o27 (физика лабы 2 курс 3-й семестр (методички))

1Московский государственный технический университет им. Н. Э. БауманаИ.Н. ФетисовДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКАМетодические указания к лабораторной работе О-27 по курсу общей физики.Москва, 2001 г.ВВЕДЕНИЕСвет можно разложить в спектр путем пространственного разделения на монохроматические составляющие, различающиеся длинами волн. В стеклянной призме такое разделение является результатом зависимости угла отклонения луча, прошедшего через призму, отпоказателя преломления материала призмы, различного для разных длин волн (дисперсия).Действие других спектральных приборов основано на интерференции или дифракции света.На явлении дифракции основано действие замечательного оптического прибора - дифракционной решетки [1-4].Цель работы - изучение дифракционной решетки, наблюдение различных спектров иизмерение длин волн.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ1.

Элементарная теория дифракционной решетки.Дифракционная решетка (ДР) - оптический прибор, представляющий собой периодическую структуру из большого числа элементов, на которых происходит дифракция света.Прозрачная решетка состоит из очень узких щелей, разделенных непрозрачными промежутками (рис.

1). Число щелей доходит до тысячи на 1 мм, а общее число щелей превышает100000. Если ширина прозрачных щелей b, а ширина непрозрачных промежутков a, то величина d=a+b называется периодом решетки (d порядка 10-6 м). Помимо прозрачных решеток,для которых наблюдение ведется в проходящем свете, существуют отражательные решетки.Они представляют собой чередующиеся участки, отражающие свет и рассеивающие его.Рассеивающие свет штрихи наносятся резцом на отшлифованной металлической пластине.abdРис. 12dABϕ∆ДРϕCЛϕЭМРис.

2Пусть на прозрачную решетку падает по нормали плоская монохроматическая волнадлиной λ (рис. 2). Дифракцию света на решетке приближенно можно рассматривать как дифракцию на каждой щели и интерференцию света, испущенного всеми щелями. В результатедифракции на очень узкой щели (шириной порядка λ) свет испускается в широком конусе.Вторичные волны, исходящие от разных щелей, когерентны и интерферируют.

(Интерференция - сложение в пространстве волн, при котором в разных его точках получается усиление или ослабление амплитуды результирующей волны. Интерференция волн возможна, если они когерентны. Две волны называются когерентными, если разность их фаз (в даннойточке пространства) остается постоянной во времени.)В результате интерференции волн, испущенных щелями решетки, происходит резкоеперераспределение интенсивности света в различных направлениях. В некоторых узких направлениях волны от всех щелей усиливают друг друга, образуя главные максимумы дифракционной картины, а во всех остальных направлениях свет практически отсутствует.Поставим за решеткой собирающую линзу Л, в фокальной плоскости которой находится экран Э (рис. 2).

Свет, испущенный щелями под одинаковым углом ϕ, который отсчитывают от нормали к решетке, соберется на экране в точке М, где происходит сложениеволн. Найдем углы ϕ, в направлении которых образуются главные максимумы. Рассмотримлучи AM и ВМ, испускаемые соответственными узкими участками (например, левым краем)двух соседних щелей. Расстояние между этими участками равно периоду решетки. ПрямаяВС, перпендикулярная обоим лучам, является фронтом вторичной волны под углом ϕ, всеточки которого колеблются в одинаковой фазе.

От этого фронта до точки М волны затрачивают одинаковое время (это объясняется свойством собирающей линзы, называемым таутохронностью линзы [1]). Следовательно, от фронта ВС до т. М разность хода равна нулю.Примем во внимание, что при нормальном падении света на решетку вторичные волны испускаются всеми щелями в одинаковой фазе. Следовательно, разность хода ∆ лучей AM иВМ равна отрезку АС, т. е. ∆ =d⋅sinϕ. Если ∆=mλ, где m - целое число, то в точке М волныусилят друг друга.

Но в этом случае будет происходить усиление волн и от других пар соответственных участков, а также вообще от всех щелей. Следовательно, главные максимумыбудут наблюдаться под углами ϕ, удовлетворяющими условию(1)d⋅sinϕ=mλ3Целое число m = 0, ±1, ±2, ±3, ... называется порядком спектра.а)-2Ж-1З0С Ж ЗС+1С+2З ЖСЗЖб)-2-10+1+2ФФ-3-2КФ-1К+1Ф0Ф+3+2К Фв)КРис. 3Если источник света монохроматический с длиной волны λ, и имеет форму узкойпрямой линии, параллельной щелям решетки, то под углами ϕ, удовлетворяющими (1), наэкране будут наблюдаться узкие одноцветные линии, показанные на рис. 3, а.

Линия под углом ϕ=0 называется спектральной линией нулевого порядка (m =0). По обе стороны от неесимметрично спектральные линии первого порядка (m =1 и m =-1), второго порядка (m =2 иm =-2) и т. д.Максимальное наблюдаемое число линий (порядков) ограничивается по несколькимпричинам. С ростом угла ϕ уменьшается интенсивность света, испускаемого отдельной щелью, а под некоторыми углами она равна нулю. Поэтому с ростом m спектральные линиистановятся менее яркими и перестают наблюдаться. Для очень узких щелей (близких к λ),которые испускают свет под углами ϕ, приближающимися к π/2, максимальный порядокспектра, как видно из (1), может достигнуть максимального значения, примерно равного d/λ.Пусть на решетку падает свет, состоящий не из одной, а из нескольких монохроматических составляющих. Например, у ртутной газоразрядной лампы имеются три яркие составляющие - синяя, зеленая и желтая (их длины волн возрастают в таком же порядке).

