14, 15 (Полностью все 26 лекций в пдф), страница 3
Описание файла
Файл "14, 15" внутри архива находится в папке "Лекции по физике за 4 семестр". PDF-файл из архива "Полностью все 26 лекций в пдф", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
статистический вес макросостояния системы фермионов.Вывод статистического распределения, которому подчиняются ферми-частицы, проводится также как и для бозе-частиц.В шестимерном фазовом пространстве с координатами ( x, y,z, px , p y , p z ) две изоэнергеΩ=тические поверхности f ( x, y, z, px , p y , pz ) = Ei = const и f ( x, y, z, px , p y , pz ) = Ei +1 = const выделяют тонкие энергетические слои. Опять предполагаем, что Ei +1 − Ei << Ei . Пусть в i-ом слоеимеется Zi ячеек и N i частиц. Тогда статистический вес подсистемы из N i частиц естьZ i!Ωi =. Статистический вес всей системы равен произведению статистических весовN i!( Z i − N i ) !ее отдельных подсистемZ i!Ω = ∏ Ωi = ∏.ii N i!( Z i − N i ) !Для того чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно найти максимум статистического веса при условии, что полное число частиц системы N и полнаяэнергия системы E остаются постоянными, т.е.
N = ∑ N i = const и E = ∑ N i Ei = const .iiКак и для бозе-частиц, вместо максимума статистического веса Ω будем искать максимум энтропии S = k ⋅ ln Ω :Z i!S = k ⋅ ln ∏= k ⋅ ∑ ln {Z i!} − ln { N i!} − ln {( Z i − N i ) !} .ii N i!( Z i − N i ) !Используем формулу Стирлинга ln {n!} ≈ n ln ( n ) − n , которая справедлива при n >> 1 . Поэтомупри Z i >> 1 и N i >> 1 , выполняетсяS = k ⋅ ∑ Z i ln Z i − Z i − N i ln N i + N i − ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i ) + ( Z i − N i ) илиiS = k ⋅ ∑ Z i ln Z i − N i ln N i − Z i ln ( Z i − N i ) + N i ln ( Z i − N i ) .iS = С − k ⋅ ∑ N i ln N i + ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i ) , где С = k ⋅ ∑ Z i ln Z iiiСлагаемое С можно в дальнейшем не учитывать, поскольку при решении задачи на экстремумэнтропии S варьироваться будут только числа частиц в слое N i , а C от них не зависит.Для отыскания максимума энтропии используем метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию F = S + λ1 N + λ 2 EF = С − k ⋅ ∑ N i ln N i + ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i ) + λ1 ∑ N i + λ 2 ∑ N i Eiiiiгде λ1 и λ2 - множители Лагранжа. Равенство нулю частных производных этой функции по N i :N1− iλ +λ E− 1 2 iZi∂F= − k ⋅ ln N i + 1 − ln ( Z i − N i ) − 1 + λ1 + λ 2 Ei = 0 , откуда=e k .Ni∂N iZi8Семестр 4. Лекции 14-15.Niпредставляет собой среднее число ферми-частиц, приходящихся наZi1одну ячейку, т.е. на одно квантовое состояние: ni = λ1 +λ2 Ei.−ke+1Множители Лагранжа λ1 и λ2 находятся точно также как и в случае бозе-частиц.1µ1λ 2 = − , λ1 = , где µ - химический потенциал.
Тогда ni = Ei −µ.TTe kT + 11Освобождаясь от индекса i, приходим к окончательному выражению n = E −µ.kTe +1Это соотношение называется распределением Ферми-Дирака. Оно определяет среднее числоферми-частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией E.Следствия из распределения Ферми-Дирака.1. n не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом состояниине может находиться более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули.
Поскольку n ≤ 1 , то говорят, что распределение Ферми-Дирака определяет вероятность заполнения энергетического уровня с энергией E при температуре T.2. Химический потенциал µ для ферми-частиц может быть только положительным, т.е.µ>0. Иначе при T→0 экспонента в знаменателе обратилась бы в бесконечность, а числа заполнения - в нуль, чего быть не может.1Рассмотрим случай малых чисел заполнения, т.е.
n = E −µ<< 1 . Это условие выполkTe +1Отношение ni =E −µkT−E −µkT−EkTµkTняется при e>> 1 , тогда n ≈ e= A ⋅ e , где A = e . Т.е. распределение Ферми-Диракапри малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного ферми-газа, переходитв классическое распределение Больцмана. Т.к. в распределение Больцмана в случае малых чисел заполнения переходит также и распределение Бозе-Эйнштейна, то можно сделать вывод,что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.Принципиальное различие между распределения Ферми-Дирака и Больцмана наблюдаетE −µся при< 1 . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии вkTбольшом количестве.
Для них n тем больше, чем меньше энергия состояния E. Что же касается ферми-частиц, то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышатьединицу, что согласуется с запретом Паули.Химический потенциал µ, который имеет размерность энергии, в случае ферми-частицназывают энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают EF. При этом распределение Ферми-Дирака принимает вид1n = E − EF.e kT + 1Т.к. для фермионов µ>0, то энергия Ферми EF >0 также больше нуля.
