e6 (физика лабы 2 курс 3-й семестр (методички))

Московский государственный технический университет им. Н.Э.БауманаГ.В.БАЛАБИНАЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ LRCМетодические указания к лабораторной работе Э-6 по курсу общей физикиПод редакцией Л.К.МартинсонаИздательство МГТУ, 1992Изучены свободные затухающие электрические колебания при помощи осциллографа.Экспериментально определены основные параметры контура LRC. Для студентов 2-гокурса.Цель работы - изучение свободных затухающих электрических колебаний в контуре LRC с сосредоточенными параметрами при помощи осциллографа.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬКолебательный контур с сосредоточенными параметрами состоит из конденсатора С, катушкииндуктивности L и активного сопротивления R (рис. 1). При этом предполагают, что емкостисопротивления R и катушки L малы по сравнению с емкостью конденсатора С, а индуктивностисопротивления R, конденсатора С и соединительных проводов малы по сравнению с индуктивностью катушки L.KCLRРис.

1Рассмотрим процесс возбуждения электрических колебаний в контуре. Пусть, при разомкнутомключе К конденсатор заряжен, т.е. между обкладками конденсатора имеется электрическое поле, заключающее в себе определенную энергиюCU 02WC =2(1)LJ 022(2)где С - емкость конденсатора; U0 - начальное напряжение на конденсаторе.Если ключ К замкнуть, то конденсатор начнет разряжаться и его электрическое поле будетуменьшаться. При этом в контуре возникнет электрический ток разряда конденсатора, в результате в катушке индуктивности L появится магнитное поле, а в контуре - ЭДС самоиндукции.Через некоторое время конденсатор разрядится полностью, и электрического поля в конденсаторе не будет.

Однако магнитное поле в катушке при этом достигнет максимума, иначе говоря,вся энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поляWL =где L - индуктивность катушки; J0 - максимальное значение силы тока.В последующие моменты времени магнитное поле начнет уменьшаться, так как нет токов, егоподдерживающих. Это уменьшающееся поле вызовет появление ЭДС самоиндукции, которая всоответствии с правилом Ленца будет поддерживать ток разряда конденсатора. В результатеконденсатор перезарядится, и между его обкладками появится электрическое поле, направленное противоположно начальному. Через некоторое время магнитное поле в катушке исчезнет, аэлектрическое поле между обкладками конденсатора достигнет максимума, т.е. вся энергиямагнитного поля преобразуется в энергию электрического поля.

Конденсатор начнет снова разряжаться, но с противоположным направлением тока.В ходе рассмотренного процесса периодически меняются заряд q на обкладках конденсатора,напряжение U на конденсаторе и сила тока J в контуре, иначе говоря, в контуре происходятсвободные электрические колебания. Так как всякий реальный контур обладает активным сопротивлением, то энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание сопротивления, вследствие чего колебания затухают. Такие колебания принято называть свободными затухающими колебаниями.Найдем уравнение, описывающее свободные затухающие колебания в контуре, представленномна рис.

1.Условимся считать заряд на обкладках конденсатора q положительным, если знаки зарядов наобкладках такие, как на рис. 1, а силу тока J положительной, если ток в контуре направлен почасовой стрелке. Причем ток можно считать квазистационарным, т.е. относительно медленноменяющимся переменным током. Для его мгновенных значений с достаточной степенью точности выполняются законы постоянного тока. На практике установлено, что токи промышленнойчастоты (50 Гц) можно рассматривать как квазистационарные.Конденсатор С, напряжение на котором равно U, разряжается через катушку индуктивности L иdJрезистор сопротивления R, причем в цепи возникает ЭДC самоиндукции ε S = − L.dtПо закону Ома ток в цепиdJU−L(3)U + εSdt=J=RRилиdJ(4)L+ JR − U = 0dtЗаряд q и напряжение U на конденсаторе связаны соотношением q=CU, поэтому силу тока Jможно представить в виде:dqdU(5)= −CJ=dtdtЗнак «минус» указывает на то, что выбранное положительное направление тока соответствуетуменьшению положительного заряда конденсатора.Дифференциальное уравнение (4) после подстановки в него выражения (5) и деления всех членов на произведение LC будет иметь видd 2 U R dU1(6)++U=02L dt LCdtУравнение (6) является уравнением, описывающим свободные затухающие электрические колебания для напряжения U на конденсаторе.Введем обозначенияδ=R12, ω0 =2LLCТогда уравнение (6) можно записать в видеd2UdU+ 2δ+ ω 02 U = 02dtdt(7)(8)где δ - постоянная величина, называемая коэффициентом затухания; ω0 - собственная частотаконтура.Полученное уравнение (8) является линейным дифференциальным уравнением второго порядкас обыкновенными производными и постоянными коэффициентами.

Решения его имеют различный вид в зависимости от соотношения между постоянными коэффициентами.L1. Рассмотрим случай, когда δ < ω0 (или. R < 2) - малое затухание.CТогда решение имеет вид(9)U (t ) = U e − δ t cos (ω t + ϕ )0где U0 - начальное напряжение на конденсаторе; ω - циклическая частота затухающих колебаний:(10)ω = ω2 − δ 20φ - начальная фаза, значение которой определяется начальными условиями, а именно: при t=0U=U0, т.е. φ = 0.Примечание.