Каквидно из формулы (1), положение главных максимумов зависит от длины волны λ. Поэтомуспектр в каждом порядке, кроме нулевого, будет состоять из трех разноцветных линий (рис.3, б). В максимуме нулевого порядка присутствуют все три спектральные составляющие, поэтому его цвет совпадает с цветом источника света.Спектр, состоящий из отдельных линий, каждой из которых соответствует монохроматическое излучение определенной длины волны, называется линейчатым. Линейчатыеспектры дают все вещества в газообразном атомарном (но не молекулярном) состоянии. Вэтом случае свет излучают атомы, которые практически не взаимодействуют друг с другом.Это самый фундаментальный тип спектров.Спектр лампы накаливания или солнца является непрерывным. Это означает, что вспектре представлены все длины волн.

В спектре нет разрывов, и на экране можно видетьсплошные разноцветные полосы (рис. 3, в). Спектры 1-го и 2-го порядков не перекрываются,поскольку отношение граничных длин волн 760 и 400 нм менее двух (глаз чувствителен к4свету с длинами волн примерно от 400 до 760 нм). Частичное перекрывание начинается соспектров 2-го и 3-го порядков. Непрерывный (или сплошной) спектр дают нагретые до высокой температуры тела, находящиеся в твердом или жидком состоянии, а также плотные газы.Наклонное падение лучей на решетку.

Если плоская волна падает на решетку наклонно под углом θ (рис. 4, а), то для нахождения главных максимумов можно поступать так же,как и выше.Полная разность хода для двух соответственных волн равна AD-BC =d⋅sinθ - d⋅sinϕ. Условиеобразования главных максимумов имеет вид(2)d(sinθ - sinϕ) = mλ,где m = 0, ±1, ±2, ±3, ...Отметим, что максимум нулевого порядка будет наблюдаться под углом ϕ, равным θ,т. е. в направлении на источник света (рис. 4, б).Понятие о полной дифракционной картине. Расчет показывает, что между каждой парой главных максимумов имеется N-2 побочных максимумов, где N - число щелей на решетке.

На (рис. 5) показано угловое распределение интенсивности света для случая N = 8 . Пунк-DθθBϕA∆ϕθϕCa)б)Рис. 4тирная кривая передает изменение интенсивности, обусловленное дифракцией на отдельнойРис. 5щели. Побочные максимумы, интенсивность которых незначительная по сравнению с главными максимумами, можно наблюдать при небольшом числе щелей (задание 5).2. Дисперсия и разрешающая сила дифракционной решетки.Основными характеристиками спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила.Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральнымилиниями, отличающимися по длине волны на единицу. Угловой дисперсией называется веδϕличина D =, где δϕ - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимиδλ5ся по длине волны на δλ.

Чтобы найти D, продифференцируем условие (1) главного максимума слева по ϕ, а справа по λ. Опуская знак минус, получимδϕm(3)D==δλ d cos ϕДля небольших углов cosϕ ≈1 , поэтому можно положить D≈m/d. Из полученного выраженияследует, что угловая дисперсия растет с уменьшением периода d и увеличением порядкаспектра m.Линейной дисперсией называют величинуδl(4)DЛИН =,δλгде δl - линейное расстояние на экране между спектральными линиями, отличающимися подлине волны на δλ. Линейная дисперсия тем больше, чем больше угловая дисперсия и фокусное расстояние линзы, собирающей свет на экране.Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величинуλ(5)R=δλгде δλ - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линиивоспринимаются раздельно; λ - среднее значение длин волн этих линий.Возможность разрешения (т. е.

раздельного восприятия) близких спектральных линийзависит не только от расстояния между ними, которое определяется дисперсией прибора, нотакже и от ширины спектрального максимума, которая уменьшается при увеличении числащелей N. Теоретически получено выражение для разрешающей силыλ(6)R== m⋅ NδλТаким образом, разрешающая сила решетки пропорциональна порядку спектра m и числущелей N. (Примечание: падающая на решетку, волна должна быть когерентна в пределах Nщелей.

Для этого, чем больше N, тем уже должен быть источник света. )3. Многомерные решетки.Поставим две дифракционные решетки одну за другой так, чтобы их штрихи быливзаимно перпендикулярны. Осветим решетку монохроматическим светом от точечного источника. Первая решетка, штрихи которой вертикальны, даст в горизонтальном направленииряд максимумов, положения которых определяются условием (1),(7)d 1 sin ϕ = m 1 λВторая решетка, с горизонтальными штрихами, разобьет каждый из образовавшихся такимобразом пучков на расположенные по вертикали максимумы, положения которых определяется условием,(8)d 2 sin ϕ = m 2 λВ итоге дифракционная картина будет иметь вид правильно расположенных пятен, каждомуРис.