(Энергия Ферми EFмедленно меняется с изменением температуры T).Рассмотрим зависимость распределения Ферми-Дирака от температуры. Будем считать,что рассматриваемая температура T может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е.T→0. Обозначим через EF(0) значение энергии Ферми при T→0. Этот случай будем условно на-9Семестр 4. Лекции 14-15.зывать случаем «нулевой температуры T=0». Из распределения Ферми-Дирака следует, что вслучае T=01, E < EF ( 0 )n =0, E > EF ( 0 )Это означает, что все квантовые состояния с энергиями E < EF ( 0 ) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями E > EF ( 0 ) - свободными. Таким образом, при T=0 энергия Ферми EF(0) является максимальной энергией, которой могут обладать ферми-частицы.Распределение Ферми-Дирака в этом случае представляет собой ступенчатую функцию<n><n>T=01T >0∼kT11/2E0EF(0)E0EF(0)единичной высоты, обрывающуюся при E = EF ( 0 ) .
При температурах, отличных от нуля резкий скачок <n> от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, шириной порядка нескольких kT. Чем выше температура, тем шире область, в которой <n>меняется от единицы до нуля, и тем более плавно происходит переход от заполненных состоя1ний к незаполненным. Однако, при любой температуре при E=EF n = . Т.е. в состоянии с2энергией, равной энергии Ферми всегда находится один электрон.Наряду с энергией Ферми EF при анализе поведения ферми-частиц вводятся также им2 EFпульс Ферми pF и скорость Ферми vF, определяемые соотношениями pF = 2me EF , vF =meПри T=0 это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица.Электронный газ в металлахПрименим статистику Ферми-Дирака к описанию электронов проводимости в металлах.Будем рассматривать свободные электроны, т.е.
ту часть атомных электронов, которая можетсвободно перемещаться по всему проводнику. Именно эти электроны, в отличие от электронов,заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают электропроводностьметаллов. Поэтому их называют электронами проводимости.Замечание. Электроны проводимости в металлах не являются, вообще говоря, абсолютно свободными, т.к.
испытывают взаимодействие с ионами, находящимися в узлах кристаллическойрешетки. Поэтому электроны находятся в усреднённом электрическом поле положительныхионов. Но внутри металла средняя суммарная сила, действующая на свободный электрон практически равна нулю, тогда как вблизи границе эта сила стремится вернуть электроны внутрьметалла. Таким образом, можно рассматривать идеальный газ свободных электронов, находящихся внутри металла как в потенциальной яме.Рассмотрим поведение электронного газа при T=0. В этом случае электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях.
Согласно запрету Паули вкаждом состоянии может находиться не более одного электрона, но т.к. электроны могут раз1личаться проекцией спина ± , то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два2электрона с различной ориентацией спинов. Два электрона заполняют самое низшее энергетическое состояние. Третий и четвертый электроны находятся на первом возбужденном энергети-10Семестр 4. Лекции 14-15.ческом уровне, следующая пара электронов - на втором возбужденном уровне и т.д. Если числоэлектронов в металле равно N, то при T=0 будут заполнены первые N 2 уровней с энергиейE ≤ Emax .
Все остальные уровни с энергией E > Emax будут свободны. Сравнивая полученныйрезультат с распределением Ферми-Дирака при T=0, приходим к выводу, что максимальнаяэнергия электронов Emax совпадает с энергией Ферми EF ( 0 ) .Хотя энергия электронов в металле квантуется и энергетический спектр электронов является дискретным, но уровни энергии расположены настолько плотно, что энергетическийспектр электронов можно считать практически непрерывным (квазинепрерывным).Найдем функцию распределения электронов проводимости по энергии. Плотность кван32m 2товых состояний для электронов в металле g ( E ) = 2 30 V E .πПроизведение g ( E ) на ширину энергетического интервала dE определяет число состояний, приходящихся на интервал энергий от E до E+dE. Умножая это произведение на <n>, т.е.на вероятность заполнения данного энергетического состояния, находим число электронов dN,энергия которых лежит в интервале от E до E+dE.Интегрируя это выражение по энергии, получаем полное число свободных электронов в∞металле N = ∫ g ( E ) n dE .0Запишем аналогичные выражения для концентрации электронов n =32m 2получаем dn = 2 30πN.
С учетом вида g ( E )V31EФункция F ( E ) =∞eE − EFkTdE и n = ∫0+13202 32mdn=dEπE2m02π2 31E − EFkT1EeE − EFkTdE+1называется функцией распределения свободныхe+1электронов по энергиям. При T=0 функция F(E) имеет вид32 2m0 E , E < E ( 0 )F23F (E) = π 0 , E > E F ( 0 )и распределение электронов по энергиям описывается выражением322m0EdE, E < EF ( 0 ) .23dn = π 0 , E > E F ( 0 )Замечание. Функции распределения играют в статистической физике очень важную роль.