некоторыми,вообще говоря, разными вероятностями р1 и р2 .Замечание. Состояние, в котором при однократных измерениях физических величин всегда получается одни и те же значения принято называть чистым состоянием. В обратном случае, состояния называются смешанными.Требования, чтобы измерения сводились к операциям над волновыми функциями, приводит к условию налагаемому на математическое выражение для волновой функции – онадолжна быть функцией, принимающей значения в комплексном пространстве.

Поэтому длянеё справедливы все операции над комплексными числами.Математическое отступление.Напомним, что символом i обозначается такое комплексное число, что i 2 = −1 .Любое комплексное число z может представлено в виде z = x + i ⋅ y , где x и y – вещественныечисла. При этом число x называется вещественной частью числа z и обозначается x = Re ( z ) , ачисло y называется мнимой частью числа z и обозначается y = Im ( z ) .Число z* является комплексно сопряжённым числу z = x + i ⋅ y , если z* = x − i ⋅ y .В частности i* = −i . Для вещественного числа z* = z .Сумма двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равнаz1 + z2 = x1 + x2 + i ( y1 + y2 ) .Произведение двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равноz1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 ) ⋅ ( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + iy1 ⋅ iy2 = x1 x2 − y1 y2 + i ( x1 y2 + y1 x2 )и не зависит от порядка сомножителей.В частности, z ⋅ z* = x 2 + y 2 = z* ⋅ z .Величина z = x 2 + y 2 называется модулем комплексного числа z = x + i ⋅ y .2Т.е.

z ⋅ z* = z* ⋅ z = z . Кроме того, z = z* .Для того чтобы разделить одно комплексное число z1 = x1 + iy1 на другое z2 = x2 + iy2 надо знаменатель и числитель дроби умножить на комплексно сопряжённое число к знаменателюz1 z1 z2* z1 z2*1==. В частности, = −i .2*z2 z2 z 2iz22zxyzДля числа= +iможно записатьzzzzСледовательно, существует такой угол ϕ, чтоx2 y 2= +=1.zzxy= cos ϕ ,= sin ϕ . Тогда комплексное числоzzz = x + i ⋅ y можно записать в виде z = z ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) .Соотношение Эйлера eiϕ = cos ϕ + i ⋅ sin ϕ можно получить следующим образом. Обозначим f ( ϕ ) = cos ϕ + i ⋅ sin ϕ .

Тогда справедливо соотношение4Семестр 4. Лекции 3-4.f ′ ( ϕ ) = − sin ϕ + i ⋅ cos ϕ = i ⋅ ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) = i ⋅ f .Решением этого дифференциального уравнения, с учётом условия f ( 0 ) = 1 , является функцияf ( ϕ ) = eiϕ , поэтому eiϕ = cos ϕ + i ⋅ sin ϕ . Это соотношение позволяет привести ещё более короткую запись для комплексного числа z = z eiϕ .С учётом такой формы записи получаем, что z* = z e − iϕ , z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 ei( ϕ1 +ϕ2 ) , z ⋅ z* = z .2*( z1 ⋅ z2 )*(= ( z1 eiϕ1 ⋅ z2 eiϕ2 ) = z1 ⋅ z2 ei( ϕ1 +ϕ2 )*)= z1 ⋅ z2 e −i( ϕ1 +ϕ2 ) = z1 e − iϕ1 ⋅ z2 e − iϕ2 = z1* ⋅ z2* .nВозведение комплексного числа в степень z n = z einϕ .Извлечение корня n-й степениnz=nz ⋅eiϕ+ 2 πkn(где k=0, , n−1) даёт n корней.Замечание.

eiϕ = cos 2 ϕ + sin2 ϕ = 1 .Статистический смысл волновой функции.Макс Борн предложил следующий смысл волновой функции.dP - вероятность того , что частица находится в некоторой малой области пространства, объёмкоторой dV, определяется равенством2dP = Ψ ⋅ dVт.е. квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности нахождения частицы вdP2некоторой области пространства= Ψ .

Поэтому для нахождения вероятности того, чтоdV2частица находится в некоторой области V надо вычислить интеграл P (V ) = ∫ Ψ dV .VСледовательно, если частица не может находиться в области V, то P (V ) = ∫ Ψ dV = 0 .2V2Т.к. Ψ ≥ 0 , то это равенство возможно при Ψ = 0 , т.е. Ψ = 0 в этой области V.Если частица обязательно находится в области V, то P (V ) = ∫ Ψ dV = 1 .2VСледовательно, квадрат модуля волновой функции должен быть интегрируемой функцией поэтой области.Замечание. Вероятность того, что частица находится в какой-то определённой точке, равна нулю, т.к. в этом случае объем соответствующей области нулевой.Уравнение Шрёдингера.Волновая функция должна являться решением уравнения Шрёдингера∂Ψ2i=−∆Ψ + U ⋅ Ψ∂t2mгде m – масса частицы, U – действительная функция координат и времени, такая, что вектор− gradU является классическим аналогом силы, действующей на частицу.