За начало отсчета времени выбираем момент замыкания ключа К.Период затухающих колебаний в контуре2π= 2πT=ω1  R −LC  2L 2(11)График зависимости напряжения U от времени t показан на рис. 2.UU0U0e-δttРис.2Приведенное решение (9) позволяет найти закон изменения тока в контуре. С учетом (5) имеемJ (t ) = −CdU= q 0 e − δt  δ cos ( ω t + ϕ ) + ω sin ( ω t + ϕ )dtгде q0= CU0 - начальный заряд на конденсаторе.Умножим и разделим правую часть полученного выражения на ω0 :J (t ) = − C δdUωsin ( ω t + ϕ )= q 0 ω 0 e − δt  cos ( ω t + ϕ ) +dtω0 ω0Введем угол α, определяемый условиями cos α = δ/ω0, sin α = ω /ω0.После простых тригонометрических преобразований получаем закон изменения тока J в контуре:(12)J t = J e − δt сos ω t + ϕ − α()(0)где J0=q0ω0 - амплитуда тока в начальный момент.Так как sinα>0 и cosα>0, то угол α меняется в пределах 0<α<π/2. Следовательно, между напряжением U на конденсаторе и силой тока J в контуре имеется сдвиг по фазе α, который зависитот коэффициента затухания δ : при δ<<ω0, α→π/2.Таким образом, в случае малого затухания сила тока J отстает по фазе от напряжения U на величину α.L).2.

Пусть теперь затухание велико: δ>ω0 (или R > 2CВ этом случав частота ω, представленная соотношением (10), является мнимой величиной. Этоозначает, что решение (9) не применимо, иначе говоря, электрических колебаний в контуре небудет. Для данного случая общее решение уравнения (8) имеет вид(13)U(t ) = A e − h1t + A e − h 2t12т.е. является суммой двух экспоненциальных функций времени, что выражает апериодическоемонотонное затухание напряжения U.

В выражении (13)h 2 = δ − δ 2 − ω 02h 1 = δ + δ 2 − ω 02 ,следовательно, h1 и h2 - вещественные и положительные параметры; A1 в A2- произвольные постоянные, определяемые из начальных условий:Ut=0 = A1 + A2dUdt= − A 1h 1 − A 2 h 2 = 0t=0так как при t = 0 J= 0.Решая совместно оба уравнения, получаемh2A1 = −U 0,h1 − h 2Тогда решение (13) принимает видU (t ) = U 0A2 = U0h1,h1 − h 2(1h 1 e − h 2 t − h 2 e − h 1th1 − h 2)(14)На рис. 3 графически представлен апериодический разряд конденсатора (пунктирные кривыесоответствуют слагаемым, сплошная кривая - их сумме).Uh1exp(-h2t)th2exp(-h1t)Рис.33. Рассмотрим случай, когда δ=ω0, илиLCR KP = 2(15)Это соотношение определяет так называемый критический режим, при котором осуществляетсяпереход колебательного процесса в апериодический.

Сопротивление RKP принято называть критическим сопротивлением.Из соотношений (9) и (12) следует, что величина δ характеризует скорость затухания колебанийв контуре, так как чем больше δ, тем быстрее прекращаются колебания. Величина τ =1/ δ характеризует время, за которое амплитуда колебаний, убывает в е число раз.Кроме коэффициента δ для оценки быстроты затухания колебаний используют безразмернуювеличину γ, называемую логарифмическим декрементом затухания и равную натуральному логарифму отношения двух последовательных максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону.

Так, для напряжения на конденсатореγ = lnπRUt= δT =U t+T2L R−C4,(16)где Ut - амплитуда напряжения в момент времени t; Ut+T амплитуда напряжения в момент времени t +T.Очевидно, что коэффициент затухания δ характеризует затухание колебаний за единицу времени, а логарифмический декремент затухания γ - затухание колебаний за один период T. ЕслиNe-число колебаний за время, в течение которого амплитуда уменьшилась в е раз, то можно записать, чтоγ=1Ne(17)Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q., которая определяется соотношениемQ=π1= πN e =γRL R2−C4(18)Очевидно, чем больше добротность контура Q, тем медленнее затухают колебания.Физический смысл добротности Q рассмотрим для случая слабых затуханий (δ < ω0 ).

ЭнергияCU 02W0 =, запасенная в контуре в начальный момент, к концу первого периода уменьшится до2CU 02 − 2 δTe. Относительное уменьшение энергии за один период2CU 02(1 − e − 2 δT )∆W2π= 2= 1 − e − 2 δT ≈ 2δT =2W0QCU 02(здесь учтено, что при слабом затухании е–2δТ≈ 1-2δТ ). Таким образом,Q = 2π ⋅W0∆W(19)т.е. добротность контура Q равна умноженному на 2π отношению энергии, запасенной в контуре, к потерям энергии за период.В ряде случаев колебательный процесс целесообразно исследовать непосредственно по зависи-мости напряжения U от тока J. Интегральную кривую U= f(J), уравнение которой может бытьполучено с помощью дифференциальных уравнений (5) и (8), называют фазовой траекториейсвободных затухающих колебаний. Преимущество анализа процессов в колебательном контуреc помощью фазовых траекторий заключается в их наглядности.С учетом соотношения (5) уравнение (8) можно представить в видеdJ(20)= ω 02 CU − 2δJdtРешая совместно (5) и (20), получаем дифференциальное уравнение интегральной кривой нафазовой плоскостиdUJJL(21)==2 2dJ 2δCU − ω 0 C U C(RJ − U )Так как в начальный момент времени напряжение на конденсаторе равно U0, а ток J=0, то согласно (21) dU/dJ=0.