14, 15 (Полностью все 26 лекций в пдф), страница 4

Так,например, если известна функция распределения частиц по энергиям F(E), то можно найтисреднее значение любой физической величины f, зависящей от E. Оно определяется соотношением∞∫ f (E) F (E)f =0∞∫ F (E)∞=1f (E) F (E) .n ∫0011Семестр 4. Лекции 14-15.Получим выражение для энергии Ферми EF ( 0 ) при T=0. Поскольку при абсолютном нуле температуры n = 1 при E < EF ( 0 ) и n = 0 при E > EF ( 0 ) , то верхний предел интеграла вEF ( 0 )можно заменить на EF ( 0 ) : n =∫02Тогда EF ( 0 ) =32m02π2 3332 2m022.EdE =E0()()F3 π2 3233π2 n ) . Из этого соотношения можно по известному значению концентра(2m0ции найти энергию Ферми EF ( 0 ) , или, наоборот, по известной энергии Ферми найти концентрацию свободных электронов в металле.Пример.

Оценим величину энергии Ферми для свободных электронов в металле при T=0. Пустьn=5⋅1022 см-3 =5⋅1028 м-3 , тогда EF ( 0 ) ≈ 5 эВ. Таким образом, EF ( 0 ) по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.♣Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми TF: TF =Но EF ( 0 ) =EF ( 0 ).k22223π2 n ) 3 , поэтому TF =3π2 n ) 3 .((2m02m0 kПример. При значении EF ( 0 ) = 5 эВ температура Ферми имеет величину TF = 60000 K, что более чем в 200 раз превышает комнатную температуру. ♣Рассмотрим случай T>0, когда ступенька в распределении Ферми-Дирака, характернаядля T=0, размывается и переход от заполненных электронами состояний к незаполненным происходит более плавным образом.Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину ~kT, заняты электронами.

Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину ~ kT, оказываются свободными. И только в области энергий шириной ~ kT вблизи энергии Ферми имеются состояния, частично заполненные электронами. Однако, хотя ширина этой области, какправило, невелика по сравнению с энергией Ферми, эта область играет очень важную роль.Только электроны, заполняющие состояния в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах, происходящих в металлах.

Только их энергия может изменятьсяв ходе этих процессов.Получим выражение для энергии Ферми EF при отличной от нуля температуре металла.В этом случаеn=32 ∞02 302mπ∫EdE E − EFexp  kT +1 .Это выражение позволяет в принципе найти энергию Ферми EF как функцию температуры T иконцентрации электронов n. Однако, в общем случае интеграл точно не берется. Приближенноезначение интеграла удается получить при kT << EF . В этом случае для энергии Ферми получаем π2  kT  2 EF ≈ EF ( 0 ) 1 −  . 12  EF ( 0 )  Так как условие kT << EF ( 0 ) выполняется для всего диапазона температур, при которомметаллы существуют в твердом виде, то это соотношение справедливо для всех реализуемых напрактике случаев.

Более того, во многих ситуациях эта поправка оказывается ничтожно малой,так что ей можно пренебречь и считать, что EF ≈ EF ( 0 ) . Действительно, если взять EF ( 0 ) = 512Семестр 4. Лекции 14-15.эВ, то при комнатной температуре, т.е. при kT = 0,025 эВ, относительная величина поправки кE − EF ( 0 )EF ( 0 ) составляет F= 2 ⋅10−5 .EF ( 0 )Однако, для понимания ряда физических явлений, таких, например, как поведение теплоемкости металлов при низких температурах или объяснение термоэдс, зависимость EF от Tимеет принципиальное значение.Замечание. Из распределения свободных электронов в металле по энергиям можно такжеполучить распределения электронов по импульсам p и по скоростям v.

Эти распределения по2Eлучаются с использованием соотношений p = 2me E и v =.meВырожденный электронный газ.Вырожденный электронный газ - это газ, свойства которого существенно отличаются отсвойств классического идеального газа из-за неразличимости одинаковых частиц в квантовоймеханике. Газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда, когда среднеерасстояние между частицами a становится меньше или сравнимым с дебройлевской длинойволны частицы λ B , т.е.

a λ B . Когда это условие нарушается в случае разреженных газовквантовые распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Больцмана.Температурой вырождения называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц. Для газа, состоящего из бозечастиц, температура вырождения определяется как температура, ниже которой происходитбозе-конденсация, т.е. переход заметной доли частиц в состояние с нулевой энергией. (Именнос бозе-конденсацией связаны такие интересные физические явления, как сверхтекучесть жидкого гелия, т.е. его способность протекать через тонкие щели и капилляры без какой-либо вязкости, и сверхпроводимость некоторых металлов и сплавов.)Для газа, состоящего из ферми-частиц, температурой вырождения является температура223π2 n ) 3 , температура вырождения тем больше,Ферми TF. Как следует из выражения TF =(2m0 kчем меньше масса частиц и чем больше их концентрация, поэтому TF особенно велика у электронного газа в металлах: TF ~104 К .При температуре T< TF, т.е.

при kT < EF ( 0 ) , электронный газ в металлах является вырожденным. При температуре T> TF, т.е. при kT > EF ( 0 ) , электронный газ невырожден.Замечание. Поскольку температура Ферми для металлов имеет величину TF ~ 104 K, тоэлектронный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах, при которыхметалл остается в твердом состоянии.В полупроводниках характер поведения электронного газа зависит от величины концентрации носителей заряда. В примесных полупроводниках при высокой концентрации донорнойпримеси электронный газ может оказаться вырожденным. В полупроводниках с акцепторнойпримесью свойствами вырожденного газа может обладать газ дырок. Такие полупроводникиназываются вырожденными полупроводниками.Для обычных газов, состоящих из атомов или молекул, являющихся ферми-частицами,температура вырождения близка к абсолютному нулю.

Поэтому такие газы во всей областитемператур вплоть до температуры сжижения являются невырожденными и подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана.Пример. Вычислим интервал между соседними энергетическими уровнями свободныхэлектронов в металле при T=0 вблизи уровня Ферми. Считайте, что концентрация свободныхэлектронов n=1028 м-3.13Семестр 4. Лекции 14-15.32m 2Решение: Для решения задачи воспользуемся выражением ∆n = 2 30 E ∆E , где ∆E πразность энергий между ближайшими энергетическими уровнями, а ∆n - изменение числа электронов при переходе на соседний уровень.

Поскольку на каждом уровне при T=0 находится дваэлектрона, то ∆n =2. Подставляя в приведенное соотношение выражение для энергии Ферми2π2 21≈ 2 ⋅10−22 эВ. Это настолько ничтожно малая величина, что обнаполучаем ∆E =me ( 3π2 n )1 3ружить ее практически невозможно. Поэтому энергетический спектр свободных электронов вметалле можно считать непрерывным (квазинепрерывным).14.