В случае, когда U независит от времени, она совпадает с потенциальной энергией.∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψi 2 = −1 , ∆Ψ = 2 + 2 + 2 - результат действия на функцию Ψ оператора Лапласа.∂x∂y∂zСледовательно, волновая функция должна быть непрерывно-дифференцируемой один раз повремени и два раза по пространственным координатам.∂Ψ2Уравнение i=−∆Ψ + U ⋅ Ψ носит название (временного) уравнения Шрёдингера∂t2mпо имени немецкого физика Эрвина Шрёдингера, предложившего его в 1926 году.5Семестр 4. Лекции 3-4.Уравнение Шрёдингера является одним из постулатов (аксиом) квантовой механики ииграет в атомной физике такую же фундаментальную роль, как уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла в классической электродинамике.Уравнение Шрёдингера является линейным, т.е.

линейная комбинация решений тоже является решением. Действительно, если каждая из функций Ψ1 и Ψ2 является решением, то ихлинейная комбинация Ψ3=с1Ψ1+с2Ψ2 (где с1 и с2 – некоторые константы) тоже является решени∂Ψ 32ем, т.к. уравнение i=−∆Ψ 3 + U ⋅ Ψ 3 в силу равенств∂t2m∂ ( c1Ψ1 + c2 Ψ 2 )2i=−∆ ( c1Ψ1 + c2 Ψ 2 ) + U ⋅ ( c1Ψ1 + c2 Ψ 2 )∂t2m∂Ψ1∂Ψ 222или c1i+ c2i= −c1∆Ψ1 + c1U ⋅ Ψ1 − c2∆Ψ 2 + c2U ⋅ Ψ 2∂t∂t2m2mявляется линейной комбинацией уравнений∂Ψ2∂Ψ 22i 1 = −∆Ψ1 + U ⋅ Ψ1 и i=−∆Ψ 2 + U ⋅ Ψ 2 .∂t2m∂t2mСледовательно, принцип суперпозиции состояний не противоречит уравнению Шрёдингера.Замечание.

Сопряжённое уравнение Шрёдингера для волновой функции имеет вид**2∂Ψ*2 ∂Ψ   i=−∆Ψ+U⋅Ψ−i=−∆Ψ* + U ⋅ Ψ* .или ∂t2m∂t2m Пример. Найдем волновую функцию для свободно движущейся частицы в одномерной области(волны де Бройля). В этом случае U=0, поэтому уравнение Шрёдингера принимает вид∂Ψ2i=−∆Ψ .∂t2m∂Ψ2 ∂ 2ΨПусть частица движется вдоль оси Х, тогда получаем соотношение i=−.∂t2m ∂x 2Решение этого уравнения ищем в виде плоской волны (С=const)Ψ = C ⋅ ei( kx −ωt ) = C ⋅ ( cos ( kx − ωt ) + i sin ( kx − ωt ) ) .После подстановки в уравнение выражений для производных∂Ψ ∂  i( kx −ωt ) ∂ 2 Ψ ∂ 2  i( kx −ωt ) i ( kx −ωt )= Ce=−iωCe,= 2 Ce= − k 2Cei( kx −ωt )2∂x∂x∂t ∂t2получаем равенство i −iωCei( kx −ωt ) = −− k 2Cei( kx −ωt ) .2m2 2После сокращений остаётся ω =k .

Если по аналогии с фотоном свободной частице при2mписать энергию E = ω и импульс p = k , то получим классическое соотношение между кине-{}{}p2.2mРассмотрим решение типа плоской волны для частицы, которая движется в одномернойобласти, в которой U(x) не зависит от времени. Т.к. в этом случае Ψ = Cei( kx −ωt ) и уравнение∂Ψ2 ∂ 2ΨШрёдингера имеет вид i=−+ U ⋅ Ψ , то после подстановки функции в уравнение∂t2m ∂x 2получаем равенство2i −iωCei( kx −ωt ) = −−k 2Cei( kx −ωt ) + U ⋅ Cei( kx −ωt ) .2mтической энергией и импульсом E ={6}{}Семестр 4. Лекции 3-4.2k 2+ U , которое можно трактовать как определение механиче2mской энергии в классической физике E = EK + U .♣Замечание.

Для свободной частицы квадрат модуля волновой функции равенПолучаем соотношение ω =2Ψ = Cei( kx −ωt ) = C22( cos ( kx − ωt ) + sin ( kx − ωt ) ) = C222.bПоэтому интеграл P ( a < x < b ) = ∫ Ψ dx = C ⋅ ( b − a ) имеет смысл только для ограниченной22aобласти.Условие нормировки.Уравнение Шрёдингера линейное, поэтому если решением является функция Ψ, то решением является также и функция Ψ1 = с ⋅ Ψ , где с=const.

В этом смысле говорят, что волноваяфункция определяется с точностью до константы.Из физического смысла следует, что для всей области определения волновой функции Vсправедливо утверждение – вероятность того, что частица находится в этой области V, равнаединице2P (V ) = ∫ Ψ dV = 1 .VСледовательно, если при решении задачи о поиске волновой функции в некоторой области бы22ло найдено решение Ψ1, но при этом ∫ Ψ1 dV = С ≠ 1 , то в качестве волновой функции следуVет взять функцию Ψ 2 =1Ψ1 , т.к. она тоже является решением и для неё выполняетсяС2∫ΨV22dV = ∫VΨ11122dV = 2 ∫ Ψ1 dV = 2 С = 1 .СС VСПравило выбора решения Ψ, такого, что для него во всей области выполняется условие2P (V ) = ∫ Ψ dV = 1Vназывается условием нормировки решения на единицу или просто условием нормировки.Замечание.

В принципе, формально можно выбрать и другое условие нормировки – например:∫Ψ2dV = 2 ,Vно тогда квадрат модуля волновой функции уже не будет иметь смысл плотности вероятности.Вектор плотности потока вероятности.В классической физике из уравнений движения частиц или уравнений Максвелла следуют разнообразные законы сохранения и уравнения непрерывности. Посмотрим, как обстоит дело с уравнением Шрёдингера.Если частица не находится постоянно в некоторой области пространства V, то вероятность её нахождения в этой области должна зависеть от времени.

Поэтому в этом случаеdP d 2=  ∫ Ψ dV  ≠ 0 .dt dt  VПредполагаем, что объём неподвижен, поэтому ∂Ψ * ∂Ψ* dP d 22∂∂=  ∫ Ψ dV  = ∫  Ψ dV = ∫  ( ΨΨ* ) dV = ∫ Ψ +Ψ dV .∂t∂t∂tdt dt  VVV V  ∂tИз уравнения Шрёдингера следует, что7Семестр 4. Лекции 3-4.∂Ψ 1  2= −∆Ψ + U ⋅ Ψ  .∂t i  2mИз сопряжённого уравнения Шрёдингера∂Ψ*1  2= − −∆Ψ* + U ⋅ Ψ*  .∂ti  2mТогда 1  2 dP1  2= ∫  −∆Ψ + U ⋅ Ψ  Ψ* − −∆Ψ* + U ⋅ Ψ*  Ψ dVdt V  i  2mi  2m откуда после сокращений 1 2dP1 2i*= ∫−∆Ψ* ) Ψ dV = −∆Ψ* ) Ψ − ( ∆Ψ ) Ψ* dV .( ∆Ψ ) Ψ +((∫dt V  i 2mi 2m2m V()Т.к. div ( Ψgrad Ψ* ) = ( grad Ψ ,grad Ψ* ) + Ψ∆Ψ* и div ( Ψ* grad Ψ ) = ( grad Ψ , grad Ψ* ) + Ψ* ∆Ψ , тоdiv ( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ ) = Ψ∆Ψ* − Ψ* ∆Ψ .С учётом теоремы Остроградского-Гаусса получаемdPiidiv ( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ )dV = −=−Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ ) dS .(∫∫dt2m V2m SВектор плотности вероятности определяется соотношением ij=( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ ) .2mУравнение непрерывности для вероятности в интегральной форме: dP= − ∫ j ,dSdtSизменение вероятности нахождения частицы в некотором объёме V равно с обратным знакомпотоку вектора плотности вероятности через замкнутую поверхность S, ограничивающую этотобъём.dP d 22∂=  ∫ Ψ dV  = ∫  Ψ dV ,Т.к.

для неподвижного объёма справедливо равенствоdt dt  V V  ∂t()i2∂div ( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ )dV можно получитьто из равенства ∫  Ψ dV = −∫∂t2mVVуравнение непрерывности для вероятности в дифференциальной форме:∂2Ψ = −div ( j ) .∂tСтационарные состояния.Состояния частицы, для которых значение энергии определено однозначно, называютсястационарными состояниями.Замечание. Из принципа неопределённостей для времени и энергии ∆E ⋅ ∆t ≥ следует, что ес2ли неопределённость энергии в каком-то состоянии стремится к нулю ∆E → 0 , то время пребывания системы в этом состоянии должно быть бесконечно большим.